Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 10. R.Rempała
Wykład 10. Tempo zmian wartości funkcji. Przebieg zmienności
funkcji.
I. Tempo zmian wartości funkcji.
·ð Pierwsza i druga pochodna pomagajÄ… w badaniu przebiegu
zmienności funkcji.
·ð W przypadku funkcji różniczkowalnej, zerowania siÄ™ pochodnej
w punkcie (tzw. punkt stacjonarny) jest warunkiem
koniecznym istnienia ekstremum lokalnego w tym punkcie.
Warunek ten często nazywany jest warunkiem pierwszego
rzędu, ponieważ opiera się na własności pierwszej pochodnej.
·ð Wiemy, że w przypadku gdy funkcja posiada ciÄ…gÅ‚Ä… drugÄ…
pochodnÄ… i jest ona dodatnia (ujemna) w punkcie stacjonarnym,
to funkcja osiÄ…ga w tym punkcie lokalne minimum (maksimum).
Zauważmy, że tym razem jest to warunek dostateczny istnienia
ekstremum lokalnego w punkcie. Często jest on nazywany
warunkiem drugiego rzędu, ponieważ opiera się na drugiej
pochodnej.
·ð Można siÄ™ pytać, czy za pomocÄ… pochodnych drugiego rzÄ™du
można także wyrażać warunki konieczne istnienia ekstremów
lokalnych. Zauważmy, że lokalne ekstremum może wystąpić w
punkcie stacjonarnym x0 także wtedy gdy Zatem
warunki konieczne drugiego rzędu mają postać:
dla lokalnego maksimum,
dla lokalnego minimum.
W ekonomii, jak zaznaczyliśmy w Wykładzie 7, pochodna wyraża
krańcowe koszty, krańcowe przychody, krańcową użyteczność itp.
Czasami ważna jest informacja jak kształtują się te  krańcowości
przy zmianie wywołujących je wpływów. Okazuje się, że
wskaz
nikiem zmian (malenia lub wzrostu) krańcowych wartości
funkcji jest druga pochodna.
·ð Malenie lub wzrost pochodnej (wartoÅ›ci kraÅ„cowych) funkcji
związane jest z tempem zmian wartości funkcji.
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 10. R.Rempała
·ð Zauważmy, że w przypadku funkcji liniowej f(x) = ax + b,
pochodna jest słała, f (x)=a dla każdego x. Oznacza to, że
jednakowym przyrostom argumentów odpowiadają jednakowe
zmiany wartości funkcji ( jednakowe przyrosty przy a > 0 i
jednakowe spadki przy a < 0). Mówimy wtedy o stałym tempie
zmian wartości funkcji.
·ð W przypadku funkcji nieliniowych tempo zmian wartoÅ›ci
funkcji zmienia siÄ™.
Definicja1. (Tempo zmian wartości funkcji). Niech f: (a.b)
1a) Jeśli jest malejąca i ściśle wypukła, to mówimy, że maleje coraz
wolniej.
1a ) Jeśli funkcja f jest rosnąca i ściśle wypukła, to mówimy, że
rośnie coraz szybciej.
Rys. 1a) Rys. 1a
f(x) f(x)
Malejąca i ściśle wypukła- mleje coraz wolniej. Rosnąca i ściśle wypukła-rośnie coraz
szybciej
1b) Jeśli f jest malejąca i ściśle wklęsła, to mówimy, że maleje coraz
szybciej.
1b ) Jeśli f jest rosnąca i ściśle wklęsła, to mówimy, że rośnie coraz
wolniej.
Rys. 1b) Rys.1 b )
f(x) f(x)
Malejąca i ściśle wklęsła-maleje coraz szybciej. Rosnąca i ściśle wklęsła-rośnie coraz
wolniej
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 10. R.Rempała
Komentarz Zauważmy, że w przypadku gdy f jest funkcją klasy
C2(a,b) ( dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły), to z definicji
wynika, że
a) Jeśli f f dla x to f maleje coraz wolniej.
b) Jeśli f f dla x to f rośnie coraz szybciej.
c) Jeśli f f dla x to f maleje coraz szybciej.
d) Jeśli f f dla x to f rośnie coraz wolniej.
Przykład. Rozważmy funkcję cos(x) na przedziałach
(0, (
f f f f
f f f f
maleje coraz szybciej; maleje coraz wolniej; rośnie coraz szybciej; rośnie coraz wolniej
II Badanie przebiegu funkcji. Szkic wykresu (Według M. Ekes.
SGH)
Założenie. Badana funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w
sposób ciągły
1. Wyznaczamy: dziedzinę funkcji; punkty ,w których funkcja
przyjmuje wartości zerowe; wartość f(0).
2. Wyznaczamy granice funkcji na końcach przedziałów określoności
i wyznaczamy asymptoty.
3. Wyznaczamy f i badamy jej znaki.
4. Wyznaczamy f i badamy jej znaki.
5. W tabeli zaznaczamy znaki pochodnych i tempo zmian funkcji.
6. Na podstawie tabeli szkicujemy wykres funkcji.
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 10. R.Rempała
Zadanie. Zbadać przebieg zmienności funkcji; f(x) =
Ad 1. Dziedzina: D =(
Miejsca zerowe: , Wartość w zerze: f(0) =
Wniosek. Wykres funkcji przecina osie układu w punktach :
(0,
Ad 2. Granice w końcach przedziałów określoności:
= , =
Wniosek. Prosta o równaniu x = jest asymptotą pionową
+
wykresu funkcji. Jest to jednocześnie asymptota przy jak i
przy -
Rozważmy granice przy i przy .
= =
Podobnie można wykazać, że = +
Wniosek. Nie istnieje asymptota pozioma , sprawdzamy ukośną:
ax+b (por. Wykład 6.str. 8. Twierdzenie 5).
a =
b =
Asymptota ukośna: jest jednocześnie asymptotą przy .
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 10. R.Rempała
Ad 3. Wyznaczamy f i badamy jej znaki.
f ) = =
=
Poszukujemy punktów zerowania się pochodnej oraz przedziałów,
w których pochodna jest dodatnia i ujemna.
f w dziedzinie funkcji wtedy i tylko wtedy gdy
A
atwo znalez
ć punkty zerowe.
= 2
x1= = , x2 =
Wniosek . f dla x1= , x2 = ,
f dla x ( x2 =
f dla x
Ad 4. Badanie f
f [
= [
= =
Wniosek. f dla x ( ; f dla x (
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 10. R.Rempała
Tabelka
x -2
f + 0 | 0 +
+
| +
f
f(x)
max min
Szkic przebiegu na tablicy.