Funkcje cyklometryczne
Odwracanie funkcji
Definicja
Jeżeli f: A → B jest funkcją różnowartościową oraz f(a) = b, to funkcję f-1 : B → A taką, że f -1( b) = a nazywamy odwrotną do funkcji f.
Na przykład funkcje f: x a x2 (inaczej f(x) = x2 ) oraz f-1: x a x (inaczej f(x) = x ) określone w zbiorze liczb nieujemnych są wzajemnie odwrotne.
Aby wyznaczyć wzór funkcji f-1 odwrotnej do funkcji f (różnowartościowej w pewnym zbiorze) danej wzorem y = f(x) wystarczy: (1) w równaniu y = f(x) zamienić literę x na y oraz y na x; otrzymamy x = f(y), (2) z równania x = f(y) wyznaczyć y traktując x jako parametr; otrzymamy y = g(x),
−
(3) przyjąć, że f 1 (x) = g(x) .
Jeżeli liczbie a przyporządkowano b w funkcji f, to liczbie b przyporządkowano liczbę a w funkcji f -1 .
Czyli, jeżeli punkt P = (a, b) należy do wykresu funkcji f, to punkt Q = (b, a) należy do wykresu funkcji f-1.
Jest zatem prawdziwe
Twierdzenie
Wykresy funkcji danej i odwrotnej są wzajemnie symetryczne względem prostej o równaniu y = x.
Aby wyznaczyć wykres funkcji f-1 odwrotnej do funkcji f (różnowartościowej w pewnym zbiorze) wystarczy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem prostej o równaniu y = x.
Funkcje cyklometryczne
Funkcje trygonometryczne sinus, cosinus, tangens nie są różnowartościowe. Nie istnieją funkcje odwrotne do nich.
Zawężamy zatem ich dziedziny do takich przedziałów, w których są one różnowarto-
ściowe. I do tak obciętych funkcji tworzymy funkcje odwrotne.
Funkcja arcus sinus
Definicja
π π
Funkcję odwrotną do funkcji sinus obciętej do przedziału [ −
,
] nazywamy arcus sinus.
2 2
π
π
Zatem y = arcus sin x ⇔ x = sin y dla −1 ≤ x ≤ 1 oraz −
≤ y ≤
.
2
2
π π
Rys. 1. Wykres funkcji sinus obciętej do przedziału [ −
,
].
2 2
Rys. 2. Wykres funkcji arcus sinus o dziedzinie [−1, 1] i o wartościach należących π π
do przedziału [ −
,
].
2 2
Przykłady
•
π
π
arc sin (−1) = −
, bo sin ( −
) = −1.
2
2
•
π
π
arc sin (−½ ) = −
, bo sin ( −
) = − ½ .
6
6
•
2
π
π
2
arc sin (
) =
, bo sin (
) =
.
2
4
4
2
•
3
π
π
3
arc sin (
) =
, bo sin (
) =
.
2
3
3
2
•
arc sin 0,6157 ≈ 0,6632 , bo sin 0,6632 ≈ 0,6157.
Funkcja arcus cosinus
Definicja
Funkcję odwrotną do funkcji cosinus obciętej do przedziału [0, π] nazywamy arcus cosinus.
Zatem y = arcus cos x ⇔ x = cos y dla −1 ≤ x ≤ 1 oraz 0 ≤ y ≤ π.
Przykłady
•
arc cos (−1) = π, bo cos π = −1.
•
2
π
π
2
arc cos (
) =
, bo cos (
) =
.
2
4
4
2
•
π
π
arc cos 0 =
, bo cos (
) = 0.
2
2
Rys. 3. Wykres funkcji cosinus obciętej do przedziału [0, π].
Rys. 4. Wykres funkcji arcus cosinus o dziedzinie [−1, 1] i o wartościach należących do przedziału [0, π].
Funkcja arcus tangens
Definicja
π π
Funkcję odwrotną do funkcji tangens obciętej do przedziału ( −
,
) nazywamy arcus tan-
2 2
gens.
π
π
Zatem y = arcus tg x ⇔ x = tg y dla x ∈ R oraz −
≤ y ≤
.
2
2
π π
Rys. 5. Wykres funkcji tangens obciętej do przedziału ( −
,
).
2 2
Rys. 6. Wykres funkcji arcus tangens o dziedzinie R i o wartościach należących π π
do przedziału ( −
,
).
2 2
Przykłady
•
π
π
arc tg (−1) =
, bo tg
= −1.
4
4
•
π
π
arc tg 1 =
, bo tg
= 1.
4
4
π
π
arc tg 3 =
, bo tg
= 3
3
3
•
arc tg 0 = 0 , bo tg 0 = 0.
•
arc tg 14,301 ≈ 1,5010 0 , bo tg 1,5010 ≈ 14,301.
Niektóre własności funkcji cyklometrycznych Twierdzenia
•
π
arc sin x = − arc sin(−x) =
− arc cos x.
2
•
arc sin x = arc cos
2
1− x , dla x > 0.
•
x 2
1−
arc cos x = arc sin
2
1− x = arc tg
, dla x > 0.
x
•
x
1
arc tg x = −arc tg(− x) = arc sin
= arc cos
, dla x > 0.
2
1+ x
2
1+ x
Ćwiczenia
Wykorzystując zamieszczoną poniżej tabelę oblicz: a) sin 36o20’,
e) cos 52o20’,
i) tg 0,637
b) sin 0,64 ,
f) cos 0,9425
j) tg 0,6632
c) arc sin 0,6088
g) arc cos 0,5878
k) arc tg 0,749
d) arc sin 0,596
h) arc cos 0,6157
l) arc tg 0,7743
