Logika rozmyta
Logika rozmyta
Logika rozmyta
logika klasyczna logika rozmyta
logika klasyczna logika rozmyta
Tradycyjna logika dwuwartościowa: (0 lub 1, prawda lub fałsz), gdzie granice
zbioru są określone ściśle
zbioru są określone ściśle.
Logika rozmyta jest rozwinięciem logiki wielowartościowej i jest oparta na
koncepcji nieostrych granic pomiędzy zbiorami elementów których stopień
koncepcji nieostrych granic pomiędzy zbiorami elementów, których stopień
przynależności do zbioru jest wartością z przedziału [0, 1].
Zmienna lingwistyczna
Z i li i t j t i któ j t ś i ż
Zmienna lingwistyczna jest zmienną, której wartości wyrażone
są językiem naturalnym lub sztucznym. Temperatura jest zmienną
lingwistyczną, jeżeli jej wartość wyrażona jest terminami
lingwistycznymi: wysoka, bardzo wysoka, ciepło, chłodno, raczej
chłodno. Zamiast: 100, 140, 190 , 320 &
Rozmyta reguła warunkowa:
JEŻELI tt j t k TO j ik j t ł
JEŻELI temperatura jest wysoka TO moc grzejnika jest mała
przesłanka j
p konkluzja
rada
rada
reakcja
decyzja
prognoza
Wnioskowanie rozmyte oparte na bazie reguł
(modelu lingwistycznym)
(g y y )
ź ź
ź ź
mały wysoki bardzo duży mały duży szybko
mały wysoki bardzo duży mały duży szybko
zmienna wyjściowa: napięcie,
zmienna wejściowa: prędkość,
siła moc
siła, moc
przyśpieszenie temperatura
przyśpieszenie, temperatura,
pozycja
Rozmyta reguła warunkowa:
Rozmyta reguła warunkowa:
JEŻELI temperatura jest wysoka TO moc grzejnika jest mała
JEŻELI temperatura jest wysoka TO moc grzejnika jest mała
przesłanka konkluzja
System wnioskowania rozmytego (FRBS) - MISO
IF x1 is Aj1(x1) and/or x2 is Aj2(x2) and/or and/or x is Aj (x ) THEN y is Bj(y)
IF x1 is Aj1(x1) and/or x2 is Aj2(x2) and/or & and/or xn is Ajn(xn) THEN y is Bj(y)
Zbiór rozmyty
Zbiorem rozmytym A w przestrzeni X
zmiennej x nazywamy zbiór par:
A = {x, źA(x); x " X}
gdzie źA(x) jest funkcją przynależności (ang. membership funcion)
x" X
zbioru A, która określa stopień przynależności każdemu elementowi
do zbioru rozmytego A:
do zbioru rozmytego A:
źA(x) : X [0,1]
źA(x) > 0
Zbiór elementów przestrzeni X, dla których
jest nazywany nośnikiem zbioru A (ang. support):
s
u
p
p
(A) = {x " X ; ź (x) > 0}
A
Funkcje przynależności
trójkątna funkcja przynależności
ż#
ż#
A
#
0, c d" x d" a
#
x
# - a
ź (x) a < x d" b
źA(x) = , a < x d" b
#
#
#b - a
#c - x
#c - b , b < x < c
c b
#
#
# ś#
x - a c - x
ś#,0 ź#
ś#
źA(x) = maxś#min# ,
ś# ź#
ź#
b - a c - b
# #
# #
Matlab s syntax: trimf(x,[a, b, c])
y ( [ ])
A
>> x=0:1:10;
>> y=trimf(x,[2 5 8]);
>> plot(x,y);grid;
x=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
y=[0, 0, 0, 0.33, 0.66, 1, 0.66, 0.33, 0, 0, 0]
Funkcje przynależności
funkcja Gaussa (krzywa dzwonowa)
j( y )
A
A
( )2
(x-c)2
-
2
2
źA(x) = e
where:
c and are the centre point
c and are the centre point
and width of the gausian curve
X
Matlab s syntax: gaussmf(x,[, c])
Funkcje przynależności
trapezoidal MF S shaped MF Z shaped MF
trapezoidal MF S-shaped MF Z-shaped MF
ab a b
a b cd
zmf(x [a b])
zmf(x,[a, b])
tf( [ b d]) f( [ b])
trapmf(x,[a, b, c, d]) smf(x,[a, b])
0, d d" x d" a
1, x d" a
ż# 0, x d" a ż#
ż#
#
#
# #
# #
2
2
2
x - a
x
#1- 2# - a a + b
ś#
x
# # - a a + b
ś#
#
, a < x < b
, a < x d"
ś# ź#
#
#2ś# b - a ź# , a < x d" 2
# - a
b - a 2
b
# # #
# # #
ź(x) =
ź(x) =
#1,
#
ź(x) =
#
2
b d" x d" c
2
# - x a + b
b
# # ś#
#
b - x a + b
ś#
ś#
< x < b
#2ś# ź#
#2ś# b - a ź# , 2 < x < b
b
ś#
ś#
# #1 2# ź#
#d - x #1- 2# b - a ź# , 2 < x < b
# #
#
# #
, c < x < d
#
#
#0,
x e" b
d
# - c
#1, #
x e" b
#
# ś#
# ś#
x
# - a d - x
ś#
ś#,0 ź#
ś#
ź(x) = maxś#min# ,1,
ś# ź#
ź#
b - a d - c
# #
# #
Operacje arytmetyczne na zbiorach rozmytych
Operacje koniunkcji () jj (OR) ą
pj j (AND) i disjunkcji ( ) realizowane są z zastosowaniem
norm trójkątnych (T-norma i T-conorma) w celu wyznaczenia części wspólnej
(przecięcie zbiorów rozmytych) lub sumy zbiorów rozmytych (agregacja zbiorów
rozmytych).
T- norma iloczyn zbiorów rozmytych.
T- conorma (S-norma) suma zbiorów rozmytych.
Iloczyn dwóch zbiorów rozmytych:
T
źA)"B (x) = T(źA(x), źB (x))= źA(x) * źB (x)
T-normy spełniają prawa:
przemienność:
( ) ( )
T(a,b)= T(b, a)
łączność:
T(a,T(b,c))= T(T (a,b),c)
monotoniczność:
monotoniczność:
T( b)d" T( d) f d" b d" d
T(a,b)d" T(c, d), for a d" c,b d" d
tożsamość jedynki: T(a,1)= a
T-norma iloczyn (przecięcie) zbiorów rozmytych,
operacje koniunkcji (AND)
T-norma Zadeha: minimum
T(ź (x), źB (x))= min(źA(x), źB (x))
A
1 0.75 0.5 0.25 0
ż# #
A = , , , ,
# Ź#
3 4 5 6#
3 4 5 6#
#2
#2
0 0.25 0.5 0.75 1
ż# #
B
B = , , , ,
# Ź#
# Ź#
3 4 5 6#
#2
0 0.25 0.5 0.25 0
ż# #
A )" B
A )" B = , , , ,
# Ź#
# Ź#
3 4 5 6#
#2
T-norma iloczyn (przecięcie) zbiorów rozmyty,
operacje koniunkcji (AND)
T-norma: iloczyn algebraiczny (algebraic product)
T(ź (x), źB (x))= źA(x) " źB (x)
A
AB
1 0.75 0.5 0.25 0
ż# #
A = , , , ,
# Ź#
3 4 5 6#
3 4 5 6#
#2
#2
0 0.25 0.5 0.7 1
. . .75
ż# #
ż# #
B
B = , , , ,
# Ź#
# Ź#
3 4 5 6#
#2
0 0.1875 0.25 0.1875 0
ż# #
A)" B = , , , ,
, , , ,
# Ź#
# Ź#
3 4 5 6#
#
#2 #
T-norma iloczyn (przecięcie) zbiorów rozmytych,
operacje koniunkcji (AND)
T-norm: iloczyn ograniczony (bounded product)
T(źA(x),źB (x))= max(0, źA(x) + źB (x) -1)
AB
1 0.66 0.33 0
ż# #
A
A = , , ,
# Ź#
# Ź#
4 5 6#
#3
0.25 0.5 0.75 1
ż# #
ż# #
B = , , ,
# Ź#
3 4 5 6#
#
# #
0.25 0.16 0.08 0
ż# #
A)" B =
A)" B = , , ,
# Ź#
# Ź#
3 4 5 6#
#
T-normy
- minimum ( ą j ą ą )
(zwana normą trójkątną Zadeha)
T(źA(x),źB (x))= min(źA(x),źB (x))
- iloczyn algebraiczny
T(ź (x), źB (x))= źA(x) " źB (x)
A
- Iloczyn ograniczony
T(ź ( ) ź ( )) max(0 ź ( ) + ź ( ) 1)
T(źA(x),źB (x))= max(0, źA(x) + źB (x) -1)
- norma Einsteina
źA(x) " źB (x)
( ) ( )
T(źA(x),źB (x))=
2 - (źA(x) + źB (x) - źA(x) " źB (x))
- norma Hamachera
źA(x) " źB (x)
T(źA(x),źB (x))=
ź (x) + ź (x) ź (x) ź (x)
źA(x) + źB (x) - źA(x) " źB (x)
T-conormy (S-normy: suma zbiorów rozmytych)
S
źA*"B (x) = S(ź (x), źB (x))= ź (x) + źB (x)
A A
T-conormy (S-normy) spełniają prawa:
przemienność:
przemienność:
S(a b) = S(b a)
S(a,b) = S(b, a)
łączność:
S(a, S(b,c))= S(S(a,b),c)
monotoniczność:
t i ść
S( b)d" S( d) f d" b d" d
S(a,b)d" S(c, d), for a d" c,b d" d
tożsamość jedynki:
S(a,1)=1
S-norma (T-conorma) suma zbiorów rozmytych,
operacja dysjunkcji (OR)
S-norma Zadeha: maximum
ź (x) = max(ź (x), źB (x))
A*"B A
1 0 75 0 5 0 25 0
1 0.75 0.5 0.25 0
ż# #
ż# #
A = , , , ,
# Ź#
3 4 5 6#
#2
0 0.25 0.5 0.75 1
ż# #
B = , , , ,
# Ź#
3 4 5 6#
3 4 5 6#
#2
#2
1 0.75 0.5 0.75 1
1 0.75 0.5 0.75 1
ż# #
ż# #
A B
A)" B = , , , ,
# Ź#
# Ź#
3 4 5 6#
#2
S-norma (T-conorma) suma zbiorów rozmytych,
operacja dysjunkcji (OR)
S-norma: suma algebraiczna
źA*"B(x) = źA(x) + źB(x) - źA(x)"źB(x)
A
B
1 0.75 0.5 0.25 0
1 0.75 0.5 0.25 0
ż# #
ż# #
A
A = , , , ,
# Ź#
# Ź#
3 4 5 6#
#2
0 0.25 0.5 0.75 1
ż# #
B = , , , ,
# Ź#
3 4 5 6#
3 4 5 6#
#2
#2
1 0.8125 0.75 0.8125 1
ż# #
ż# #
A B
A)" B = , , , ,
# Ź#
# Ź#
3 4 5 6#
#2
S-norms
suma algebraiczna: suma ograniczona:
ź (x) ź (x) + ź (x) ź (x) ź (x) ź (x) min(ź (x) + ź (x)1)
źA*"B(x) = źA(x) + źB(x) - źA(x)"źB(x) źA*"B(x) = min(źA(x) + źB(x),1)
A
B
A
B
S-normy
- maksimum ( ą j ą ą )
(zwana normą trójkątną Zadeha)
S(źA(x),źB (x))= max(źA(x),źB (x))
- suma algebraiczny
S(źA(x),źB (x))= źA(x) + źB (x) - źA(x) " źB (x)
- ograniczona suma
S(ź ( ) ź ( )) min(1 ź ( ) + ź ( ))
S(źA(x),źB (x))= min(1, źA(x) + źB (x))
- norma Einsteina
źA(x) + źB (x)
S(źA(x),źB (x))=
1+ źA(x) " źB (x)
- norma Hamachera
źA(x) + źB (x) - 2 " źA(x) " źB (x)
S(źA(x),źB (x))
S(źA(x),źB (x))=
1- źA(x) " źB (x)
Implikacja rozmyta
Rozmyta relacja: JEŻELI x jest A TO y jest B
Ż
ź (x y)= T (ź (x) ź (y))
źAB(x, y)= T (źA(x),źB (y))
Fuzzy T norm implication:
Fuzzy T-norm implication:
źAB(x, y)= S(źA(x),źB (y))
Fuzzy S-norm implication:
Najbardziej popularne implikacje oparte na T-normach:
M d i i li ti L i li ti
Mamdani s implication: Larsen s implication:
źB'(y) = min(ź (x), źB ( y))źB'( y) = ź (x) " źB (y)
A
A
Implikacje rozmyte z koniunkcyjną przesłanką
Jeżeli x jest A i x jest B TO y jest C
Jeżeli x1 jest A1 i x2 jest B1 TO y jest C1
źC1'( y) = TI (T)"(ź (x1), źB1 (x2 )), źC1(y))
(A1 )" B1) C1 :
A1
Implikacja Mamdaniego:
źC'(y) = min{min(ź (x1), źB (x2 )), źC ( y)}
A
źC'(y) = min(ź (x1), źB (x2 ))" źC ( y)
Implikacja Larsena:
A
Implikacje rozmyte z dysjunkcyjną przesłanką
IF x is A or x is B THEN y is C
IF x1 is A1 or x2 is B1 THEN y is C1
źC1'(y) = TI (S)"(ź (x1), źB1 (x2 )), źC1(y))
(A1 *" B1) C1 :
A1
Implikacja Mamdaniego:
źC'(y) = min{max(źA(x1), źB (x2 )), źC (y)}
źC'(y) = max(ź (x1), źB (x2 ))" źC ( y)
Implikacja Larsena:
A
Implikacje rozmyte
Implikacja Mamdaniego:
Implikacja Mamdaniego:
źAB(x, y)= min(źA(x),źB (y))
I lik j L
Implikacja Larsena:
źAB(x, y)= źA(x) " źB (y)
Implikacja Aukasiewicza:
źAB(x, y) min(1,1 źA(x) + źB (y))
źAB(x, y)= min(1,1- źA(x) + źB (y))
Implikacja Yagera:
B
( ) ( )ź ( y)
źAB(x, y)= (źA(x))ź ( y)
Implikacja Goguena:
Implikacja Goguena:
# ś#
źB ( y)
ś# ź#
źAB(x, y)= minś# ,1ź#
źA(x)
źA(x)
# #
# #
Agregacja wyników implikacji
1 d l i ł kh k ó hiki bi
1. odpalenie n reguł warunkowych, których wynikiem są zbiory
rozmyte B i :
Ri: IF x is Ai THEN y is Bi gdzie: i = 1, 2, & , n
B i = Ai Bi
i i i
2. agregacja wyników wszystkich reguł:
B (B B B ) S(B B B )
B =agg(B 1, B 2, & , B n) = S(B 1, B 2, & , B n)
W celu otrzymania wyników wszystkich implikacji i zsumowania ich stosuje
W celu otrzymania wyników wszystkich implikacji i zsumowania ich stosuje
się kompozycje T-norm i S-norm:
n
n
B'=
i
UA o Bi
i=1
gdzie o jest operatorem kompozycji.
Kompozycja typu max-min
Implikacja:T norma minimum.
Implikacja:T-norma minimum
Agregacja: S-norma maksimum.
T
0.4 0 0.3 0.5 1 0.5 0.3 0 0 0 0
Ą# ń# Ą# ń#
n=3
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
B'=
i
UA o Bi = ó#0.2Ą# o ó#0 0 0.1 0.6 1 0.5 0.1 0 0 0Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
i=1
ó#0 5Ą# ó#0 0 0 0 2 0 6 1 0 7 0 4 0 1 0Ą#
ó#0.5Ą# ó#0 0 0 0.2 0.6 1 0.7 0.4 0.1 0Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Ł# Ś# Ł# Ś#
0 0.3 0.4 0.4 0.4 0.3 0 0 0 0
Ą# ń#
ó# Ą#
ó# Ą#
ó# Ą#
= 0 0 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0 0
0 0 0 1 0 2 0 2 0 2 0 1 0 0 0
ó# Ą#
ó#0 0 0 0.2 0.5 0.5 0.5 0.4 0.1 0Ą#
Ł# Ś#
[ ]
= [0 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.5 0.4 0.1 0]
Kompozycja typu max-min
ź( y) max{min(min(źA(x1),źB (x2)),źC ( y))}
ź( y) = max{min(min(źA(x1),źB (x2)),źC ( y))}
y"Y
Kompozycja typu max-product
ź( y) max{min(ź (x ) ź (x )) ź (y)}
ź( y) = max{min(ź (x1), źB (x2 ))" źC (y)}
A
y"Y
Wyostrzanie - defuzzification
centroid center of gravity,
bisector bisector vertical line divides the region into two equal areas,
gq ,
lom largest of maximum,
mom middle of maximum,
mom middle of maximum,
som smallest of maximum.
Wybrane pozycje literaturowe
Driankov D., Hellendoorn H., Reinfrank M.:
Driankov D., Hellendoorn H., Reinfrank M.:
Wprowadzenie do sterowania rozmytego. WNT ,Warszawa1996.
Yager R., Filev D.:
Podstawy modelowania i sterowania rozmytego.
WNT Warszawa 1995
WNT, Warszawa 1995.
Rutkowska D.:
Inteligentne systemy obliczeniowe. Algorytmy genetyczne i sieci
neuronowe w systemach rozmytych.
Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ, Warszawa 1997.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Algorytmy genetyczne a logika rozmytaMP logika rozmytauś wykład logikaLogika rozmyta podstawyLogika rozmytaWykład 9 Sterowanie Rozmytewyklad logikaLogika wykładyLOGIKA wykłady dr Marek Jastrzębskilogika wykladLOGIKA WYKŁADYWykład III Logika systemów cyfrowych, funkcje logicznelogika wyklad 06Logika wyklad 1logika wyklad 05więcej podobnych podstron