Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Logika pragmatyczna
Logika pragmatyczna
Kontakt:
dr Katarzyna Maciejowska
pokój 516 B4
[e-mail]
materiały + literatura + informacje na stronie www.
Zaliczenie:
Kolokwium pisemne na ćwiczeniach.
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Pojęcie logiki pragmatycznej
Logika uchwytuje sposoby wnioskowania stosowane w naukach
i uznawane za poprawne.
Słowo pragmatyczna (z języka greckiego pragma - czyn) ozna-
cza logikę jako narzędzie, którym posługujemy się w nauce.
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przykłady wnioskowania
Które wnioskowania są poprawne?
1
Jeżeli się nauczę to zdam. Nie zdałem więc się nie
nauczyłem.
2
Jeżeli się nauczę to zdam. Nie nauczyłem się więc nie
zdam.
3
Każdy filozof jest mądry. Nie jestem filozofem więc nie
jestem mądry.
Wnioskowania 1 jest poprawne natomiast wnioskowania 2 i 3
nie są poprawne.
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przykłady wnioskowania
Które wnioskowania są poprawne?
1
Jeżeli się nauczę to zdam. Nie zdałem więc się nie
nauczyłem.
2
Jeżeli się nauczę to zdam. Nie nauczyłem się więc nie
zdam.
3
Każdy filozof jest mądry. Nie jestem filozofem więc nie
jestem mądry.
Wnioskowania 1 jest poprawne natomiast wnioskowania 2 i 3
nie są poprawne.
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Klasyczny rachunek zdań
Zdaniem logicznym nazywamy stwierdzenie, któremu można
przypisać wartość prawda albo fałsz.
Prawdę oznaczamy cyfrą 1 a fałsz cyfrą 0.
Które ze zdan to zdanie logiczne?
1
9 dzieli się przez 3.
2
Słońce krąży wokół Ziemii.
3
Która godzina?
4
Ten samochód jest drogi.
Tylko Zdanie 1 i 2 to zdania logiczne. Prawdziwość Zdania 4
zależy od dokładnego określenia słowa  drogie .
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Klasyczny rachunek zdań
Zdaniem logicznym nazywamy stwierdzenie, któremu można
przypisać wartość prawda albo fałsz.
Prawdę oznaczamy cyfrą 1 a fałsz cyfrą 0.
Które ze zdan to zdanie logiczne?
1
9 dzieli się przez 3.
2
Słońce krąży wokół Ziemii.
3
Która godzina?
4
Ten samochód jest drogi.
Tylko Zdanie 1 i 2 to zdania logiczne. Prawdziwość Zdania 4
zależy od dokładnego określenia słowa  drogie .
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Klasyczny rachunek zdań
Zdaniem logicznym nazywamy stwierdzenie, któremu można
przypisać wartość prawda albo fałsz.
Prawdę oznaczamy cyfrą 1 a fałsz cyfrą 0.
Które ze zdan to zdanie logiczne?
1
9 dzieli się przez 3.
2
Słońce krąży wokół Ziemii.
3
Która godzina?
4
Ten samochód jest drogi.
Tylko Zdanie 1 i 2 to zdania logiczne. Prawdziwość Zdania 4
zależy od dokładnego określenia słowa  drogie .
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Klasyczny rachunek zdań
Zdaniem logicznym nazywamy stwierdzenie, któremu można
przypisać wartość prawda albo fałsz.
Prawdę oznaczamy cyfrą 1 a fałsz cyfrą 0.
Które ze zdan to zdanie logiczne?
1
9 dzieli się przez 3.
2
Słońce krąży wokół Ziemii.
3
Która godzina?
4
Ten samochód jest drogi.
Tylko Zdanie 1 i 2 to zdania logiczne. Prawdziwość Zdania 4
zależy od dokładnego określenia słowa  drogie .
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Klasyczny rachunek zdań
Zdaniem logicznym nazywamy stwierdzenie, któremu można
przypisać wartość prawda albo fałsz.
Prawdę oznaczamy cyfrą 1 a fałsz cyfrą 0.
Które ze zdan to zdanie logiczne?
1
9 dzieli się przez 3.
2
Słońce krąży wokół Ziemii.
3
Która godzina?
4
Ten samochód jest drogi.
Tylko Zdanie 1 i 2 to zdania logiczne. Prawdziwość Zdania 4
zależy od dokładnego określenia słowa  drogie .
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Klasyczny rachunek zdań
Zdaniem logicznym nazywamy stwierdzenie, któremu można
przypisać wartość prawda albo fałsz.
Prawdę oznaczamy cyfrą 1 a fałsz cyfrą 0.
Które ze zdan to zdanie logiczne?
1
9 dzieli się przez 3.
2
Słońce krąży wokół Ziemii.
3
Która godzina?
4
Ten samochód jest drogi.
Tylko Zdanie 1 i 2 to zdania logiczne. Prawdziwość Zdania 4
zależy od dokładnego określenia słowa  drogie .
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Język rachunku zdań
1
Zdanie logiczne to konkretne sformuowanie,które jest albo
prawdziwe albo fałszywe.
2
Zmienne zdaniowe p, q, r, s, . . . oznaczają dowolne zdania
logiczne.
3
Formułami logicznymi Ć, �, . . . są wyrażenia którego
argumentami są zmienne zdaniowe np. Ć = p (" q lub
Ć = (p '" q) (" (p <" q)
Analogia do znanych pojęć: liczba (1, 2, . . . ), zmienna (x, y, . . . )
i funkcja (f = x + y)
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Język rachunku zdań
Wartość logiczną (prawda lub fałsz) formuły logicznej otrzy-
mamy podstawiając pod zmienne zdaniowe konkretne zdania.
Nazywamy to wartościowaniem formuły (lub interpretacją).
Przykład:
(p '" q) r
p - "2>1"
q - "3>2"
r - "3>1"
((2 > 1) '" (3 > 2)) (3 > 1)
Jaka jest wartość logiczna tego zdania?
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Język rachunku zdań
Wartość logiczną (prawda lub fałsz) formuły logicznej otrzy-
mamy podstawiając pod zmienne zdaniowe konkretne zdania.
Nazywamy to wartościowaniem formuły (lub interpretacją).
Przykład:
(p '" q) r
p - "2>1"
q - "3>2"
r - "3>1"
((2 > 1) '" (3 > 2)) (3 > 1)
Jaka jest wartość logiczna tego zdania?
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Spójniki (funktory) zdaniowe
Spójniki (funktory) zdaniowe:
<" p nieprawda, że p (nie p) [negacja]
p '" q p i q [koniunkcja]
p (" q p lub q [alternatywa]
p q jeżeli p to q (z p wynika q) [implikacja]
p a" q p wtedy i tylko wtedy, gdy q [równoważność]
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Formuły logiczne
Formuły logiczne formalizują niektóre rozumowania wyrażone
w języku, np. języku polskim.
Przykład:
Jeżeli uczyłem się, to zdam i jeżeli zdam, to będę szczęśliwy;
wynika z tego, że jeżeli nie będę szczęśliwy to się nie uczyłem.
p - uczyłem się.
q - zdam.
r - będę szczęśliwy.
((p q) '" (q r)) (<" r <" p)
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Formuły logiczne
Formuły logiczne formalizują niektóre rozumowania wyrażone
w języku, np. języku polskim.
Przykład:
Jeżeli uczyłem się, to zdam i jeżeli zdam, to będę szczęśliwy;
wynika z tego, że jeżeli nie będę szczęśliwy to się nie uczyłem.
p - uczyłem się.
q - zdam.
r - będę szczęśliwy.
((p q) '" (q r)) (<" r <" p)
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Formuły logiczne
Uwagi:
1
Należy starannie wstawiać nawiasy. Na przykład formuła
p (" q r jest niejednoznaczna. Może oznaczać zarówno
(p (" q) r jak i p (" (q r).
2
W wyrażeniu (<" p) możemy opuścić nawiasy. Tak więc na
przykład formuła (p '" q) ((<" p) (" r) jest równoważna
(p '" q) (<" p (" r).
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Wartościowanie formuły - spójniki
Dla dowolnych zdań logicznych logicznych p i q spójniki
definiujemy następująco:
p <" p
1 0
0 1
p q p '" q p (" q p q p a" q
0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Wartościowanie formuły
Określ wartość logiczną formuły:
(p(" <" q) (r '" (p q))
dla wartościowania p = 1, q = 0 i r = 1.
ą � ł
p q r <" q p(" <" q p q r '" � ą ł
1 0 1 1 1 0 0 0
Formuła jest więc fałszywa dla tego wartościowania.
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Wartościowanie formuły
Określ wartość logiczną formuły:
(p(" <" q) (r '" (p q))
dla wartościowania p = 1, q = 0 i r = 1.
ą � ł
p q r <" q p(" <" q p q r '" � ą ł
1 0 1 1 1 0 0 0
Formuła jest więc fałszywa dla tego wartościowania.
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Tautologie rachunku zdań
Formuła logiczna jest tautologią jeżeli jest prawdziwa dla
każdego wartościowania zmiennych zdaniowych.
Przykład: prawo wyłączonego środka p(" <" p.
p p(" <" p
1 1
0 1
Tautologia jest zawsze prawdziwa niezależnie jakie zdania
logiczne podstawimy pod zmienne zdaniowe.
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Tautologie rachunku zdań
Pokaż, że następująca formuła jest tautologią:
((p q)'" <" q) <" p
ą �
p q p q <" q ą'" <" q <" p � <" p
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0 1
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Tautologie rachunku zdań
Pokaż, że następująca formuła jest tautologią:
((p q)'" <" q) <" p
ą �
p q p q <" q ą'" <" q <" p � <" p
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0 1
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Tautologie rachunku zdań
Pokaż, że następująca formuła jest tautologią:
((p q) '" (q r)) (<" r <" p)
Formuła może być fałszywa tylko wtedy gdy (<" r <" p) jest
fałszywa, czyli tylko wtedy gdy r = 0 i p = 1. Zatem wystarczy
tylko sprawdzić dwa przypadki (dla obu wartości q):
ą � ł �
p q r p q q r ą '" � <" r <" p ł �
1 1 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Tautologie rachunku zdań
Pokaż, że następująca formuła jest tautologią:
((p q) '" (q r)) (<" r <" p)
Formuła może być fałszywa tylko wtedy gdy (<" r <" p) jest
fałszywa, czyli tylko wtedy gdy r = 0 i p = 1. Zatem wystarczy
tylko sprawdzić dwa przypadki (dla obu wartości q):
ą � ł �
p q r p q q r ą '" � <" r <" p ł �
1 1 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Tautologie
Wybrane tautologie rachunku zdań (niektóre analogiczne do
własności liczb):
T1. <" (<" p) a" p Prawo podwójnego przeczenia
T2. ((p (" q) (" r) a" (p (" (q (" r)) Prawo łączności alternatywy
T3. ((p '" q) '" r) a" (p '" (q '" r)) Prawo łączności koniunkcji
T4. ((p (" q) '" r) a" ((p '" r) (" (q '" r)) I prawo rozdzielności
T5. ((p '" q) (" r) a" ((p (" r) '" (q (" r)) II prawo rozdzielności
T6. (p (" q) a" (q (" p) Prawo przemienności altern.
T7. (p '" q) a" (q '" p) Prawo przemienności kon.
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Tautologie
Wybrane tautologie rachunku zdań:
T8. p(" <" p Prawo wyłączonego środka
T9. p p Prawo identyczności
T10. (p q) a" (<" q <" p) Prawo kontrapozycji
T11. (p q) a" (<" p (" q) Prawo definiowania implikacji
T12. <" (p (" q) a" (<" p'" <" q) I prawo de Morgana
T13. <" (p '" q) a" (<" p(" <" q) II prawo de Morgana
T14. (p a" q) a" ((p q) '" (q p)) Prawo zastępowania równ.
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przekształcanie formuł
W formułach zawierających koniunkcję (alternatywę) można
opuszczać nawiasy i dowolnie zmieniać kolejność zmiennych.
Przykład:
((p(" <" q) (" r) a" (p (" (<" q (" r)) a" (p(" <" q (" r) a" (<" q (" p (" r)
Jednak nie wolno tego zrobić z implikacją!
(p q) r
nie jest równoważne formule
p (q r)
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przekształcanie formuł
W formułach zawierających koniunkcję (alternatywę) można
opuszczać nawiasy i dowolnie zmieniać kolejność zmiennych.
Przykład:
((p(" <" q) (" r) a" (p (" (<" q (" r)) a" (p(" <" q (" r) a" (<" q (" p (" r)
Jednak nie wolno tego zrobić z implikacją!
(p q) r
nie jest równoważne formule
p (q r)
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przekształcanie formuł
Jeżeli formuła Ć jest tautologią, to podstawiając pod zmienne
zdaniowe w Ć dowolne formuły otrzymamy nową tautologię.
Przykład:
Bierzemy tautologię:
(p q) a" (<" p (" q)
i podstawiamy pod p formułę (p q) a pod q formułę (p '" q).
Otrzymujemy nową tautologię:
((p q) (p '" q)) a" (<" (p q) (" (p '" q))
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przekształcanie formuł
Jeżeli formuła Ć jest tautologią, to podstawiając pod zmienne
zdaniowe w Ć dowolne formuły otrzymamy nową tautologię.
Przykład:
Bierzemy tautologię:
(p q) a" (<" p (" q)
i podstawiamy pod p formułę (p q) a pod q formułę (p '" q).
Otrzymujemy nową tautologię:
((p q) (p '" q)) a" (<" (p q) (" (p '" q))
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przekształcanie formuł
Tautologie pozwalają czasami na uproszczenie formuły.
Przykład:
<" (<" r '" (<" q '" p)) (" q (T13., T1.)
(r(" <" (<" q '" p)) (" q (T13., T1.)
(r (" (q(" <" p)) (" q Opuszczanie nawiasów, przemienność
<" p (" r (" q (" q (q (" q) a" q)
<" p (" r (" q
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przekształcanie formuł
Tautologie pozwalają czasami na uproszczenie formuły.
Przykład:
<" (<" r '" (<" q '" p)) (" q (T13., T1.)
(r(" <" (<" q '" p)) (" q (T13., T1.)
(r (" (q(" <" p)) (" q Opuszczanie nawiasów, przemienność
<" p (" r (" q (" q (q (" q) a" q)
<" p (" r (" q
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przekształcanie formuł
Każdą formułę można przedstawić w postaci równoważnej
używając jedynie alternatywy i negacji lub koniunkcji i negacji.
Przykład:
p a" q (T14.)
(p q) '" (q p) (T11.)
(<" p (" q) '" (<" q (" p) (T12.)
<" (<" (<" p (" q)(" <" (<" q (" p))
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przekształcanie formuł
Każdą formułę można przedstawić w postaci równoważnej
używając jedynie alternatywy i negacji lub koniunkcji i negacji.
Przykład:
p a" q (T14.)
(p q) '" (q p) (T11.)
(<" p (" q) '" (<" q (" p) (T12.)
<" (<" (<" p (" q)(" <" (<" q (" p))
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przekształcanie formuł
Alternatywę zmiennych zdaniowych lub ich negacji nazywamy
klauzulą. Na przykład:
(p (" q (" r)
(<" p (" q)
(p(" <" q(" <" r (" s)
Formuła jest w koniunkcyjnej postacji normalnej (KPN) jeżeli
jest koniunkcją pewnej liczby klauzul. Na przykład:
(p(" <" q(" <" r (" s) '" (<" p (" q) '" (r (" s(" <" t)
p '" q '" (<" p(" <" q)
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przekształcanie formuł
Każdą formułę można zapisać w równoważnej koniunkcyjnej
postaci normalnej.
Przykład:
(p q) <" r (T11.)
(<" p (" q) <" r (T11.)
<" (<" p (" q)(" <" r (T12.,T1.)
(p'" <" q)(" <" r (T5.)
(p(" <" r) '" (<" q(" <" r)
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przekształcanie formuł
Każdą formułę można zapisać w równoważnej koniunkcyjnej
postaci normalnej.
Przykład:
(p q) <" r (T11.)
(<" p (" q) <" r (T11.)
<" (<" p (" q)(" <" r (T12.,T1.)
(p'" <" q)(" <" r (T5.)
(p(" <" r) '" (<" q(" <" r)
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011
Wprowadzenie
Język rachunku zdań
Tautologie rachunku zdań
Przekształcanie formuł logicznych
Przekształcanie formuł
Formuła w koniunkcyjnej postaci normalnej jest tautologią wtedy
i tylko wtedy gdy w każdej klauzuli występuje pewna zmienna
zdaniowa i jej negacja.
Przykład tautologii:
(p (" q(" <" p) '" (<" p (" q (" r(" <" q) '" (<" s (" s)
W koniunkcyjnej postaci normalnej łatwo rozstrzygnąć czy
formuła jest tautologią.
Katarzyna Maciejowska Logika pragmatyczna 2010/2011