2011-01-14
Czym jest Logika Rozmyta (ang. Fuzzy-Logic)?
Czym jest Logika Rozmyta (ang. Fuzzy-Logic)?
Klasyczna logika
Klasyczna logika bazuje na dwóch wartościach reprezentowanych
najczęściej przez: 0 i 1 lub prawda i fałsz. Granica między nimi jest
jednoznacznie określona i niezmienna.
Logika rozmyta
Logika rozmyta stanowi rozszerzenie klasycznego rozumowania na
Sterowanie Rozmyte
Sterowanie Rozmyte
rozumowanie bliższe ludzkiemu. Wprowadza ona wartości pomiędzy
standardowe 0 i 1;  rozmywa granice pomiędzy nimi dając możliwość
t d d 0 i 1   i i d i i d j li ść
zaistnienia wartościom z pomiędzy tego przedziału (np.: prawie fałsz, w
połowie prawda).
2
Zmienna lingwistyczna Klasyczne i rozmyte pojecie
Zmienna lingwistyczna Klasyczne i rozmyte pojecie
Przez zmienną lingwistyczną rozumiemy zmienną, której
wartościami są słowa lub zdania w języku naturalnym lub
sztucznym Powyższe słowa lub zdania
sztucznym Powyższe słowa lub zdania
nazywamy wartościami lingwistycznymi zmiennej
lingwistycznej np. jest ciepło, jest zimno itd.
3 4
Modele rozmyte stosuje się wszędzie tam, gdzie trudno jest
Klasyczne i rozmyte pojecie
Klasyczne i rozmyte pojecie
utworzyć matematyczny model, ale daje się opisać sytuacje
Klasyczny zbiór
w sposób jakościowy, za pomocą reguł rozmytych.
38.7�C
38.7�C
38�C
38�C
40.1�C
40.1�C
41.4�C
41.4�C
Zbiór rozmyty
42�C
42�C
C
C
39 3�C
39 3�C
39.3�C
39.3�C
 Wysoka temperatura 38.7�C
38�C
37.2�C
37.2�C
40.1�C
40.1�C
41.4�C
41.4�C
42�C
42�C
39.3�C
39.3�C
 Wysoka temperatura
37.2�C
5 6
1
2011-01-14
Funkcja przynależności (FP)
Funkcja przynależności (FP)
Zbiory rozmyte
Zbiory rozmyte
Zbiory rozmyte są to zbiory nie posiadające jasno zdefiniowanej granicy,
Funkcja przynależności określa stopień, w jakim x należy do zbioru A.
elementy zbioru posiadają jedynie pewien stopień przynależności.
Stopień przynależności przyjmuje wartości z zakresu [0, 1].
Stopień przynależności elementów do zbioru rozmytego jest określony
poprzez funkcje przynależności (ang. membership function (MF) )
funkcje przynależności
Definicja:
Definicja:
Zbiór rozmyty A w X j y j
y y jest określony jako zbiór
uporządkowanych par:
Funkcja Zbiór uniwersalny
Zbiór rozmyty
przynależności przestrzeń; x "X
(MF)
Zbiór rozmyty A jest całkowicie określony przez funkcje
przynależności
7 8
Funkcja przynależności (FP)
Funkcja przynależności (FP)
Typy funkcji przynależność
Typy funkcji przynależność
ź(x1)
1
czerwony
żółty
0,8
0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
f
f5
f1 f2 f3 f4 częstotliwość
fali świetlnej
Funkcje przynależności dla koloru czerwonego i żółtego:
Kolor jasnoczerwony o częstotliwości f1 ma wartość FP 0,8 do koloru
czerwonego i 0,2 do koloru żółtego;
Kolor pomarańczowy o o częstotliwości f3 ma wartość FP 0,4 do koloru
czerwonego i 0,6 do koloru żółtego;
9 10
Gausowska FP Dzwonowa FP
Gausowska FP Dzwonowa FP
Gausowska funkcja przynależności jest opisana wzorem: Funkcja przynależności typu dzwonowego opisana jest wzorem:
1
2
ź(x,a,b,c) =
�# ś#
x-x
2b
-ś# ź#
x - c
ś# ź#
�
1+
�# #
źA(x) = e
a
gdzie parametry a, b, c określają wygląd funkcji. a określa szerokość, b
gdzie x-kreska jest środkiem, a sigma określa szerokość krzywej
nachylenie c środek
nachylenie, c środek.
gausowskiej. Ta funkcja jest najczęściej spotykana w różnych
zastosowaniach.
11 12
2
2011-01-14
FP klasy s FP klasy Ą
FP klasy s FP klasy Ą
ż# 0 dla x d" a
Funkcja przynależności klasy Funkcja przynależności klasy Ą. Tą funkcję przynależności definiuje się poprzez
2
�#
x - a
funkcję klasy s:
s zdefiniowana jest jako:
2�# ś# dla a < x d" b
�# ś# ź#
c
�# - a
�# #
ż#s(x,c - b,c - b
s(x, a,b,c) =
�# ,c) dla x d" c
2
�#
2
�#1- 2�# x - c ś# dla b < x d" c
Ą (x,b,c) =
ś# ź# �#
b
�# - a
c
�# # �#
1- s(x,c,c + ,c + b) dla x > c
�#
1 dla x > c �# 2
�#
gdzie b=(a+c)/2
Funkcja ta przyjmuje wartości zerowe dla -x e" c+b oraz x d" c  b, natomiast w
Wykres tej funkcji przypomina literę s, stąd jej nazwa. Jej kształt zależy od
y j j p yp ę ą j j j y
punktach x c ą b/2 jej wartość wynosi 0,5.
punktach x = c ą b/2 jej wartość wynosi 0 5
parametrów a, b, c i w punkcie x = b funkcja przyjmuje wartość 0,5.
13 14
FP klasy ł FP klasy t
FP klasy ł FP klasy t
Funkcja przynależności klasy t opisana jest wzorem:
Funkcja przynależności klasy ł opisana jest wzorem:
ż# 0 dla x d" a
x
ż# 0 dla x d" a �# - a
�#b - a dla a < x d" b
�# x - a �#
t(x, a,b,c) =
ł (x, a,b) = dla a < x d" b �#c - x
�#
�# dla b < x d" c
�#b - a
c - b
�#
1 dla x > b
�#
�# 0 dla x > c
�#
�#
Wykres funkcji gamma jest podobny do wykresu funkcji s.
Wykres tej funkcji z kolei jest analogiczny do funkcji klasy Ą.
15 16
Operacje na zbiorach rozmytych
Operacje na zbiorach rozmytych
FP klasy L
FP klasy L
Funkcja przynależności klasy L opisana jest wzorem:
Podzbiór:
ż# 1 dla x d" a
�#b - x
L(x, a,b) = dla a < x d" b
�#
�#b - a
0 dla x > b Dopełnienie (negacja):
�#
Suma:
Przecięcie (iloczyn):
17 18
3
2011-01-14
Suma i iloczyn zbiorów
Suma i iloczyn zbiorów
T - norma i S - norma
T - norma i S - norma
Przecięcie zbiorów rozmytych możemy zdefiniować ogólniej jako:
A, B - zbiory rozmyte.
ź(x)
Suma
Suma A*"B to zbiór o funkcji przynależności:
A B ź ( x) = T (ź ( x), ź ( x))
A )"B A B
gdzie funkcja T jest tzw. T-normą.
Zatem min(źA(x), źB(x)) = T(źA(x), źB(x)) jest przykładem działania T-
x
max można zastąpić S-normą S(a,b), niemalejącą dla obu argumentów,
ż t ić S S( b) i l j dl b tó
normy.
przemienną, łączną i S(a,0)= a, S(a,1)=1.
Podobnie sumę zbiorów rozmytych definiujemy następująco
Iloczyn
Iloczyn A )" B to zbiór o funkcji przynależności:
ź ( x) = S (ź ( x), ź ( x))
A *"B A B
ź(x)
A B
gdzie funkcja S jest tzw. S-normą.
W tym przypadku max(źA(x), źB(x)) = S(źA(x), źB(x)) jest przykładem
działania S-normy.
x
min można zastąpić dowolna T-normą T(a,b), nierosnąca dla obu T-normy oraz S-normy należą do tzw. norm trójkątnych.
argumentów, przemienną, łączną i T(a,0)=0, T(a,1)=a.
19 20
T - norma
T - norma
Dowolna T-norma jest ograniczona w sposób następujący
Funkcję dwóch zmiennych T
Tw (a, b) d" T (a, b) d" min( a, b)
T : [0,1] � [0,1] [0,1]
gdzie Tw jest T-normą postaci:
nazywamy T-normą, jeżeli:
funkcja T jest nierosnąca względem obu argumentów
ż# a gdy b = 1
T(a, c) d" T(b, d) dla a d" b c d" d �#
( , ) ( , )
T ( b) b d 1
Tw(a,b) = b gdy a = 1
�#
�#
�#
0 gdy a,b `" 1
funkcja T spełnia warunek przemienności �#
T(a, b) = T(b, a)
W dalszej części działanie T-normy na argumentach a, b będziemy
funkcja T spełnia warunek łączności
oznaczać:
T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c))
T
T (a, b) = a * b
funkcja T spełnia warunki brzegowe
T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a
gdzie a, b, c, d [0,1].
21 22
S - norma
S - norma
Funkcję dwóch zmiennych S
Dowolna S-norma jest ograniczona w sposób następujący
S : [0,1] � [0,1] [0,1]
max( a, b) d" S (a, b) d" S (a, b)
w
nazywamy S-normą, jeżeli:
gdzie Sw jest S-normą postaci
funkcja S jest nierosnąca względem obu argumentów
S(a, c) d" S(b, d) dla a d" b c d" d
ż# a gdy b = 0
�#
funkcja S spełnia warunek przemienności S ( b) b d 0
funkcja S spełnia warunek przemienności Sw(a,b) = b gdy a = 0
�#
�#
S(a, b) = S(b, a) �#
1 gdy a,b `" 0
�#
funkcja S spełnia warunek łączności
S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c))
W dalszej części działanie S-normy na argumentach a, b będziemy
oznaczać
S
funkcja S spełnia warunki brzegowe
S (a, b) = a * b
S(a, 0) = a, S(a, 1) = 1
gdzie a, b, c, d [0,1].
Funkcja S nosi także nazwę ko-normy lub normy dualnej względem
23 24
T-normy.
4
2011-01-14
Reguły wnioskowania w logice rozmytej
Reguły wnioskowania w logice rozmytej
Należy podkreślić, że każdej T-normie odpowiada S-norma, a zależność
między nimi wyraża równanie
Uogólnioną (rozmytą) reguła wnioskowania modus ponens
T
Ą#(1 S
a * b = 1 - - a ) *(1 - b)ń#
określa następujący schemat
ó# Ą#
Ł# Ś#
Przesłanka: x jest A2
Kilka częściej spotykanych T- oraz S-norm:
Implikacja: Jeżeli x jest A To y jest B
Nr T(a, b) S(a, b)
1 min(a, b)max(a, b)
Wniosek: y jest B2
2 ab a + b  ab
gdzie: A, A2 "X oraz B, B2 " Y są zbiorami rozmytymi (wartości
3 max(a + b  1, 0) min(a + b, 1)
lingwistyczne), x i y są zmiennymi lingwistycznymi.
ż# a gdy b = 1 ż# a gdy b = 0
�# �#
4 b gdy a =1 b gdy a = 0 Zmienne lingwistyczne to takie zmienne, które przyjmują jako
�# �#
�# �#
swoje wartości zbiory rozmyte. Można je sformalizować
0 gdy a,b `" 1 1 gdy a, b `" 0
�# �#
poprzez przyporządkowanie im pewnych zbiorów rozmytych.
Mogą również przyjmować wartości liczbowe.
25 26
Reguła rozmyta
Reguła rozmyta
Etapy budowy modelu rozmytym
Etapy budowy modelu rozmytym
A. Czynności wstępne:
1. Określenie reguł rozmytych.
2. Określenie funkcji przynależności do wartości wejść i wyjść.
B. Główne kroki:
1. Rozmycie wejść poprzez użycie funkcji przynależności
fuzyfikacja).
2. A
ączenie rozmytych przesłanek (wejść) poprzez rozmyte
reguły by uzyskać rozmyte konsekwencje (z wielu reguł).
3. A
ączenie wniosków (konsekwencji), by otrzymać ostateczny
rozkład wyjścia.
4. Defuzyfikacja wyjścia (wyostrzenie)  tylko, gdy musimy
uzyskać jednoznaczna odpowiedz.
27 28
Modele rozmyte Fuzyfikacja (rozmywanie)
Modele rozmyte Fuzyfikacja (rozmywanie)
Operacja fuzyfikacji polega na rozmywaniu czyli obliczaniu stopnia
przynależności do poszczególnych zbiorów rozmytych Ai, Bj wejść.
Aby operację tę przeprowadzić muszą być dokładnie zdefiniowane
funkcje przynależności źAi(x1), źBj(x2) do zbiorów rozmytych
poszczególnych wejść.
Model oparty na logice rozmytej jest definiowany bazą reguł w postaci:
JEŻELI...I...TO (IF& AND& THEN). np.:
JEŻELI (x1=A1) I (x2=B1) TO (y=C1)
Obliczone wartości stopni przynależności źAi(x1*), źBj(x2*) informują o
JEŻELI (x1=A2) I (x2=B2) TO (y=C2)
tym, jak wysoka jest przynależność ostrych wartości wejść x1*, x2* do
x1, x2, y - zmienne lingwistyczne,
poszczególnych zbiorów rozmytych wejść
29 30
A1, ..., C2 - zbiory rozmyte
5
2011-01-14
Inferencja (wnioskowanie) Inferencja (wnioskowanie)
Inferencja (wnioskowanie) Inferencja (wnioskowanie)
Wyznaczenie na podstawie wejściowych stopni przynależności Mechanizm inferencyjny składa się z następujących części:
źAi (x1*), źBj (x2*), tzw. wynikowej (wyjściowej) funkcji
1.
przynależności źwyn(y) modelu. 1. Części, która na podstawie stopni spełnienia przesłanek
poszczególnych reguł z uwzględnieniem
Aby przeprowadzić wnioskowanie należy określić następujące wykorzystywanych w nich operatorów (I albo LUB) oblicza
y p p y ęp ją
elementy: stopień aktywizacji konkluzji reguł.
" bazę reguł,
2.
2. Części określającej wynikową postać funkcji
" mechanizm inferencyjny, przynależności wyjścia źwyn(y) na podstawie stopni
aktywizacji konkluzji poszczególnych reguł.
" funkcje przynależności wyjścia y modelu.
31 32
Inferencja (wnioskowanie)
Inferencja (wnioskowanie)
Indukcja reguł rozmytych
Indukcja reguł rozmytych
Przeprowadzenie rozmytego wnioskowania wymaga oceny stopnia
spełnienia (prawdziwości) przesłanek poszczególnych reguł.
" Dla przesłanki prostej typu:
Parametry adaptacyjne w regułach rozmytych:
JEŻELI (x1=A1), x= x*
Liczba reguł.
stopień spełnienia przesłanki źR(x*) równy jest stopniowi przynależności
wartości x* do zbioru A
Liczba termów dla każdego atrybutu.
" Dla przesłanki złożonej z dwóch przesłanek prostych
Położenie funkcji przynależności (FP).
połączonych spójnikiem logicznym I typu:
Kształt FP dla każdego atrybutu.
JEŻELI (x1=A1) I (x2=B2),
Postać konkluzji.
dla danych wartości argumentów x1=x1* i x2=x2*, stopień tej
Wybór operatorów.
prawdziwości jest obliczany jako stopień przynależności do relacji:
Indukcja: konstruktywna lub adaptacja.
* * * * * *
ź (x1 , x2 )= ź (x1 , x2 )= T (ź (x1 ), ź (x2 ))
R A1 )" B2 A1 B2
33 34
Defuzyfikacja (wyostrzanie)
Defuzyfikacja (wyostrzanie)
Metoda środka ciężkości (Center of Gravity)
Metoda środka ciężkości (Center of Gravity)
Defuzyfikacja zbioru rozmytego B *(y), uzyskanego jako
wynik wnioskowania, to określenie ostrej wartości y*
reprezentującej ten zbiór.
Najbardziej znane metody defuzyfikacji to:
" metoda środka ciężkości (Center of Gravity),
Zalety metody środka ciężkości
" metoda środka maksimum (Middle of Maxima),
" Wszystkie zaktywizowane funkcje przynależności konkluzji (wszystkie aktywne
" metoda pierwszego maksimum (First of Maxima),
reguły) biorą udział w procesie defuzyfikacji. Gwarantuje to większą czułość
regulatora rozmytego na zmiany jego wejść.
" metoda ostatniego maksimum (Last of Maxima),
Wady metody środka ciężkości
" metoda wysokości, metoda singletonów (Height Method).
" Duża ilość skomplikowanych obliczeń, co jest związane z całkowaniem
powierzchni o nieregularnym kształcie. Istnieje kilka metod upraszczania obliczeń
dla metody środka ciężkości, jak na przykład użycie prostokątnych funkcji
przynależności.
35 36
" Zawężenie zakresu defuzyfikacji
6
2011-01-14
Metoda pierwszego maksimum (First of Maxima)
Metoda pierwszego maksimum (First of Maxima)
Metoda środka maksimum (Middle of Maxima)
Metoda środka maksimum (Middle of Maxima)
Zalety metody pierwszego maksimum:
Zaletą metody jest prostota obliczeniowa ułatwiająca zastosowanie tańszych
" mały nakład obliczeniowy,
elementów w układzie sterowania. Prostota obliczeniowa okupiona jest jednak
" większa (względem metody średniego maksimum) czułość na zmiany stopnia
pewnymi wadami.
aktywizacji konkluzji reguł.
Wadą metody jest to, że na wynik metody wpływa tylko ten zbiór rozmyty, który
jest najbardziej zaktywizowany. Zbiory mniej zaktywizowane nie mają wpływu.
Wady metody pierwszego maksimum:
Oznacza to również, że na wynik w postaci ostrej wartości wyjściowej y* mają
" nieciągłość,
wpływ tylko te reguły bazy reguł, które mają ten zbiór w swojej konkluzji (często
" uwzględnianie w procesie defuzyfikacji tylko jednego, najbardziej
jest to tylko jedna reguła). W ten sposób defuzyfikacja powoduje, że nie
zaktywizowanego zbioru
wszystkie reguły biorą udział w procesie.
37 38
Metoda ostatniego maksimum (Last of Maxima) Metoda wysokości (Height Method)
Metoda ostatniego maksimum (Last of Maxima) Metoda wysokości (Height Method)
Zalety metody wysokości:
" znaczne zmniejszenie ilości obliczeń w porównaniu z metodą środka ciężkości,
" ciągłość,
" duża czułość.
Metoda ostatniego maksimum posiada takie same zalety i wady jak
Wynik defuzyfikacji z użyciem metody singletonowej określa wzór:
metoda pierwszego maksimum
39 40
Rodzaje modeli rozmytych Modele Mamdaniego
Rodzaje modeli rozmytych Modele Mamdaniego
Jedna reguła z jedną przesłanką (ang. antecedent)
Główną zaletą modeli rozmytych jest możliwość ich budowania
na bazie znacznie mniejszej ilości informacji o modelowanym
Reguła : Jeżeli x jest A To y jest B (ang. Rule)
systemie, w porównaniu do modeli matematycznych.
Fakt: x jest A
Konkluzja : y jest B (ang. Conclusion)
" Model Mamdaniego jest zbiorem reguł, z których każda
definiuje jeden rozmyty punkt w tej przestrzeni
definiuje jeden rozmyty punkt w tej przestrzeni.
Graficzna reprezentacja (model Mamdaniego) :
Jeżeli (x jest A) To (y jest B) gdzie: A i B  zbiory rozmyte
" Model Takagi-Sugeno ma w konkluzji funkcje f(x), a nie zbiór
rozmyty.
Jeżeli (x jest A) To (y = f(x)).
41 42
7
2011-01-14
Modele Mamdaniego Modele Mamdaniego
Modele Mamdaniego Modele Mamdaniego
Kilka reguł z kilkoma przesłankami
Jedna reguła z kilkoma przesłankami:
Reguła 1: Jeżeli x jest A1 I y jest B1 To z jest C1
Reguła: Jeżeli x jest A I y jest B To z jest C
Reguła 2: Jeżeli x jest A2 I y jest B2 To z jest C2
Fakt: x jest A I y jest B
Fakt: x jest A I y jest B
Konkluzja: z jest C
Konkluzja: z jest C
Konkluzja: z jest C
Graficzna reprezentacja (model Mamdaniego) :
Operator implikacji Mamdaniego jest oparty na założeniu, że
prawdziwość konkluzji źC(y) nie może być większa od
stopnia spełnienia przesłanki źA(x) .
43 44
Modele Mamdaniego
Modele Mamdaniego
Modele Takagi-Sugeno
Modele Takagi-Sugeno
Graficzna reprezentacja (model Mamdaniego) : Model jedno wejście  jedno wyjście
If speed is low then resistance = 2
If speed is medium then resistance = 4
If speed is high then resistance = 8
Reguła 1: w1 = .3; r1 = 2
Resistance = Ł(wi*ri) / Ł wi = 7.12
Reguła 2: w2 = .8; r2 = 4
Reguła 3: w3 = .1; r3 = 8
45 46
Przykład
Przykład
Modele Takagi-Sugeno
Modele Takagi-Sugeno
Model posiada dwa wejścia: x1  położenie, x2  prędkość
Model dwa wejścia  jedno wyjście
oraz że opisany jest dwiema regułami:
" Baza reguł Jeżeli x1 jest ŚREDNIE I x2 jest ŚREDNIE To u1 = 1+4x1-2x2
If X is A1 and Y is B1 then Z = p1*x + q1*y + r1
Jeżeli x1 jest MAA
E I x2 jest MAA
E To u2 = -x1+3x2
If X is A2 and Y is B2 then Z = p2*x + q2*y + r2
Należy obliczyć sygnał wyjściowy regulatora dla: x1=1 i x2=3
" Wnioskowanie rozmyte
Wnioskowanie rozmyte
ź(x1) ź(x2)
1 1
A - małe C - mała D - średnia
0,8
0,8
0,8
B - średnie
0,7
0,6 0,6
0,4
0,4
0,3
0,2
0,2
0,2
x1 x2
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7
położenie prędkość
47 48
8
2011-01-14
źA(1)= 0,8
źC(3)= 0,3
Zalety modelowania rozmytego
Zalety modelowania rozmytego
źB(1)= 0,2 źD(3)= 0,7
Wybierając operator iloczynu (min) otrzymujemy:
Możliwość przetwarzania informacji niepewnej
w2 = min(0,3;0,7)= 0,3
w1 = min(0,8;0,2)= 0,2
i nieprecyzyjnej
Wyliczając wartości wyjścia dla poszczególnych reguł otrzymujemy:
Możliwość odwzorowania nieliniowych zależności
y
u 1+ 4x 2x f (1;3) 1
u1 = 1+ 4x1 - 2x2 = f (1;3)= -1
Możliwość wykorzystania wiedzy ekspertów
u2 = -x1 + 3x2 = f (1;3)= 8
Ponieważ sygnał wyjściowy regulatora Sugeno jest znormalizowaną sumą
Możliwość uczenia na podstawie danych
ważoną wszystkich wyjść, otrzymujemy:
N pomiarowych
u
"wj j
w1u1 + w2u2 Model nie jest czarną skrzynką
j=1
u = = = 4,4
N
w1 + w2
"wj
49 50
j=1
Przykład
Przykład
Kiedy stosować sterowanie rozmyte
Kiedy stosować sterowanie rozmyte
Brak pełnej odpowiedzi
Nie zmieniać rozwiązań które działają poprawnie, są
niedrogie i dobrze się sprzedają
Można próbować sterowanie rozmyte jeśli
 brak kompletnego opisu matematycznego
 oprogramowanie jest trudne
 silna nieliniowość procesu
51 52
1. Rozmywanie wielkości wejściowej 2. Zastosowanie operatorów rozmytych
1. Rozmywanie wielkości wejściowej 2. Zastosowanie operatorów rozmytych
53 54
9
2011-01-14
3. Zastosowanie metod wnioskowania 4. Baza reguł
3. Zastosowanie metod wnioskowania 4. Baza reguł
55 56
5. Wyostrzanie wyjścia (defuzyfikacja) Regulator rozmyty FLC (Fuzzy Logic Controller)
5. Wyostrzanie wyjścia (defuzyfikacja) Regulator rozmyty FLC (Fuzzy Logic Controller)
Pod nazwą regulator rozmyty rozumiemy prawo
sterowania, które jest opisane przez system o
bazie wiedzy zawierający reguły JEŻELI - TO
oraz o mechanizmie sterowania bazującym na
h i i t i b j
logice rozmytej.
Metoda środka ciężkości
57 58
Regulator rozmyty typu P Regulator rozmyty typu PI
Regulator rozmyty typu P Regulator rozmyty typu PI
"u(k)= K "e(k)- KIe(k)
p
Prawo regulacji dyskretnego regulatora P:
e(k)= y0 - y(k) błąd w chwili próbkowania
zmienna sterująca między
( ) ( )
"u(k) = K e(k)
"u(k) u(k) u(k 1)
"u(k)= u(k)- u(k -1)
p
p
d h il i óbk i
dwoma chwilami próbkowania
Postać reguły: różnica błędu między dwoma
"e(k)= e(k)- e(k -1)
chwilami próbkowania
JEŻELI e(k) jest & TO u(k) jest &
"u(k)= F(e(k), "e(k -1))
Postać reguły:
JEŻELI e(k) jest & I "e(k) jest & TO u(k) jest &
59 60
10
2011-01-14
NB  duża ujemna PS  mała dodatnia
Przykładowa baza reguł dla regulatora PI:
Przykładowa baza reguł dla regulatora PI:
NM  średnia ujemna PM  średnia dodatnia
NS  mała ujemna PB - duża dodatnia
NB  duża ujemna PS  mała dodatnia
ZO  zero
NM  średnia ujemna PM  średnia dodatnia
NS  mała ujemna PB - duża dodatnia
"e
NB NM NS ZO PS PM PB
ZO  zero
e(k)
NB NB NB NB NB NM NS ZO
"e
Baza reguł
NB NM NS ZO PS PM PB NM NB NB NB NM NS ZO PS
Mac Vicara- e(k)
NS NB NB NM NS ZO PS PM
NS NB NB NM NS ZO PS PM
Whelana
NB NB NB NB NB NM NS ZO
ZO NB NM NS ZO PS PM PB
NM NB NB NB NM NS ZO PS PS NM NS ZO PS PM PB PB
PM NS ZO PS PM PB PB PB
NS NB NB NM NS ZO PS PM
PB ZO PS PM PB PB PB PB
ZO NB NM NS ZO PS PM PB
e jest albo blisko wartości zadanej albo wyraz
nie powyżej. Ponieważ "e jest ujemne,
PS NM NS ZO PS PM PB PB eZarówno e są małe lub zerowe - bieżąca wartość wyjścia procesu y jest
ejest średnie dodatnie lub duże, co oznacza, że y(k) jest znacznie poniżej wartości
e jest albo blisko wartości zadanej albo znacznie poniżej jej wartości, "e jest
jest duże ujemne lub średnie y(k) jest znacznie powyżej wartości zadanej. "e
wartość y(k)jak i "e
odchyla się od wartości zadanej. Ujemna zmiana poprzedniej zmiennej
zadanej. Ponieważ "e jest ujemne, wartość y(k) zmierza w kierunku wartości
dodatnie, to y(k) odchodzi od wartości zadanej. Stąd dodatnia zmiana "u zmierza do
wykazuje odchylenie od wartości zadanej, ale jest wciąż bliska jej wartości
PM NS ZO PS PM PB PB PB dodatnie tzn. y(k) zmierza do wartości zadanej. Liczba zmian, które wprowadzają
sterującej u(k-1) ma na celu odwrócenie tego procesu i spowodowanie, tego aby
zadanej. Liczba zmian "u, które wprowadzają reguły tej grupy do wcześniejszej
odwrócenia tego procesu i powoduje, że wartość y(k) zamiast odchodzić od wartości
reguły do poprzedniej zmiennej sterującej u(k-1) ma na celu przyspieszenie albo
Liczba zmian "u(k) wprowadzanych do poprzedniej zmiennej sterującej
wartość y(k) zbliżała się do wartości zadanej
PB ZO PS PM PB PB PB PB zmiennej sterującej u(k-1) albo przyspiesza, albo spowalnia dochodzenie do wartości
zadanej zmierza w jej kierunku
spowolnienie dojścia do wartości zadanej
u(k-1) jest również mała lub zerowa
zadanej
61 62
Regulator rozmyty typu PD Regulator rozmyty typu PID
Regulator rozmyty typu PD Regulator rozmyty typu PID
"u(k)= K e(k)- KD"e(k)
p
k
e(k ) = e(l - 1)
" "
l = 0
"u(k)= F(e(k), "e(k -1))
"u(k ) = F (e(k ), e(k ), "e(k ))
"
Postać reguły:
Postać reguły:
JEŻELI e(k) jest & I "e(k) TO u(k) jest &
JEŻELI e(k) jest & I "e(k) jest & I Łe(k) jest & TO u(k) jest &
63 64
Projektowanie regulatora rozmytego
Projektowanie regulatora rozmytego
1. Wyznaczanie zmiennych lingwistycznych
1 ź(e)
2. Konstruowanie bazy wiedzy
u 3. Strojenie
e u
Algorytm
ź(u)
KI ź(Łe)
regulacji
Wyznaczanie zmiennych lingwistycznych
Wyznaczanie zmiennych lingwistycznych
yy g y y
yy g y y
KD ź("e)
Określenie dziedziny zmiennych we/wy
Zmienne wejściowe (e, "e, Łe)
Zmienne wyjściowe (u, "u)
Schemat blokowy dyskretnego regulatora rozmytego
Normalizacja - [-1, 1]
Etykiety lingwistyczne np.:
duży dodatni, średni dodatni, mały dodatni, zero, mały
ujemny, średni ujemny i duży ujemny
65 66
11
2011-01-14
Konstruowanie bazy reguł
Konstruowanie bazy reguł
Wiedza intuicyjna i doświadczenie
Standardowa baza reguł (Mac Vicara-Whelana)
Strojenie funkcji przynależności
Strojenie funkcji przynależności
Zmiana czynnika skalującego  wartość wejściowa * SF
(zmiana wzmocnienia wzdłuż całego obszaru)
 metoda spadku gradientu
 Kryterium efektywności
Zmiana kształtów zbiorów rozmytych
 modyfikowanie wzmocnienia w
obrębie pewnego obszaru, np. zmiana czułości wokół zera
67 68
69 70
71 72
12
2011-01-14
73 74
Przykład
Przykład
System rozmyty sterujący prędkością pojazdu
W zadaniu należy rozważyć problem sterowania prędkością pojazdu, jadącego w
linii prostej. Prędkość pojazdu jest funkcją położenia przepustnicy. Funkcja ta z
założenia nie jest znana. Obiekt sterowany jest układem dynamicznym o jednym
wejściu u, które jest położeniem przepustnicy w procentach pełnego nastawienia i
o jednym wyjściu y, które jest prędkością pojazdu. Celem układu sterującego jest
śledzenie zmian pożądanej prędkości i usuwanie zmian wpływu zakłóceń
wynikających ze zmian dynamiki układu.
Schemat blokowy układu sterowania
Gdzie:
R - regulator rozmyty
O - obiekt
w- prędkość zadana
y - prędkość pojazdu
e- uchyb między prędkością zadaną a prędkością pojazdu
u- sterowanie
75 76
Wymaganiem stawianym przed układem sterowania jest zerowy uchyb
Zakres działania zmiennych dobrano następująco:
statyczny, stąd dokonano wyboru zmiennych wejściowych i zmiennej
wyjściowej :
zakres działania uchybu e [-150,150]; (prędkość maksymalna
pojazdu
zmienna wejściowa: e - uchyb
150 km/h) ;
zmienna wejściowa: de - zmiana uchybu
zmienna wyjściowa: du - zmiana sterowania
zakres działania zmiany uchybu de [-30,30]; (przy założeniu okresu
dyskretyzacj i Ts=1s);
Dobór powyższych zmiennych pozwala na realizację przyrostowego
Dobór powyższych zmiennych pozwala na realizację przyrostowego
algorytmu sterowania typu PI, zapewniającego zerową wartość uchybu
zakres działania zmiany sterowania du [-100,100]; (otwarcie
w stanie ustalonym.
przepustnicy od 0 do 100 %)
77 78
13
2011-01-14
Baza reguł:
Baza reguł:
Jeżeli e jest dodatni i de jest zerowa to du jest dodatnia
Jeżeli e jest ujemny i de jest zerowa to du jest ujemna
Jeżeli e jest zerowy i de jest dodatnia to du jest dodatnia
Jeżeli e jest zerowy i de jest ujemna to du jest ujemna
Jeżeli e jest zerowy i de jest zerowa to du jest zerowa
de
D Z U
e
D - D -
Z D Z U
U - U -
79 80
14