2010-03-09
Zastosowania logiki rozmytej
Logika rozmyta
Jest bardzo przydatna w zastosowaniach inżynierskich, czyli
tam, gdzie klasyczna logika klasyfikująca jedynie według
(ang. fuzzy logic) to jedna z logik wielowartościowych
kryterium prawda/fałsz nie potrafi skutecznie poradzić sobie
(ang. multi-valued logic), stanowi uogólnienie klasycznej
z wieloma niejednoznacznościami i sprzecznościami.
dwuwartościowej logiki. Jest ściśle powiązana z teorią
zbiorów rozmytych i teorią prawdopodobieństwa. Została
Znajduje wiele zastosowań, między innymi w:
zaproponowana przez Lotfi Zadeha w 1965 roku.
Øð elektronicznych systemach sterowania (maszynami,
pojazdami i automatami)  np. pralki, lodówki, problem
W logice rozmytej między stanem 0 (fałsz) a stanem 1
korków ulicznych;
(prawda) rozciąga się szereg wartości pośrednich, które
Øð zadaniach eksploracji danych;
określają stopień przynależności elementu do zbioru.
Øð w budowie systemów ekspertowych.
1 2
Metody logiki rozmytej wraz z algorytmami
ewolucyjnymi i sieciami neuronowymi
stanowią nowoczesne narzędzia do budowy
inteligentnych (nie mylić ze świadomymi)
Zaznaczonej pionową linią temperaturze można przypisać
jednocześnie wartości, które można zinterpretować jako:
systemów mających zdolności uogólniania
dość zimna, ledwo ciepła i zupełnie nie gorąca. Takie
wiedzy.
podejście pozwala przykładowo na regulację działania
układów hamulcowych.
3 4
Podstawy matematyczne  zbiory rozmyte
Jak zakwalifikować 35  latka? (do jakiej grupy wiekowej?)
Porównanie do klasycznych zbiorów
Np. niech będzie dany zbiór mieszkańców miasta K,
którego podzbiorem jest zbiór mieszkańców posiadających
samochody.
Każdemu z mieszkańców można przypisać: 1  gdy ma samochód
0  gdy nie ma samochodu.
Osoby należące do tego zbioru można przedstawić za pomocą
argumentów składających się z dwóch wartości: osoba oraz 0 lub 1.
Logika rozmyta wprowadza wartości pomiędzy
Zbiór taki może mieć następujące elementy:
standardowe 0 i 1,
Miasto K = { Justyna, 1 ; Przemysław, 1; Aleksandra, 0 }
 rozmywa pomiędzy nimi granice.
Dzięki temu wiadomo, że osobami posiadającymi samochody są
5 6
Justyna i Przemysław.
1
2010-03-09
Przykład
Podzbiór rozmyty Z zbioru Y tak samo może być reprezentowany
Niech: Y  zbiór osób;
przez dwuargumentowy zestaw wartości, w których pierwszy
Z  zbiór osób wysokich  zbiór rozmyty.
element odpowiada wartości zbioru Y, a drugi przyjmuje wartości
Zbiór Z określa w jakim stopniu osoba ze zbioru Y należy do zbioru
ze zbioru [0;1]. Podobnie jak w zwykłym zbiorze drugi element
osób wysokich.
określa przynależność do podzbioru Z, z tą różnicą, że oprócz
Wprowadzamy funkcję przynależności do zbioru rozmytego,
 całkowitej przynależności do niego (dla 1) i  całkowitym brakiem
bazującą na wzroście:
tej przynależności (dla 0), posiadamy informacje o tzw.  stopniu
Np.:
przynależności do podzbioru Z (określoną wartościami z
Z(y) = ( 0 wzrost 170 cm
przedziału 0-1). Stopień przynależności stanowi dla nas
[Z(y)  170] / 20 170 cm < wzrost < 190 cm
informacjÄ™, jak daleko element y jest oddalony od naszego 1 wzrost 190 cm )
podzbioru Z. Określamy go dzięki funkcji przynależności.
7 8
Dzięki zastosowaniu funkcji przynależności uzyskujemy dane:
Np.:
Z(y) = ( 0 wzrost 170 cm
Stopień
[Z(y)  170] / 20 170 cm < wzrost < 190 cm
Osoba Y Wzrost przynależności do
Z
1 wzrost 190 cm )
Darek 193 1
Kamil 139 0
Zbyszek 128 0
SÅ‚awek 182 0,6
Karol 175 0,25
Mariusz 179 0,45
Jacek 187 0,85
9 10
Funkcja przynależności często ma bardziej złożony kształt, Operacje na zbiorach rozmytych
niż ten, który został przedstawiony w przykładzie.
Np. kształt trójkąta, trapezu, paraboli.
Podstawowe operacje:
vð negacja (NOT)
vð suma (OR)
vð iloczyn (AND)
11 12
2
2010-03-09
Podstawowe operatory t  normy (dla iloczynu logicznego) Podstawowe operatory s  normy (dla sumy logicznej)
W przypadku sumy oraz iloczynu logicznego jest kilka możliwości
Negacja zbioru = 1  stopień przynależności danego elementu
otrzymania wyników.
13 14
Przykład
NEGACJA:
Dane:
Jeżeli mamy dany podzbiór rozmyty A zbioru Y, to jego negacją
jest podzbiór
=Y-A. Czyli dla każdego y należącego do A mamy

(y)=1-A(y)
Przykład:
Jeżeli A={ a/1; b/0,4; c/0,8; d/0,2; e/0 }
to
={ a/0; b/0,6; c/0,2; d/0,8; e/1 }
15 16
ILOCZYN:
SUMA:
Jeżeli mamy dane podzbiory rozmyte A i B zbioru Y, to ich
Jeżeli mamy dane podzbiory rozmyte A i B zbioru Y, to ich
iloczynem jest podzbiór C=AandB. Czyli dla każdego y należącego
sumą jest podzbiór C=AorB. Czyli dla każdego y należącego do
do Y mamy C(y)=Min[A(y), B(y)]
Y mamy C(y)=Max[A(y), B(y)]
Przykład:
Przykład:
A={ a/1; b/0,3; c/0,8; d/0; e/0,1 }
A={ a/1; b/0,3; c/0,8; d/0; e/0,1 }
B={ a/0,6; b/0,4; c/0,9; d/0,5; e/0,7 }
B={ a/0,6; b/0,4; c/0,9; d/0,5; e/0,7 }
C={ a/0,6; b/0,3; c/0,8; d/0; e/0,1 }
C={ a/1; b/0,4; c/0,9; d/0,5; e/0,7 }
17 18
3
2010-03-09
Przykład.
Rozbudowany przykład wyznaczania przynależności do zbioru
Z - ludzi wysokich, który był zdefiniowany następująco: Należy wyznaczyć następujące
Np.:
zbiory rozmyte:
Z(y) = ( 0 wzrost 170 cm
[Z(y)  170] / 20 170 cm < wzrost < 190 cm
- zbiór ludzi wysokich lub starych
1 wzrost 190 cm )
A = Z LUB V
Definiujemy nowy zbiór rozmyty : V  ludzi starych:
- zbiór ludzi wysokich i starych
V(y) = ( 0 wiek 40 lat
[V(y)  20]/40 40 lat < wiek < 60 lat
B = Z I V
1 wiek 60 lat )
19 20
żð zbiór ludzi wysokich lub starych: A = Z LUB V
żð zbiór ludzi wysokich i starych: B = Z I V
Stopień Stopień
Graficzne prezentacja operacji
Osoba Wzrost Wiek
Przynależności Przynależności
A B
Y
(osoby_stare)LUB(osoby_wysokie):
do Z do V
Darek 193 18 1 0 1 0
Kamil 139 53 0 0,82 0,82 0
Zbyszek 128 25 0 0,1 0,1 0
SÅ‚awek 182 74 0,6 1 1 0,6
Karol 175 35 0,25 0,36 0,36 0,25
Graficzne prezentacja operacji
Mariusz 179 48 0,45 0,69 0,69 0,45
(osoby_stare)I(osoby_wysokie):
Jacek 187 27 0,85 0,2 0,85 0,2
21 22
4