12 równanie ciągłości – ruch nieustalony płynu ściśliwego Przy przepływie przestrzennym, gdzie wyznaczamy składowe prędkości Vx,Vy,Vz ciśnienie p i ρ jako funkcję współrzędnych x, y, z równania ciągłości wyprowadza się z równania masy płynu, która wypływa z elementarnego sześcianu o krawędziach dx, dy, dz .

∂(ρ V )

- ρ V

x

+

dx

x

x

∂

Nieustawny przepływ płynu ściśliwego gdzie gęstość ρ(x, y, z, t)=0. W czasie dt w kierunku osi x wpływa do elementu przez lewą ścianę o powierzchni dydz masa płynu ρ Vxdzdydt.

Przez przeciwległą ściankę w tym samym czasie wypływa masa płynu.



∂(ρ V ) 

 ρ V

x

+

dx  dydzdt

x



x

∂



przyrost masy w czasie dt w kierunku osi x



∂( V

ρ



∂ ρ

x )

( Vx)

ρ V dydzdt − V

ρ +

dx  dydzdt = −

dxdydzdt

x

x



x

∂



x

∂

Analogicznie przyrost masy przy przepływie w kierunku y i z wynoszą:

∂( V

ρ

∂

y )

( Vz )

−

ρ

dxdydzdt

;

−

dxdydzdt

y

∂

z

∂

Suma przyrostów mas w elemencie płynu w kierunku wszystkich osi:

∂( V

ρ ) ∂(ρ V

∂ ρ



y

x

) ( Vz)

− 

+

+

+ dxdydzdt



x

∂

y

∂

z

∂



Równocześnie jednak mamy gęstość ρ która w czasie t wynosiła ρ(x,y,z,t), więc w czasie t+dt gęstość ρ(x,y,z,t+dt)= ρ+(ل ρ/لt)*dt W czasie dt masa płynu wewnątrz elementu zmieni się od wartości ρ(dxdydz) do

[ ρ(ل ρ/لt)*dt]dxdydz. Stąd przyrost masy - ρ dxdydz+[ ρ+(ل ρ/لt)*dt]dxdydz = (ل ρ/لt)dxdydzdt.

Porównując przyrosty otrzymujemy:

∂(ρ V ) ∂(ρ V

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

y

x

) ∂( Vz) 

∂

∂

∂( V ) ∂( Vy x

) ∂( Vz)

− 

+

+

+ dxdydzdt =

dxdydzdt ⇒

+

+

+

= 0

 ∂ x

∂ y

∂ z



∂ t

∂ t

∂ x

∂ y

∂ z

{różnicowe równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.

∂( V

ρ

∂

∂ρ

∂

∂ρ

x )

V

V

dx

x

= ∫

+

V

x

= ∫

+

x

∂

∂

∂

∂

∂

∂( x

x

x

x

x dt

ρ V

∂

∂ρ

∂

∂ρ

y )

lub :

V

V

y

y

dy

= ∫

+

V = ∫

+

y

∂

y

∂

y y

∂

y

∂

y

∂ dt

∂( V

ρ

∂

∂ρ

∂

∂ρ

z )

V

V

dz

z

= ∫

+

V

z

= ∫

+

z

∂

z

∂

z z

∂

z

∂

z

∂ dt

Podstawiając do równania ciągłości :

∂ρ ∂ρ dx ∂ρ dy ∂ρ dz

 ∂ V

∂ Vy

x

∂ V 

+

+

+

+ ρ

+

+

z

= 0





∂ t

∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt

 ∂ x

∂ y

∂ z 

dp

r

+ ρ di V

v

= 0 → równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.

dt