Funkcje cyklometryczne

Odwracanie funkcji

Definicja

Jeżeli f: A → B jest funkcją różnowartościową oraz f(a) = b, to funkcję f-1 : B → A taką, że f -1( b) = a nazywamy odwrotną do funkcji f.

Na przykład funkcje f: x a x2 (inaczej f(x) = x2 ) oraz f-1: x a x (inaczej f(x) = x ) określone w zbiorze liczb nieujemnych są wzajemnie odwrotne.

Aby wyznaczyć wzór funkcji f-1 odwrotnej do funkcji f (różnowartościowej w pewnym zbiorze) danej wzorem y = f(x) wystarczy: (1) w równaniu y = f(x) zamienić literę x na y oraz y na x; otrzymamy x = f(y), (2) z równania x = f(y) wyznaczyć y traktując x jako parametr; otrzymamy y = g(x),

−

(3) przyjąć, że f 1 (x) = g(x) .

Jeżeli liczbie a przyporządkowano b w funkcji f, to liczbie b przyporządkowano liczbę a w funkcji f -1 .

Czyli, jeżeli punkt P = (a, b) należy do wykresu funkcji f, to punkt Q = (b, a) należy do wykresu funkcji f-1.

Jest zatem prawdziwe

Twierdzenie

Wykresy funkcji danej i odwrotnej są wzajemnie symetryczne względem prostej o równaniu y = x.

Aby wyznaczyć wykres funkcji f-1 odwrotnej do funkcji f (różnowartościowej w pewnym zbiorze) wystarczy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem prostej o równaniu y = x.

Funkcje cyklometryczne

Funkcje trygonometryczne sinus, cosinus, tangens nie są różnowartościowe. Nie istnieją funkcje odwrotne do nich.

Zawężamy zatem ich dziedziny do takich przedziałów, w których są one różnowarto-

ściowe. I do tak obciętych funkcji tworzymy funkcje odwrotne.

Funkcja arcus sinus

Definicja

π π

Funkcję odwrotną do funkcji sinus obciętej do przedziału [ −

,

] nazywamy arcus sinus.

2 2

π

π

Zatem y = arcus sin x ⇔ x = sin y dla −1 ≤ x ≤ 1 oraz −

≤ y ≤

.

2

2

π π

Rys. 1. Wykres funkcji sinus obciętej do przedziału [ −

,

].

2 2

Rys. 2. Wykres funkcji arcus sinus o dziedzinie [−1, 1] i o wartościach należących π π

do przedziału [ −

,

].

2 2

Przykłady

•

π

π

arc sin (−1) = −

, bo sin ( −

) = −1.

2

2

•

π

π

arc sin (−½ ) = −

, bo sin ( −

) = − ½ .

6

6

•

2

π

π

2

arc sin (

) =

, bo sin (

) =

.

2

4

4

2

•

3

π

π

3

arc sin (

) =

, bo sin (

) =

.

2

3

3

2

•

arc sin 0,6157 ≈ 0,6632 , bo sin 0,6632 ≈ 0,6157.

Funkcja arcus cosinus

Definicja

Funkcję odwrotną do funkcji cosinus obciętej do przedziału [0, π] nazywamy arcus cosinus.

Zatem y = arcus cos x ⇔ x = cos y dla −1 ≤ x ≤ 1 oraz 0 ≤ y ≤ π.

Przykłady

•

arc cos (−1) = π, bo cos π = −1.

•

2

π

π

2

arc cos (

) =

, bo cos (

) =

.

2

4

4

2

•

π

π

arc cos 0 =

, bo cos (

) = 0.

2

2

Rys. 3. Wykres funkcji cosinus obciętej do przedziału [0, π].

Rys. 4. Wykres funkcji arcus cosinus o dziedzinie [−1, 1] i o wartościach należących do przedziału [0, π].

Funkcja arcus tangens

Definicja

π π

Funkcję odwrotną do funkcji tangens obciętej do przedziału ( −

,

) nazywamy arcus tan-

2 2

gens.

π

π

Zatem y = arcus tg x ⇔ x = tg y dla x ∈ R oraz −

≤ y ≤

.

2

2

π π

Rys. 5. Wykres funkcji tangens obciętej do przedziału ( −

,

).

2 2

Rys. 6. Wykres funkcji arcus tangens o dziedzinie R i o wartościach należących π π

do przedziału ( −

,

).

2 2

Przykłady

•

π

π

arc tg (−1) =

, bo tg

= −1.

4

4

•

π

π

arc tg 1 =

, bo tg

= 1.

4

4

•

π

π

arc tg 3 =

, bo tg

= 3

3

3

•

arc tg 0 = 0 , bo tg 0 = 0.

•

arc tg 14,301 ≈ 1,5010 0 , bo tg 1,5010 ≈ 14,301.

Niektóre własności funkcji cyklometrycznych Twierdzenia

•

π

arc sin x = − arc sin(−x) =

− arc cos x.

2

•

arc sin x = arc cos

2

1− x , dla x > 0.

•

x 2

1−

arc cos x = arc sin

2

1− x = arc tg

, dla x > 0.

x

•

x

1

arc tg x = −arc tg(− x) = arc sin

= arc cos

, dla x > 0.

2

1+ x

2

1+ x

Ćwiczenia

Wykorzystując zamieszczoną poniżej tabelę oblicz: a) sin 36o20’,

e) cos 52o20’,

i) tg 0,637

b) sin 0,64 ,

f) cos 0,9425

j) tg 0,6632

c) arc sin 0,6088

g) arc cos 0,5878

k) arc tg 0,749

d) arc sin 0,596

h) arc cos 0,6157

l) arc tg 0,7743