CYFRY ZNACZĄCE LICZBY PRZYBLIśONEJ, ZASADY ZAOKRĄGLANIA I POPRAWNOŚĆ PRZEPROWADZANIA OBLICZEŃ
Pozycyjny system zapisu liczby - rozwinięcie dziesiętne liczby KaŜdą liczbę dziesiętną moŜna rozwinąć do postaci
a = a ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
n 10n+an-1 10n+...+a1 101+a0 100+a-1⋅ 10-1+a-2 10-2+...+a-k 10-k podstawa systemu p = 10
znaki do zapisu liczby (cyfry) ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Przykład:
a = 3734,037 = 3· 103+7· 102+3· 101+4· 100+0· 10-1+3· 10-2+7· 10-3
Pozycja, czyli miejsce na którym znajduje się dana cyfra określa jej waŜność (wagę) w danej liczbie
Inne systemy pozycyjne
system dwójkowy (binarny, binarny naturalny)
podstawa systemu p = 2
znaki do zapisu liczby ai = 0, 1
system szesnastkowy (heksadecymalny)
podstawa systemu p = 16
znaki do zapisu liczby ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Pojęcie cyfry znaczącej
Cyfrą znaczącą liczby przybliŜonej jest kaŜda róŜna od zera cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby oraz zero (lub zera), jeŜeli jest zawarte między innymi cyframi znaczącymi lub znajduje się na zachowanej pozycji
Sposoby przekazywania informacji o cyfrach znaczących (w szczególności o zerach znaczących) w liczbie
Przykład: a = 5,000 - my wiemy, Ŝe wszystkie cyfry tej liczby są znaczące 1. opisanie liczby np. " a = 5,000 - wszystkie podane cyfry są znaczące"
2. zapisanie liczby w notacji zmiennoprzecinkowej (naukowej, półlogarytmicznej)
L = M E C
M - mantysa (liczba od 0,000... do 9,999...), C - cecha (liczba całkowita); obydwie mogą być poprzedzone znakiem -(minus)
a = 5,000⋅ 100
Czytanie notacji zmiennoprzecinkowej:
a = 2,345E-2 = 2,345 ⋅ 10-2
a = -7,2541E0004 = -7,2541 ⋅ 104
a = 6,02E23 = 6,02 ⋅ 1023
3. podanie liczby wraz z jej błędem (nieoznaczonością, nieokreślonością, niepewnością) a = a ± ∆ a
a = 5,000 ± 0,001
Błędy liczb przybliŜonych
Błąd bezwzględny liczby przybliŜonej jest to wartość bezwzględna róŜnicy między liczbą przybliŜoną a i dokładną A
∆ (a) = |a - A|
Kres górny błędu bezwzględnego jest to kaŜda liczba nie mniejsza od błędu bezwzględnego liczby przybliŜonej
∆ a ≥ ∆( a)
Uwaga: błą d bezwzglę dny ∆ (a) i kres górny błę du bezwzglę dnego ∆ a wyraŜ ane muszą być w takich samych jednostkach jak wielkość a (mówią c inaczej - wszystkie mają takie same miana)
Dokładne cyfry znaczące liczby przybliŜonej
jeŜeli ostatnia cyfra dokładna liczby przybliŜonej znajduje się na n-tej pozycji rozwinięcia dziesiętnego tej liczby, to kres górny błędu bezwzględnego liczby przybliŜonej nie przekracza połowy jednostki n-tej pozycji dziesiętnej
1
n
a
∆ = ⋅ 10
2
Błąd względny liczby przybliŜonej jest to stosunek błędu bezwzględnego liczby przybliŜonej do wartości bezwzględnej liczby dokładnej
(
∆
δ a)
( a)
=
A
Kres górny błędu względnego jest to kaŜda liczba δ a nie mniejsza od błędu względnego tej liczby a
δ ≥ δ ( a)
Jako kres górny błędu względnego przyjmuje się wartość wyraŜenia
a
∆
a
δ =
a − a
∆
lub przy załoŜeniu, Ŝe |a|>> ∆ a
a
∆
a
δ =
a
Uwaga: błą d wzglę dny i kres górny błę du wzglę dnego nie mają jednostek (inaczej mówią c - są
liczbami niemianowanymi). Po pomnoŜ eniu δ a przez 100% błą d wzglę dny wyraŜ ony bę dzie w procentach - jest to czę sto spotykane w chemii
Błędy działań arytmetycznych na liczbach przybliŜonych Błąd sumy i róŜnicy
JeŜeli dodajemy lub odejmujemy liczby przybliŜone, to kres górny błędu bezwzględnego sumy lub róŜnicy tych liczb nie przekracza sumy kresów górnych błędów bezwzględnych dodawanych lub odejmowanych liczb. Czyli jeŜeli
a = a1 + a2 + a3+...+an lub a = a1- a2 - a3-....-an
to
∆ a ≤ ∆ a1 + ∆ a2 + ∆ a3+....+ ∆ an
Błąd iloczynu i ilorazu
JeŜeli mnoŜymy lub dzielimy liczby przybliŜone, to kres górny błędu względnego iloczynu lub ilorazu tych liczb przybliŜonych nie przekracza sumy kresów górnych błędów względnych mnoŜonych lub dzielonych liczb. Czyli jeŜeli
a
a = a ⋅
1
=
1 a2 ⋅ a3 ⋅ ... ⋅ an lub a
a ⋅ a ⋅ .... ⋅ a
2
3
n
to
δ a ≤ δ a1 + δ a2 + δ a3 ...+ δ an
JeŜeli potęgujemy liczbę przybliŜoną a, to kres górny błędu względnego m-tej potęgi tej liczby jest
|m| razy większy niŜ kres górny błędu względnego liczby potęgowanej u = am
to
δ u = |m|⋅δ a
Podstawowe zasady prowadzenie obliczeń i zaokrąglania wyników 1. Obliczenia błędów (niepewności pomiarowych) powinny być prowadzone z dokładnością co najmniej trzech cyfr znaczących
2. Obliczony błąd końcowy powinien być zaokrąglany do dwóch cyfr znaczących lub do jednej cyfry znaczącej
3. Obliczenia wyniku pomiaru naleŜy prowadzić z taką dokładnością, aby pozycja ostatniej cyfry dziesiętnej wyniku przekraczała pozycję ostatniej cyfry dziesiętnej błędu końcowego 4. Wynik końcowy zaokrągla się na tej samej pozycji dziesiętnej co błąd końcowy
Wskazówki praktyczne - Załącznik 1 do Wykładu