Zadania z matematyki Funkcje cyklometryczne
1.
Obliczyć wartość wyrażenia
1.1.
sin(arc cos 1 ) ,
1.2.
cos(arc tg 2) ,
5
1.3.
tg(arc sin 2 ) ,
1.4.
ctg(arc cos 5 ) ,
5
6
√
√
√
1.5.
1 arc cos 3 + arc tg( − 3) − 3 arc sin 2 , 2
2
2
(
√
)
1.6.
cos 3 arc sin 3 + arc cos( − 1) , 2
2
(
√
√ )
1.7.
tg 5 arc tg 3 − 1 arc sin 3 .
2
4
2
2.
Wyprowadzić wzory:
π
π
arc sin x =
− arc cos x,
arc tg x =
− arcctg x.
2
2
3.
Wyprowadzić wzory:
√
3.1.
arc sin x = arc cos
1 − x 2 ,
3.2.
arc cos x = arc sin?;
3.3.
arc sin x = arc tg? ,
3.4.
arc tg x = arc sin? ,
3.5.
arc sin x = arcctg?
3.6.
arcctg x = arc sin? ,
3.7.
arc cos x = arcctg?
3.8.
arc tg x = arc cos? ,
3.9.
arc cos x = arcctg?
3.10. arc cos x = arc sin x? , 3.11. arc tg x = arcctg?
3.12. arcctg = arc tg? .
1
Naszkicować wykresy funkcji:
4.1.
y = arc sin x,
4.2.
y = arc tg x,
4.3.
y = arc cos x.
4.4.
y = arc sin x,
4.5.
y = arcctg x
4.6.
y = arc sin(2 x − 1) , 4.7.
y = arc cos(2 x − 3) , 4.8.
y = | arc tg x|, 4.9.
y = arcctg 1 ,
x
4.10. y = arc sin 1 ,
4.11. y = arc cos 1 ,
4.12. y = arc tg 1 ,
x
x
x
1
1
4.13. y =
,
4.14. y =
,
4.15. y = sin(arc sin x) , arc sin x
arcctg x
4.16. y = arc sin(sin x) , 4.17. y = arc tg(tg x) , 4.18. y = arcctg(tg x) .
5.
Wyznaczyć dziedzinę podanej funkcji. Sprawdzić czy jest ona funkcją różnowartościową. Jeżeli jest to znaleźć funkcję odwrotną.
√
5.1.
y = arc cos(3 x − 1) , 5.2.
y = arc sin
2 x − 1 ,
(
)
x − 1
(√
)
5.3.
y = arc cos
5.4.
y = arc sin
x+1
,
x + 2
x− 1
x − 1
5.5.
y = sin x
( π/ 2 ¬ x ¬ 3 π/ 2) , 5.6.
y = 2 tg
(0 ¬ x ¬ 2) .
2
6.
Rozwiązać nierówności:
6.1.
arc sin(log x) > 0 , , 6.2.
log 1 (arc tg x) > 2 − log π, 2
2
6.3.
arc cos x > arc sin 1 , 6.4. arc tg x ¬ arcctg 2 .
3
7
2