CYFRY ZNACZĄCE LICZBY PRZYBLIśONEJ, ZASADY ZAOKRĄGLANIA I POPRAWNOŚĆ PRZEPROWADZANIA OBLICZEŃ
Pozycyjny system zapisu liczby - rozwinięcie dziesiętne liczby Każdą liczbę dziesiętną można rozwinąć do postaci
a = a ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
n 10n+an-1 10n+...+a1 101+a0 100+a-1⋅ 10-1+a-2 10-2+...+a-k 10-k podstawa systemu p = 10
znaki do zapisu liczby (cyfry) ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Przykład:
a = 3734,037 = 3· 103+7· 102+3· 101+4· 100+0· 10-1+3· 10-2+7· 10-3
Pozycja, czyli miejsce na którym znajduje się dana cyfra określa jej ważność (wagę) w danej liczbie
Inne systemy pozycyjne
system dwójkowy (binarny, binarny naturalny)
podstawa systemu p = 2
znaki do zapisu liczby ai = 0, 1
system szesnastkowy (heksadecymalny)
podstawa systemu p = 16
znaki do zapisu liczby ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Pojęcie cyfry znaczącej
Cyfrą znaczącą liczby przybliżonej jest każda różna od zera cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby oraz zero (lub zera), jeżeli jest zawarte między innymi cyframi znaczącymi lub znajduje się na zachowanej pozycji
Sposoby przekazywania informacji o cyfrach znaczących (w szczególności o zerach znaczących) w liczbie
Przykład: a = 5,000 - my wiemy, że wszystkie cyfry tej liczby są znaczące 1. opisanie liczby np. " a = 5,000 - wszystkie podane cyfry są znaczące"
2. zapisanie liczby w notacji zmiennoprzecinkowej (naukowej, półlogarytmicznej)
L = M E C
M - mantysa (liczba od 0,000... do 9,999...), C - cecha (liczba całkowita); obydwie mogą być poprzedzone znakiem -(minus)
a = 5,000⋅ 100
Czytanie notacji zmiennoprzecinkowej:
a = 2,345E-2 = 2,345 ⋅ 10-2
a = -7,2541E0004 = -7,2541 ⋅ 104
a = 6,02E23 = 6,02 ⋅ 1023
3. podanie liczby wraz z jej błędem (nieoznaczonością, nieokreślonością, niepewnością) a = a ± ∆ a
a = 5,000 ± 0,001
Błędy liczb przybliżonych
Błąd bezwzględny liczby przybliżonej jest to wartość bezwzględna różnicy między liczbą przybliżoną a i dokładną A
∆ (a) = |a - A|
Kres górny błędu bezwzględnego jest to każda liczba nie mniejsza od błędu bezwzględnego liczby przybliżonej
∆ a ≥ ∆( a)
Uwaga: błą d bezwzglę dny ∆ (a) i kres górny błę du bezwzglę dnego ∆ a wyraż ane muszą być w takich samych jednostkach jak wielkość a (mówią c inaczej - wszystkie mają takie same miana)
Dokładne cyfry znaczące liczby przybliżonej
jeżeli ostatnia cyfra dokładna liczby przybliżonej znajduje się na n-tej pozycji rozwinięcia dziesiętnego tej liczby, to kres górny błędu bezwzględnego liczby przybliżonej nie przekracza połowy jednostki n-tej pozycji dziesiętnej
1
n
a
∆ = ⋅ 10
2
Błąd względny liczby przybliżonej jest to stosunek błędu bezwzględnego liczby przybliżonej do wartości bezwzględnej liczby dokładnej
(
∆
δ a)
( a)
=
A
Kres górny błędu względnego jest to każda liczba δ a nie mniejsza od błędu względnego tej liczby a
δ ≥ δ ( a)
Jako kres górny błędu względnego przyjmuje się wartość wyrażenia
a
∆
a
δ =
a − a
∆
lub przy założeniu, że |a|>> ∆ a
a
∆
a
δ =
a
Uwaga: błą d wzglę dny i kres górny błę du wzglę dnego nie mają jednostek (inaczej mówią c - są
liczbami niemianowanymi). Po pomnoż eniu δ a przez 100% błą d wzglę dny wyraż ony bę dzie w procentach - jest to czę sto spotykane w chemii
Błędy działań arytmetycznych na liczbach przybliżonych Błąd sumy i różnicy
Jeżeli dodajemy lub odejmujemy liczby przybliżone, to kres górny błędu bezwzględnego sumy lub różnicy tych liczb nie przekracza sumy kresów górnych błędów bezwzględnych dodawanych lub odejmowanych liczb. Czyli jeżeli
a = a1 + a2 + a3+...+an lub a = a1- a2 - a3-....-an
to
∆ a ≤ ∆ a1 + ∆ a2 + ∆ a3+....+ ∆ an
Błąd iloczynu i ilorazu
Jeżeli mnożymy lub dzielimy liczby przybliżone, to kres górny błędu względnego iloczynu lub ilorazu tych liczb przybliżonych nie przekracza sumy kresów górnych błędów względnych mnożonych lub dzielonych liczb. Czyli jeżeli
a
a = a ⋅
1
=
1 a2 ⋅ a3 ⋅ ... ⋅ an lub a
a ⋅ a ⋅ .... ⋅ a
2
3
n
to
δ a ≤ δ a1 + δ a2 + δ a3 ...+ δ an
Jeżeli potęgujemy liczbę przybliżoną a, to kres górny błędu względnego m-tej potęgi tej liczby jest
|m| razy większy niż kres górny błędu względnego liczby potęgowanej u = am
to
δ u = |m|⋅δ a
Podstawowe zasady prowadzenie obliczeń i zaokrąglania wyników 1. Obliczenia błędów (niepewności pomiarowych) powinny być prowadzone z dokładnością co najmniej trzech cyfr znaczących
2. Obliczony błąd końcowy powinien być zaokrąglany do dwóch cyfr znaczących lub do jednej cyfry znaczącej
3. Obliczenia wyniku pomiaru należy prowadzić z taką dokładnością, aby pozycja ostatniej cyfry dziesiętnej wyniku przekraczała pozycję ostatniej cyfry dziesiętnej błędu końcowego 4. Wynik końcowy zaokrągla się na tej samej pozycji dziesiętnej co błąd końcowy
Wskazówki praktyczne - Załącznik 1 do Wykładu