K T S , P G Žö
dr inż. Mirosław Jan Nowakowski
Obliczanie pochylenia zastępczego
Ostatnie zmiany: :ö=ö listopada :ö9öÜöÜö r., godz. :öÜö:<ö<ö
Wszelkie prawa zastrzeżone
Spis treści
Üö. Opory ruchu pociÄ…gu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Üö
:ö. Pochylenia linii kolejowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =ö
;ö. Pochylenie zastÄ™pcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =ö
;ö.Üö. Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =ö
;ö.:ö. PrzykÅ‚ad obliczeÅ„ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?ö
Üö. Opory ruchu pociÄ…gu
Na pociąg będący w ruchu, oprócz siły pociągowej, działa wiele sił różnego rodzaju
i pochodzenia, których większość skierowana jest zwykle przeciw ruchowi pociągu.
Rzuty tych wszystkich sił, odniesionych do obwodu kół pociągu, na kierunek jego biegu
nazywamy o p o r a m i r u c h u.
Oporom ruchu przypisujemy znak ,,+ , gdy sÄ… skierowane przeciw ruchowi pociÄ…gu
i znak ,,  , gdy ich kierunek jest zgodny z ruchem pociÄ…gu.
Wszystkie opory składowe jak i całkowite określa się jako siłę wyrażoną w [N] lub
w postaci oporów jednostkowych, odniesionych do Üö kN ciężaru pociÄ…gu, wyrażonych
w [N/kN] lub [ ].
Siły przeciwdziałające ruchowi składu pociągu po torze wyidealizowanym, doskonale
prostym i poziomym, nazywamy o p o r e m z a s a d n i c z y m. Po jego odniesieniu
do ciężaru pociągu otrzymujemy o p ó r j e d n o s t k o w y.
Wartość oporu zasadniczego pociągu można wyrazić za pomocą ogólnego wzoru
Wzas = Wk + WL + WÅ‚ + WA (Üö)
gdzie:
Wk Å‚Ä…czne opory kontaktowe,
WL opory łożysk osiowych,
WÅ‚ opory dyssypacji energii,
WA opór aerodynamiczny,
Üö
Pomoce dydaktyczne
K T S , P G Žö
przy czym:
(Wk + WL) = const
WÅ‚ = WÅ‚ (v)
WA = WA (v:ö)
gdzie:
v prędkość pojazdu szynowego [m/s].
Zgodnie z fizycznymi aspektami poszczególnych składników oporu ruchu pociągu,
można zapisać:
Wzas = (a + b Å" v) Å" Q + c Å" A Å" v:ö (:ö)
lub w postaci bardziej ogólnej:
Wzas = A Å" Q + B Å" v + D Å" v:ö , (;ö)
gdzie:
D = c Å" A
Stosowane na świecie wzory służące do obliczania oporu zasadniczego mają charakter
empiryczny i uwzględniają specyfikę oraz doświadczenia poszczególnych zarządów kole-
jowych. W Polsce stosuje siÄ™ wzory opracowane przez Instytut KolejnictwaÜö (w skrócie:
IK)  osobno dla lokomotyw, wagonów oraz zespołów trakcyjnych (zarówno elektrycz-
nych, jak i spalinowych).
Wzór IK dla lokomotyw ma postać
Wzas L = (9ö,Aö + 9ö,9ö=ö<ö Å" v) Å" QL + Üö<ö?ö Å" n + <ö,<ö=ö Å" v:ö [N] (<ö)
przy czym
QL = g Å" mL
gdzie:
QL nacisk lokomotywy na tor [kN];
mL masa lokomotywy [t];
g przyspieszenie ziemskie (Aö,@öÜö m/s:ö);
n liczba osi lokomotywy;
v prędkość jazdy lokomotywy [m/s].
Wzór IK na opór zasadniczy dla wagonów ma postać
Wzas W = (K + 9ö,9ö=ö<ö Å" v) Å" QW + Üö<ö?ö Å" n + f Å" (:ö,=ö + z) Å" v:ö [N] , (=ö)
przy czym
QW = g Å" mW
gdzie:
K współczynnik rodzaju Å‚ożysk, wynoszÄ…cy 9ö,Aö dla Å‚ożysk Å›lizgowych i 9ö,>ö=ö dla
łożysk tocznych;
Üö
Jest to nowa nazwa Centrum Naukowo-Technicznego Kolejnictwa( CNTK).
:ö
Pomoce dydaktyczne
K T S , P G Žö
QW nacisk wagonów na tor [kN];
mW masa wagonów [t];
n liczba osi w pociÄ…gu;
z liczba wagonów w pociągu;
f współczynnik zależny od rodzaju wagonów, który dla wagonów towarowych
wynosi 9ö,9ö9ö@ö, a dla wagonów osobowych  9ö,9ö9ö>ö;
v prędkość jazdy wagonów [m/s].
Na całkowity opór zasadniczy pociągu składa się opór pojazdu trakcyjnego oraz opór
wagonów. Wyraża się on zatem wzorem
W = Wzas L + Wzas W [N] ,
natomiast jednostkowy opór ruchu pociągu wyznaczamy z zależności
W W
w9ö = = [N/kN]. (>ö)
QL + QW g Å" (mL + mW)
Nieco inaczej należy traktować zespoły trakcyjne, w których wagony silnikowe oraz
wagony doczepne tworzą nierozłączną eksploatacyjnie całość. Według zaleceń IK do
obliczenia ich oporu zasadniczego należy stosować wzór
Wzas ZT = (9ö,>ö=ö + 9ö,9ö=ö<ö Å" v) Å" QZT + Üö<ö?ö Å" n + 9ö,9ö9ö>ö Å" (:ö,?ö + z) Å" v:ö [N] , (?ö)
przy czym
QZT = g Å" mZT
gdzie:
QZT nacisk na tor zapełnionego zespołu trakcyjnego [kN];
mZT masa zespołu trakcyjnego [t];
z liczba wagonów w zespole trakcyjnym;
n liczba osi w zespole trakcyjnym;
v prędkość jazdy zespołu trakcyjnego [m/s].
Opór jednostkowy zespołu trakcyjnego wyznaczamy odnosząc jego opór zasadniczy
do nacisku na tor, tzn.
Wzas ZT
w9ö = [N/kN]. (@ö)
QZT
W powyższych wzorach, przy braku dokładnych danych odnośnie mas pojazdów, do
obliczeÅ„ należy przyjmować wartoÅ›ci Å›rednie przedstawione w tab. Üö. Trzeba przy tym
pamiętać, że występujące w niej masy dla wagonów w zespole trakcyjnym podane są
bez pasażerów, których masę trzeba uwzględnić. Do obliczeń przyjmuje się zapełnienie
każdego wagonu Üö=ö9ö osobami o masie ?ö9ö kg.
Poza oporem zasadniczym na pociąg będący w ruchu oddziałują opory wynikające
z kształtu geometrycznego linii kolejowej w profilu podłużnym oraz w planie.
Opór na pochyleniu jest składową ciężaru pociągu Q równoległą do niwelety toru
(rys. Üö).
;ö
Pomoce dydaktyczne
K T S , P G Žö
Tab. Üö. Åšrednie masy pojazdów przyjmowane do obliczeÅ„ wg zaleceÅ„ IK
Rodzaj pojazdu Masa [t]
<ö-osiowy wagon pasażerski z obciążeniem <ö:ö
wagon towarowy :ö-osiowy caÅ‚kowicie zaÅ‚adowany ;ö;ö
wagon towarowy <ö-osiowy caÅ‚kowicie zaÅ‚adowany @ö9ö
lokomotywa <ö-osiowa @ö9ö
lokomotywa >ö-osiowa Üö:ö9ö
lokomotywa @ö-osiowa Üö>ö9ö
wagon silnikowy w zespole trakcyjnym =ö=ö
wagon doczepny w zespole trakcyjnym <ö9ö
Ponieważ ciężar pociągu Q wyrażany jest w [kN], wzór na dodatkowy opór na
wzniesieniu wyrażony w [N] będzie miał postać:
Wi = Üö9ö9ö9ö Å" Q Å" sin Ä… [N]
Z kolei p o c h y l e n i e m niwelety toru kolejowego Å‚Ä…czÄ…cego punkty A i B (rys. Üö)
nazywamy stosunek różnicy wysokości "h tych punktów do poziomej odległości między
nimi wyrażony w promilach, czyli:
"h
i = tg Ä… = Å" Üö9ö9ö9ö [ ]. (Aö)
l
Dla spotykanych w praktyce małych wartości kąta ą możemy przyjąć sin ą H" tg ą,
a wtedy
Wi = Q Å" i [N],
skąd wynika wzór na opór jednostkowy na wzniesieniu w postaci
Wi
wi = = i [ ] (Üö9ö)
Q
B
A
Q
l
Rys. Üö. Pochylenie toru i opór na pochyleniu
<ö
"h
Pomoce dydaktyczne
sin
Q
i
Q
c
os
K T S , P G Žö
Na wzniesieniach wartość oporu dodaje się do oporów zasadniczych, na spadkach 
odejmuje.
Opory na krzywiznach poziomych oblicza się zwykle według różnych wzorów
empirycznych. Na PKP na liniach normalnotorowych stosowany jest wzór
>öAö9ö
wk = [ ] (ÜöÜö)
R
gdzie:
R promień łuku poziomego [m].
Całkowite opory ruchu są sumą oporów zasadniczych, oporów profilu linii i ewentu-
alnie oporów dodatkowych ośrodka (np. podczas jazdy w tunelu):
Wc = Q Å" wc = Q Å" (w9ö Ä… i + wk) (Üö:ö)
:ö. Pochylenia linii kolejowej
P o c h y l e n i e m m i a r o d a j n y m im nazywamy największe dopuszczalne pochy-
lenie, na którym  przy danym typie lokomotywy  może odbywać się ruch najcięższego
dla danej linii pociągu z założoną stałą prędkością. Jest ono wyznaczane na długości
równej co najmniej długości najcięższego pociągu towarowego kursującego po danym
odcinku linii kolejowej.
Pochylenia o wielkości w granicach pochylenia miarodajnego  w zależności od tego,
czy są nie większe, czy większe od oporu jednostkowego pociągu  różnie wpływają na
wielkości pracy siły pociągowej.
P o c h y l e n i a n i e s z k o d l i w e to pochylenia mniejsze lub równe oporowi
jednostkowemu, które nie mają wpływu na średnią pracę lokomotywy przy jez
dzie w dół.
Średnia praca lokomotywy  przy uwzględnieniu jazdy w obu kierunkach  wynosi
wówczas tyle samo, co praca lokomotywy na odcinku poziomym.
P o c h y l e n i a s z k o d l i w e to pochylenia o oporze większym od oporu
jednostkowego. Przy jez
dzie w dół po pochyleniu szkodliwym przewaga pochylenia
(spadku) nad oporem ruchu powoduje ruch przyspieszony pociągu. Aby nie przekroczyć
dopuszczalnej prędkości, pociąg musi być hamowany. W ten sposób część pracy siły
pociągowej nie może być odzyskana, gdyż zostaje zużyta przez pracę hamulców.
Właściwości pochyleń nieszkodliwych i szkodliwych znajdują zastosowanie przy
trasowaniu kolei w terenach nizinnych, na których właśnie z takimi pochyleniami ma
się do czynienia. Zastosowanie w takim terenie pochyleń nieszkodliwych  zamiast
układania toru w poziomie lub jednym niewielkim pochyleniu  umożliwia zmniejszenie
objętości robót ziemnych przy tym samym koszcie eksploatacji linii.
;ö. Pochylenie zastÄ™pcze
;ö.Üö. Wprowadzenie teoretyczne
P o c h y l e n i e z a s t ę p c z e to pochylenie, na którym praca siły pociągowej
lokomotywy jest równa jej pracy rzeczywistej na linii o tej samej długości i zadanych
(projektowanych) zmiennych pochyleniach.
=ö
Pomoce dydaktyczne
K T S , P G Žö
Pochylenie zastępcze jest wykorzystywane do porównania pracy siły pociągowej
w zależności od układu projektowanej linii w profilu i w planie. Ma to znaczenie przy
analizie wariantów projektowanej linii i ostatecznym wyborze realizowanego rozwiązania.
Przyjmijmy dla uproszczenia, że obciążenie linii przewozami jest jednakowe w obu
kierunkach. Średnia praca siły pociągowej przy jez
dzie w obydwu kierunkach na części
linii o pochyleniach nieszkodliwych (tj. odcinkach poziomych i o pochyleniach i }* w9ö)
wynosi
ZÜö + Z:ö
Å" L9ö = P Å" w9ö Å" L9ö (Üö;ö)
:ö
gdzie L9ö  Å‚Ä…czna dÅ‚ugość pochyleÅ„ nieszkodliwych. Natomiast Å›rednia pracy siÅ‚y
pociÄ…gowej przy jez
dzie w obu kierunkach na części odcinka o pochyleniach szkodliwych
(pochylenia i > w9ö) wynosi:
ZÜö + Z:ö (w9ö + i)
Å" LÜö = P Å" Å" LÜö (Üö<ö)
:ö :ö
gdzie LÜö  Å‚Ä…czna dÅ‚ugość pochyleÅ„ szkodliwych.
Na łukach poziomych  położonych zarówno na pochyleniach nieszkodliwych, jak
i szkodliwych  konieczna jest dodatkowa praca siły pociągowej. Jej wartość obliczamy
dla każdego Å‚uku, mnożąc opór w Å‚uku obliczony ze wzoru (ÜöÜö) przez dÅ‚ugość toru, na
jakiej opór ten występuje. Długość toru położonego na łuku wyznaczamy z zależności:
Ä„ Å" R Å" Ä…
Lk =
Üö@ö9ö
gdzie:
Lk długość łuku kołowego;
R promień łuku poziomego;
Ä… kÄ…t zwrotu trasy.
Wobec tego dodatkowa praca siły pociągowej na łuku o promieniu R i długości Lk
wynosi:
>öAö9ö Ä„ Å" R Å" Ä…
ZR = iR Å" Lk = Å" = Üö:ö,9ö<ö Å" Ä… (Üö=ö)
R Üö@ö9ö
Oznaczając sumę kątów zwrotu wszystkich łuków poziomych położonych na pochyle-
niach nieszkodliwych przez Ä…9ö, a na pochyleniach szkodliwych  przez Ä…Üö, otrzymamy:
Üö:ö,9ö<ö Å" Ä…9ö dodatkowÄ… jednostkowÄ… pracÄ™ siÅ‚y pociÄ…gowej na Å‚ukach poÅ‚ożonych na
pochyleniach nieszkodliwych;
Üö:ö,9ö<ö Å" Ä…Üö dodatkowÄ… jednostkowÄ… pracÄ™ siÅ‚y pociÄ…gowej na Å‚ukach poÅ‚ożonych na
pochyleniach szkodliwych.
A
ączna praca siły pociągowej na całym analizowanym odcinku wynosi
(ZÜö + Z:ö) P [(w9ö + i)LÜö + Üö:ö,9ö<öÄ…Üö]
Å" L = Q Å" (w9öL9ö + Üö:ö,9ö<öÄ…9ö) + =
:ö :ö
w9öLÜö iLÜö Üö:ö,9ö<öÄ…Üö
= Q Å" w9öL9ö + Üö:ö,9ö<öÄ…9ö + + + =
:ö :ö :ö
w9öLÜö hÜö Ä…Üö
= Q Å" w9öL9ö + + + Üö:ö,9ö<ö Ä…9ö +
:ö :ö :ö
>ö
Pomoce dydaktyczne
K T S , P G Žö
Należy ją porównać z pracą siły pociągowej na umownym pochyleniu zastępczym iz
o wartości
(ZÜö + Z:ö) (w9ö + iz)
Å" L = Q Å" Å" L
:ö :ö
Mamy zatem:
(w9ö + iz) w9öLÜö hÜö Ä…Üö
Q Å" Å" L = Q w9öL9ö + + + Üö:ö,9ö<ö Ä…9ö +
:ö :ö :ö :ö
w9ö Å" L + iz Å" L = :öw9öL9ö + w9öLÜö + hÜö + Üö:ö,9ö<ö(:öÄ…9ö + Ä…Üö)
w9ö Å" L + iz Å" L = w9öL9ö + w9öLÜö + w9öL9ö + hÜö + Üö:ö,9ö<ö(:öÄ…9ö + Ä…Üö)
Üö
iz = [w9öL9ö + hÜö + Üö:ö,9ö<ö(:öÄ…9ö + Ä…Üö)] (Üö>ö)
L
Ponieważ we wzorze (Üö>ö) nastÄ™puje powiÄ…zanie oporów z pochyleniami, należy opory
ruchu podawać w wartościach bezwzględnych. Oznacza to, że:
ponieważ jednostkÄ… w9ö jest [N/kN], we wzorze wartość tÄ™ należy przemnożyć przez
9ö,9ö9öÜö;
ponieważ wartość Üö:ö,9ö<ö także ma miano [N/kN], należy jÄ… podać jako 9ö,9öÜö:ö9ö<ö.
Ostatecznie wzór na pochylenie zastępcze będzie miał zatem postać:
Üö
iz = [9ö,9ö9öÜö Å" w9ö Å" L9ö + hÜö + 9ö,9öÜö:ö9ö<ö(:ö Å" Ä…9ö + Ä…Üö)] Å" Üö9ö9ö9ö [ ]. (Üö?ö)
L
We wzorze tym wartoÅ›ci L, L9ö i hÜö sÄ… wyrażone w [m], a kÄ…ty Ä…9ö i Ä…Üö  w stopniach.
;ö.:ö. PrzykÅ‚ad obliczeÅ„
Dane
profil podÅ‚użny linii kolejowej wg rys. :ö;
masa wagonów skÅ‚adu osobowego =ö9ö9ö t;
liczba wagonów skÅ‚adu osobowego Üö9ö;
liczba osi wszystkich wagonów w skÅ‚adzie osobowym <ö9ö;
konstrukcja łożysk w wagonach składu osobowego  łożyska toczne;
masa wagonów skÅ‚adu towarowego ;ö9ö9ö9ö t;
liczba wagonów skÅ‚adu towarowego ;ö=ö;
liczba osi w skÅ‚adzie towarowym Üö<ö9ö;
konstrukcja łożysk w wagonach składu towarowego  łożyska toczne;
masa lokomotywy skÅ‚adu osobowego @ö9ö t;
liczba osi w lokomotywie skÅ‚adu osobowego <ö;
masa lokomotywy skÅ‚adu towarowego Üö:ö9ö t;
liczba osi w lokomotywie skÅ‚adu osobowego >ö;
prÄ™dkość pociÄ…gów osobowych Üö<ö9ö km/h;
prÄ™dkość pociÄ…gów towarowych @ö9ö km/h;
udziaÅ‚ w ruchu pociÄ…gów osobowych/towarowych >ö9ö% : <ö9ö%.
?ö
Pomoce dydaktyczne
K T S , P G Žö
Numer
1 2 3 4 5 6 7 8
odcinka
Pochylenie
0 0
1000 1500
i długość
Proste
1 = 15º30'
²
i Å‚uki
2 = 20º00' 3 = 10º10'
² ²
Rys. :ö. Dany profil fragmentu linii kolejowej
RozwiÄ…zanie
Opór zasadniczy lokomotywy pociągu osobowego:
:ö
Üö<ö9ö Üö<ö9ö
Wz l o = 9ö,Aö + 9ö,9ö=ö<ö Å" Å" Aö,@öÜö Å" @ö9ö + Üö<ö?ö Å" <ö + <ö,<ö=ö Å" = Aö>ö?ö:ö N
;ö,>ö ;ö,>ö
Opór zasadniczy lokomotywy pociągu towarowego:
:ö
@ö9ö @ö9ö
Wz l t = 9ö,Aö + 9ö,9ö=ö<ö Å" Å" Aö,@öÜö Å" Üö:ö9ö + Üö<ö?ö Å" >ö + <ö,<ö=ö Å" = =ö=ö=ö:ö N
;ö,>ö ;ö,>ö
Opór zasadniczy wagonów pociÄ…gu osobowego (<ö-osiowych o Å‚ożyskach tocznych):
:ö
Üö<ö9ö Üö<ö9ö
Wz w o = 9ö,>ö=ö + 9ö,9ö=ö<ö Å" Å"Aö,@öÜöÅ"=ö9ö9ö+Üö<ö?öÅ"<ö9ö+9ö,9ö9ö>öÅ"(:ö,=ö+Üö9ö)Å" = ÜöAö<ö@ö:ö N
;ö,>ö ;ö,>ö
Opór zasadniczy wagonów pociągu towarowego (o łożyskach tocznych):
:ö
@ö9ö @ö9ö
Wz w t = 9ö,>ö=ö + 9ö,9ö=ö<ö Å" Å"Aö,@öÜöÅ";ö9ö9ö9ö+Üö<ö?öÅ"Üö<ö9ö+9ö,9ö9ö@öÅ"(:ö,=ö+;ö=ö)Å" = ?ö=öÜö?ö<ö N
;ö,>ö ;ö,>ö
Opór zasadniczy pociągu osobowego:
Wz o = Aö>ö?ö:ö + ÜöAö<ö@ö:ö = :öAöÜö=ö<ö N
Opór zasadniczy pociągu towarowego:
Wz t = =ö=ö=ö:ö + ?ö=öÜö?ö<ö = @ö9ö?ö:ö>ö N
Opór jednostkowy pociągu osobowego:
:öAöÜö=ö<ö
w9ö os = = =ö,Üö
Aö, @öÜö Å" (@ö9ö + =ö9ö9ö)
Opór jednostkowy pociągu towarowego:
@ö9ö?ö:ö>ö
w9ö tow = = :ö,>ö
Aö, @öÜö Å" (Üö:ö9ö + ;ö9ö9ö9ö)
@ö
Pomoce dydaktyczne
3
10
3
8
3
10
300
800
00
00
300
15
500
10
K T S , P G Žö
Opór jednostkowy przy danej strukturze ruchu:
w9ö = 9ö,>ö Å" =ö,Üö + 9ö,<ö Å" :ö,>ö = <ö,Üö
Całkowita długość odcinka:
L = Üö9ö9ö9ö + Üö=ö9ö9ö + =ö9ö9ö + ;ö9ö9ö + ;ö9ö9ö + Üö9ö9ö9ö + @ö9ö9ö + Üö=ö9ö9ö = >öAö9ö9ö m
DÅ‚ugość pochyleÅ„ nieszkodliwych (tzn. na odcinkach :ö, <ö, =ö, >ö i @ö):
L9ö = Üö=ö9ö9ö + ;ö9ö9ö + ;ö9ö9ö + Üö9ö9ö9ö + Üö=ö9ö9ö = <ö>ö9ö9ö m
Różnica wysokości pokonywana na pochyleniach szkodliwych:
hÜö = Üö9ö9ö9ö Å" 9ö,9ö9ö@ö + =ö9ö9ö Å" 9ö,9öÜö9ö + @ö9ö9ö Å" 9ö,9öÜö9ö = @ö + =ö + @ö = :öÜö,9ö9ö m
Obliczenie kÄ…tów na pochyleniach nieszkodliwych (tzn. Å‚uków ²Üö i ²;ö):
Ä…9ö = Üö=ö,=öË% + Üö9ö,Üö?öË% = :ö=ö,>ö?öË%
Obliczenie kÄ…tów na pochyleniach szkodliwych (tzn. Å‚uku ²:ö)
Ä…Üö = :ö9öË%
Obliczenie pochylenia zastępczego:
Üö
iz = Å" [9ö, 9ö9ö<öÜö Å" <ö>ö9ö9ö + :öÜö + 9ö,9öÜö:ö9ö<ö Å" (:ö Å" :ö=ö,>ö?ö + :ö9ö)] Å" Üö9ö9ö9ö =
>öAö9ö9ö
= 9ö,9ö9ö=öAö Å" Üö9ö9ö9ö = =ö,Aö
Aö
Pomoce dydaktyczne