5. Charakterystyka podstawowych jednowymiarowych układów sterowania
Obiekt sterowania wraz z zasadniczymi urządzeniami: wykonawczymi, pomiarowymi,
przetwarzającymi gromadzone informacje a także urządzeniami dodatkowymi: archiwizującymi i
przesyłającymi dane: alarmującymi, blokadami, służącymi do komunikowania się z obsługą,
monitorującymi, itd., tworzy układ sterowania.
Sterowanie polega na takim oddziaływaniu na obiekt sterowania 5�:�0(5�`�) za pomocą jego
wielkości przyczynowych 5�b�(5�a�) (nazywanych też wejściowymi, nastawiającymi, sterowaniami), by
otrzymać przebieg wielkości skutkowych 5�f�(5�a�) (nazywanych wyjściowymi, wielkościami sterowanymi)
zgodnych z ich przyjętymi przebiegami wzorcowymi 5�f�0(5�a�), nazywanymi wartościami zadanymi lub też
referencyjnymi (ang. reference - odniesienie). Oznacza to, że dąży się do uzyskania relacji
5�f�(5�a�) a" 5�f�0(5�a�) . (1)
W układach rzeczywistych występują zawsze straty w przebiegających procesach i opóz
nienia.
Dlatego też zawsze pojawi się pewna różnica między wielkościami 5�f�(5�a�) i 5�f�0(5�a�), nazywana błędem 5�R�(5�a�)
lub uchybem:
5�f�(5�a�) - 5�f�0(5�a�) = 5�R�(5�a�) . (2)
Zatem sterowanie w rzeczywistym układzie będzie miało na celu minimalizowanie błędu 5�R�(5�a�),
najkorzystniej by był on bliski zeru:
5�R�(5�a�) 0 , (3)
co oznacza, że:
5�f�(5�a�) 5�f�0(5�a�) . (4)
Dla wygenerowania wybranego sygnału sterującego 5�b�(5�a�) konieczne jest utworzenie ściśle
określonej struktury dla przetwarzania sygnałów 5�f�0(5�a�), 5�f�(5�a�) i 5�g�(5�a�) - rys.1 oraz wprowadzenie do
obiektu urządzenia, które umożliwi przetwarzanie sygnału 5�b�(5�a�) na zmianę stanu obiektu prowadzącą
do uzyskania relacji (4).
Złożoność układu może być bardzo różna. Można wyróżnić bardzo proste układy
jednowymiarowe jak i bardziej złożone wielowymiarowe.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
1
 W syntezie układu sterowania zawsze dąży się do wyodrębnienia układów o możliwie małym
stopniu złożoności, które mają funkcjonować w złożonym systemie jako autonomiczne.
Układy o małym stopniu złożoności mogą mieć charakter autonomiczny i ich zadaniem jest
sterowanie przebiegiem jednej wielkości fizycznej w złożonym procesie technologicznym. Dlatego dla
ich odróżnienia od układu złożonego z wielu takich układów, są one określane jako elementarne.
Układy autonomiczne są zazwyczaj koordynowane przez układy nadrzędne, tworząc łącznie złożony
system.
Wśród zadań układów autonomicznych można wyróżnić:
-� stabilizację wielkości fizycznych; takie układy nazywane są stabilizującymi lub
stałowartościowymi,
-� odtwarzanie wielkości fizycznych, które zmieniają się ze ściśle zadanym programem sterowania,
znanym wcześniej lub też generowanym na bieżąco; takie układy nazywane są układami
sterowania programowego (znany jest wcześniej program sterowania) lub też układami
nadążnymi lub śledzącymi (program sterowania jest generowany w trakcie sterowania),
-� wyszukiwanie i utrzymywanie wartości ekstremalnej charakterystyki, utworzonej analitycznie z
wielkości wyjściowych; układy takie należą do grupy adaptacyjnych, ekstremalnych.
Układy złożone, prócz elementarnych układów autonomicznych sterowania ciągłego
(analogowych, cyfrowych), mogą zawierać także układy sterowania logicznego (przyłączające).
Z przedstawionego opisu wynika, że dla zbudowania układu sterowania konieczne jest:
a) określenie modelu matematycznego układu sterowania 5�:�5�@�(5�`�),
b) określenie struktury sterowania, tj. schematu obiegu i przetwarzania informacji, zdolnej do
realizacji fizycznej modelu 5�:�5�@�(5�`�) układu sterowania
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
2
Rys.1. Ogólny schemat układu sterowania; 5�:�0(5�`�) - transmitancja obiektu sterowania, 5�:�5�@�(5�`�) -
transmitancja układu sterowania, 5�|�(5�`�) - wektor wielkości sterujących, 5؀�(5�`�) - wektor wielkości
sterowanych, 5؀�0(5�`�) - wektor wartości zadanych, 5؁�(5�`�) - wektor zakłóceń oddziaływujących na układ
sterowania
Zadanie (a), określenie modelu matematycznego układu sterowania 5�:�5�@�(5�`�), polega na
określeniu funkcji opisującej układ, z uwzględnieniem właściwości obiektu 5�:�0(5�`�), spełniającej przyjęte
wymagania jakości sterowania wyrażone przez przyjęte kryteria. Zadanie to ma charakter
matematyczny.
Zadanie (b), dotyczące struktury sterowania, również posiada w pewnym stopniu charakter
matematyczny. Konkretne analizy polegają na wyodrębnieniu z modelu 5�:�5�@�(5�`�) cząstkowych i
realizowanych struktur przetwarzania sygnałów, które tworzą model 5�:�5�@�(5�`�) . Nie każda ze znanych
struktur układu sterowania umożliwia odtwarzanie modelu układu sterowania 5�:�5�@�(5�`�). Dla odróżnienia
modelu optymalnego 5�:�5�@�(5�`�) od właściwości układu sterowania otrzymanego w wyniku zastosowanej
struktury, te ostatnie będą oznaczane przez 5�:�5�H�5�M�(5�`�).
Cząstkowe struktury przetwarzania sygnałów składają się na algorytm sterowania, tj. algorytm
numeryczny wykorzystujący wykorzystywane w sterowaniu sygnały pochodzące od urządzeń
pomiarowych i generujący sygnał sterujący 5�b�(5�a�).
Pierwsze rozwiązania dotyczące struktur i algorytmów sterowania były tworzone intuicyjnie,
dalej są stosowane i w tej pracy nazywane są klasycznymi. W szczególności należą do nich układy
regulacji ze sprzężeniem zwrotnym i algorytmy PI, PD lub PID. Ostatnie z rozwiązań dotyczące
jednowymiarowych układów sterowania pojawiły się około 20 lat temu. Teoria układów
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
3
wielowymiarowych jest nadal rozwijana i od ponad 40 lat nazywana jest nowoczesną teorią
sterowania.
Rozpatrywane dalej będą podstawowe struktury sterowania, nazywane klasycznymi: w torze
otwartym, z jednym sprzężeniem zwrotnym, kaskadowe oraz kompensujące zakłócenia. Algorytmy
klasyczne to wspominane już P, PI, PD i PID. W rozwiązaniach bardziej nowoczesnych wykorzystywane
| |
są modele optymalne 5�:�5�@�(5�`�), ograniczenia sygnału sterującego 5�b�(5�a�) d" 5�H�5�Z�5�N�5�e� eliminujące nasycanie
sygnału sterującego oraz struktury kompensujące, które umożliwiają realizację modeli optymalnych
5�:�5�@�(5�`�).
Historia podstaw teoretycznych i budowy układów, a póz
niej algorytmów sterowania, tworzona
była przez wiele lat m.innymi przez:
Watt - regulator odśrodkowy - 1728,
Maxwell - analiza stabilności regulatora - 1868,
Routh - analiza stabilności - 1877,
Lapunow - żyroskop i autopilot - 1910,
Spevvy - żyroskop i autopilot - 1910,
Blac - elektroniczny wzmacniacz ze sprzężeniem zwrotnym - 1927,
Bush - analizator różnicowy -1927,
Nyquist - kryteria stabilności Nyquista - 1932,
Bode - metody częstotliwościowe - 1938,
Wiener - projektowanie filtrów optymalnych - 1942,
Ziegler-Nichols - dobór nastaw regulatorów PID - 1942,
Evans - metoda rozkładu pierwiastków - 1948,
Pontragin - zasada max i min - 1956,
Bellman - programowanie dynamiczne - 1957,
Kolman - estymacja optymalna - 1960,
Hoff - mikroprocesor - 1969.
5.1. Klasyfikacja i struktury klasycznych układów sterowania
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
4
 Do kryteriów umożliwiających najbardziej ogólną klasyfikację klasycznych układów sterownia
należą ilość i rodzaj informacji o procesie, wykorzystywanej na etapie syntezy układu.
Przez informację rozumie się wiedzę o procesie. Wiedza pozyskana wcześniej, na etapie
syntezy układu sterowania, nazywana jest informacją początkową. Wiedza o procesie (obiekcie
sterowania) może być również pozyskiwana w trakcie przebiegu sterowania, przez wbudowane w
układ sterowania i przeznaczone do tego urządzenia. Wiedza ta nazywana jest informacją roboczą.
Jeżeli zadanie syntezy sterowania bazuje wyłącznie na pełnej informacji początkowej, to
tworzone w takich warunkach rozwiązania nazywane są układami sterowania zwykłego.
Do układów sterowania zwykłego (są to najczęściej elementarne układy autonomiczne) zalicza się:
�� układy sterowane w otwartym torze obiegu informacji,
�� układy sterowania w zamkniętym torze obiegu informacji, nazywane też układami regulacji
lub układami ze sprzężeniem (jednym) zwrotnym,
�� układy sterowania w zamkniętym torze obiegu informacji, z kilkoma sprzężeniami zwrotnymi,
w szczególności kaskadowe ze sprzężeniem od stanu układu lub zawierające inne kombinacje
połączeń.
Wymienione układy należą do klasycznych, ponieważ są znane i stosowane od wielu lat.
Zarówno w układach sterowania w torze otwartym jak i zamkniętym, może być zastosowana
kompensacja zewnętrznych zakłóceń. Podstawą tej klasyfikacji jest schemat obiegu i przetwarzania
informacji w układzie sterowania. Nie zawsze istnieje możliwość zgromadzenia pełnej informacji
początkowej o procesie, lub też właściwości procesu mogą zmieniać się w nieprzewidywalny sposób.
Wówczas w układzie sterowania wykorzystywana jest częściowa informacja początkowa oraz
informacje robocze. Takie układy sterowania nazywają się adaptacyjnymi. Nazwa  adaptacyjne
określa zdolność układu sterowania do dostosowania struktury i algorytmu sterowania do aktualnych
właściwości obiektu sterowania. Adaptację struktury i algorytmu sterowania umożliwia stosowany
moduł identyfikacji właściwości obiektu lub też trajektorii sterowania. Układy adaptacyjne stosuje się
do sterowania złożonymi procesami technologicznymi.
Obiektami sterowania układów adaptacyjnych są złożone procesy technologiczne (także
przetwarzania energii), w których często dąży się do utrzymania przebiegu procesu sterowanego w
ekstremum określonym przez przyjęte kryteria jakości.
Zupełnie odmienną grupę tworzą układy rozgrywające, które wykorzystują częściową
informację początkową oraz częściową informację roboczą. Podstawą teoretyczną układów
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
5
rozgrywających jest m.innymi teoria gier. Obiektami układów rozgrywających są w szczególności
procesy gospodarcze i ekonomiczne.
Innymi kryteriami klasyfikacji układów sterowania mogą być: rodzaj środków technicznych
użytych do realizacji układu sterowania (mechaniczne, gazowe, hydrauliczne, mechaniczne)
właściwości nośników informacji (analogowe, cyfrowe), itd.
Każdy złożony układ sterowania składa się z elementarnych struktur, typowych dla
jednowymiarowego sterowania w torze otwartym lub zamkniętym. W pewnym przypadku struktury te
mogą tworzyć autonomiczne układy sterowania. Z tego powodu w pierwszej kolejności należy poznać
opis matematyczny tych elementarnych struktur, w szczególności przedstawiony za pomocą metody
transmitancji w dziedzinie zmiennej zespolonej 5�`�.
5.2. Sterowanie w torze otwartym
Schemat blokowy sterowania w torze otwartym przedstawia rys.2.
Rys.2. Schemat sterowania w torze otwartym
W sterowaniu w torze otwartym obiekt sterowania 5�:�0(5�`�) składa się zazwyczaj z urządzenia
wykonawczego 5�:�5�J�(5�`�) i sterowanego procesu 5�:�5�C�(5�`�):
( )
5�:�0 5�`� = 5�:�5�J�(5�`�) " 5�:�5�C�(5�`�) . (5)
Najczęściej przetwornik 5�:�5�C�5�C�(5�`�), zaznaczony linią przerywaną na rys.2, nie jest stosowany,
ponieważ w sterowaniu nie jest wykorzystywany w sposób ciągły sygnał wyjściowy 5�f�(5�a�). Sterowanie
polega na wygenerowaniu przez urządzenie sterujące (sterownik mikroprocesorowy) sygnału
nastawiającego obiekt 5�e�(5�a�). Ponieważ znane są właściwości obiektu sterowania, wyrażone przez
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
6
transmitancję operatorową (5), to konieczny do sterowania sygnał 5�e�(5�a�) można obliczyć z transmitancji
(5):
5�L�(5�`�)
( )
5�K� 5�`� = . (6)
5�:�0(5�`�)
Dla obliczania oryginału 5�e�(5�a�) z transformaty 5�K�(5�`�) konieczna jest znajomość oczekiwanego
przebiegu sygnału sterowanego 5�f�(5�a�), przy czym:
( ) ( )
5�L� 5�`� = 5�?� [5�f� 5�a� ] .
5�L�(5�`�) = 5�?� [5�f�(5�a�)]
Oczekiwany przebieg sygnału 5�f�(5�a�) jest wyrażony przez wartość zadaną 5�f�0(5�a�). Wiedzę
programisty urządzenia sterującego US o 5�f�0(5�a�) prezentuje schematycznie na rys.2 zaznaczona linia
przerywana 5�L�0(5�`�). Linia przerywana ma symbolizować wiedzę o 5�L�0(5�`�) a nie sygnał rozumiany jako
przepływ informacji w układzie sterowania, który zaznacza się linią ciągłą. Z przedstawionego opisu
wynika, że aby wyznaczyć przebieg 5�K�(5�`�) należy do zależności (6), za 5�L�(5�`�), podstawić transformatę
wartości zadanej 5�L�0(5�`�) tego sygnału:
5�L�0(5�`�)
( )
5�K� 5�`� = . (7)
5�:�0(5�`�)
Przebieg sygnału 5�e�(5�a�) można określić w sposób:
5�L� ( )
( )
5�e� 5�a� = 5�?�[5�:�0 5�`� ] , (8)
( )
5�`�
0
gdzie:
( ) [ ( )]
5�L�0 5�`� = 5�?� 5�f�0 5�a� .
Wyznaczenie przebiegu 5�e�(5�a�) jest trywialne dla właściwości proporcjonalnych obiektu:
( )
5�:�0 5�`� = 5�X� .
Ponadto dla formalnego obliczenia sygnału 5�e�(5�a�) należy: znać oczekiwany przebieg sygnału
sterowanego 5�f�(5�a�) wyrażony przez 5�f�0(5�a�), zapisać analitycznie funkcję 5�f�0(5�a�), obliczyć transformatę
5�L�0(5�`�), obliczyć odwrotną transformatę sygnału 5�K�(5�`�). Otrzymany wynik 5�e�(5�a�) będzie funkcją ciągłą.
Należy ją zapisać w postaci dyskretnej, przydatnej dla sterownika mikroprocesorowego. Rys.2 nie
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
7
przedstawia cyfrowego funkcjonowania układu sterowania. Urządzenie sterujące US generuje sygnał
5�e�(5�a�) w postaci cyfrowej, który może być (już na poziomie sterownika) zamieniony na sygnał ciągły 5�e�(5�a�).
W wielu przypadkach może okazać się, że obliczony sygnał nastawiający 5�e�(5�a�) zawiera znaczące
nieciągłości, a nawet funkcje impulsowe. Można zadać pytanie: czy istnieje fizyczna możliwość
wygenerowania takiego wymuszenia?. Sygnał 5�e�(5�a�) jest generowany w tym przypadku przez urządzenie
sterujące, które również posiada właściwości wyrażone przez transmitancję operatorową 5�:�5�H�5�F�(5�`�).
Mając to na uwadze można problem wyznaczania sygnału sterującego 5�e�(5�a�) ująć nieco inaczej. Dla
schematu z rys.2 można zapisać:
( ) ( )
5�L� 5�`� = 5�L�0 5�`� 5�:�5�H�5�F�(5�`�) " 5�:�0(5�`�) . (9)
Wynika z tego, że dla otrzymania relacji (5)
5�L�(5�`�) a" 5�L�0(5�`�) ,
powinno zachodzić:
( ) ( )
5�:�5�H�5�F� 5�`� " 5�:�0 5�`� = 1 ,
1
( )
5�:�5�H�5�F� 5�`� = . (10)
5�:�0(5�`�)
Przykładowo, jeżeli obiekt sterowania posiadałby właściwości inercyjne pierwszego rzędu
5�X�0
( )
5�:�0 5�`� = ,
5�G�05�`�+1
to urządzenie sterujące powinno posiadać transmitancję operatorową o postaci:
1 5�G�05�`�+1
( )
5�:�5�H�5�F� 5�`� = = . (11)
5�:�0(5�`�) 5�X�0
Takie właściwości dynamiczne nie są realizowane fizycznie. Mogą być przybliżone np. właściwościami:
5�G�05�`�+1
( )
5�:�5�H�5�F� 5�`� = , (12)
5�X�0(5��� 5�G�05�`�+1)
gdzie:
5���5�G�0 j", np. 5��� = 0,1 5�G�0 .
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
8
 Analizując transmitancję operatorową (12), można zauważyć jej podobieństwo do transmitancji
operatorowej rzeczywistego regulatora PD, która ma postać:
5�X�5�E�(5�G�5�7�5�`�+1)
( )
5�:�5�E� 5�`� = . (13)
5�G�5�`�+1
Przybliżenie wymaganych właściwości urządzenia sterującego o transmitancji operatorowej
(11) właściwościami (12), które można zrealizować oznacza, że przebieg wielkości sterowanej 5�f�(5�a�) nie
będzie ściśle odpowiadał jego wartości oczekiwanej 5�f�0(5�a�). W rozpatrywanym przypadku otrzyma się:
1
( ) ( )
5�L� 5�`� = 5�L�0 5�`� . (14)
5��� 5�G�05�`�+1
Przykładowo, dla 5�f�0(5�a�) o przebiegu skokowym otrzyma się 5�f�(5�a�) o przebiegu wykładniczym ze
współczynnikiem 5��� 5�G�0 .
Podsumowując, sterowanie w torze otwartym jest rozwiązaniem bardzo łatwym do realizacji,
w którym mogą pojawić się jednak trudności z wygenerowaniem sygnału sterującego gwarantującego
relację 5�f�0(5�a�) a" 5�f�(5�a�), szczególnie gdy wielkość sterowana 5�f�(5�a�) ma szybkozmienny charakter. Jakość
sterowania w torze otwartym istotnie zależy od adekwatności modelu obiektu 5�:�0(5�`�) do rzeczywistych
właściwości sterowanego procesu oraz od poziomu zakłóceń działających na obiekt sterownia.
5.3. Sterowanie w torze otwartym z kompensacją zakłóceń
W przypadku gdy poziom zakłóceń 5�g�(5�a�) oddziaływujących na obiekt sterowania 5�:�0(5�`�) jest
znaczący, wówczas może okazać się że jakość sterowania, określona przez odchylenia przebiegu
wielkości sterowanej 5�f�(5�a�) od przebiegu wartości oczekiwanej (zadanej) 5�f�0(5�a�), są zbyt duże. Jeżeli
główne składowe zakłóceń 5�g�(5�a�) są obserwowalne (możliwe do zmierzenia) i takie rozwiązanie jest
opłacalne, to można zastosować strukturę sterowania w torze otwartym z kompensacją zakłóceń,
przedstawioną na rys.3.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
9
Rys.3. Schemat sterowania w torze otwartym z kompensacją zakłóceń
Na rys.3 sygnał 5�M�(5�`�) przedstawia zakłócenie zewnętrzne, które oddziałuje na obiekt sterowania
5�:�0(5�`�). W obiekcie sterowania 5�:�0(5�`�) wyróżniono urządzenie wykonawcze 5�:�5�J�(5�`�) oraz sterowany
proces 5�:�5�C�(5�`�). Zewnętrzne zakłócenie 5�M�(5�`�), przekształcone przez właściwości otoczenia wyrażone
przez transmitancję zakłóceniową 5�:�5�M�(5�`�) przyjmie postać 5�M�5�M�(5�`�). Postać 5�M�5�M�(5�`�) jest wyrażona przez
wielkość fizyczną zgodną z sygnałem wyjściowym 5�K�5�C�(5�`�) z urządzenia wykonawczego 5�:�5�J�(5�`�). Po takim
uwzględnieniu zakłócenia 5�M�(5�`�) wejściem sterowanego procesu 5�:�5�C�(5�`�) jest sygnał:
( ) ( )
5�K�5�C�5�M� 5�`� = 5�K�5�C� 5�`� + 5�M�5�M�(5�`�) . (15)
Zakłócenie 5�M�(5�`�) jest mierzone przez przetwornik pomiarowy 5�:�5�C�5�M�(5�`�) i przesyłane do urządzenia
( )
korygującego 5�:�5�>�(5�`�). Urządzenie korygujące 5�:�5�>�(5�`�) generuje sygnał 5�K�5�X� 5�`� , który koryguje
wygenerowany przez urządzenie sterujące 5�:�5�H�5�F�(5�`�) sygnał sterujący 5�K�(5�`�). Do urządzenia wykonawczego
5�:�5�J�(5�`�) dochodzi sygnał skorygowany 5�K�1(5�`�):
( ) ( )
5�K�1 5�`� = 5�K� 5�`� - 5�K�5�>�(5�`�) . (16)
W ten sposób skompensowany zostaje przez układ sterowania wpływ zakłócenia zewnętrznego
5�M�(5�`�), oddziaływującego na obiekt sterowania 5�:�0(5�`�).
Na rys.3 liniami przerywanymi zaznaczono odpowiednio: obiekt sterowania 5�:�0(5�`�) oraz
urządzenia sterujące 5�H�5�F�. Zadaniem syntezy sterowania dla tego rozwiązania jest określenie
właściwości urządzenia korygującego 5�:�5�>�(5�`�).
Na podstawie schematu z rys.3 można zapisać następujące zależności:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
10
1. Jeżeli zakłócenie 5�M�(5�`�) nie oddziaływuje na obiekt sterowania 5�:�0(5�`�), to sygnał sterowany 5�L�(5�`�)
określa zależność:
( )
5�M� 5�`� = 0 ,
( ) ( ) ( )
5�L� 5�`� = 5�K� 5�`� 5�:�5�J� 5�`� 5�:�5�C�(5�`�) ; (17)
( ) ( )
2. Jeżeli zakłócenie 5�M� 5�`� występuje, to 5�L� 5�`� wynosi:
5�M�(5�`�) `" 0 ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5�L� 5�`� = 5�K� 5�`� 5�:�5�J� 5�`� 5�:�5�C� + 5�M� 5�`� 5�:�5�M� 5�`� 5�:�5�C� 5�`� - 5�M� 5�`� 5�:�5�C�5�M� 5�`� 5�:�5�>� 5�`� 5�:�5�J� 5�`� 5�:�5�C�(5�`�) . (18)
( )
Zadaniem urządzenia korygującego 5�:�5�>� 5�`� jest usunięcie wpływu oddziaływania zakłócenia
( ) ( )
5�M� 5�`� . Oznacza to, że w obu przypadkach, tj. gdy 5�M�(5�`�) = 0 oraz 5�M�(5�`�) `" 0, wielkości sterowane 5�L� 5�`�
określone przez zależności (17) i (18) powinny być sobie równe.
Z porównania zależności (17) i (18) otrzyma się transmitancję operatorową urządzenia
korygującego 5�:�5�>�(5�`�) o postaci:
5�:�5�M�(5�`�)
( )
5�:�5�>� 5�`� = . (19)
( )
5�:�5�C�5�M� 5�`� 5�:�5�J�(5�`�)
W konkretnych rozwiązaniach należy rozpatrzeć realizowalność fizyczną urządzenia (algorytmu)
5�:�5�>�(5�`�), tak jak to ma miejsce w przypadku generowania sygnału sterującego 5�K�(5�`�) przez urządzenie
sterujące 5�:�5�H�5�F�(5�`�).
( ) ( ) ( ) ( )
Dla właściwości proporcjonalnych 5�:�5�M� 5�`� , 5�:�5�C�5�M� 5�`� oraz 5�:�5�J� 5�`� , 5�:�5�>� 5�`� również będzie posiadać
właściwości proporcjonalne , co nie sprawia problemów technicznych. Natomiast dla przypadku, gdy
( ) ( ) ( ) ( )
5�:�5�M� 5�`� i 5�:�5�C�5�M� 5�`� będą posiadały właściwości proporcjonalne a 5�:�5�J� 5�`� całkujące, to 5�:�5�>� 5�`� będzie
określone przez idealne właściwości różniczkujące:
5�X�5�M�5�`� 5�X�5�M�
( )
5�:�5�>� 5�`� = = 5�X�5�`�, 5�X� = . (20)
5�X�5�C�5�M�5�X�5�J� 5�X�5�C�5�M�5�X�5�J�
gdzie:
5�X�5�M�  wzmocnienie statyczne 5�:�5�M�(5�`�),
5�X�5�C�5�M�  wzmocnienie statyczne 5�:�5�C�5�M�(5�`�),
5�X�5�J�  wzmocnienie statyczne 5�:�5�d�.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
11
Rozwiązanie techniczne może być określone przez transmitancję operatorową o postaci:
5�X�5�`�
( )
5�:�5�>� 5�`� = , (21)
5�G�5�>� 5�`�+1
gdzie:
5�G�5�>�  stała czasowa korektora różniczkującego.
Zastosowanie w sterowaniu w torze otwartym kompensacji zewnętrznych zakłóceń jest
rozwiązaniem bardzo korzystnym, eliminującym przyczyny niewłaściwego funkcjonowania układu
sterowania. Głównymi ograniczeniami w stosowaniu takich prostych rozwiązań mogą być: brak
możliwości technicznych obserwowania zakłóceń, występowanie wielu różnych zakłóceń, koszt
urządzeń pomiarowych.
Przykładami powszechnie stosowanymi układów sterowania w torze otwartym z kompensacją
zakłóceń są układy zasilania paliwem w silnikach samochodowych.
5.4. Sterowanie w torze zamkniętym
W sterowaniu podstawowym problemem jest wygenerowanie takiego przebiegu wielkości
nastawiającej 5�e�(5�a�) sterowany proces, by uzyskany przebieg wartości nastawianej 5�f�(5�a�) był zgodny z jej
wartością oczekiwaną (zadaną) 5�f�0(5�a�), tj. by uzyskać:
5�f�(5�a�) a" 5�f�0(5�a�) . (22)
W sterowaniu w torze otwartym generowanie sygnału nastawiającego 5�e�(5�a�) bazowało na
właściwościach obiektu sterowania 5�:�0(5�`�). Wprowadzając kompensację zakłóceń 5�g� (5�a�), zakładano
możliwość obserwacji tych zakłóceń 5�g� (5�a�). Modele opisujące właściwości obiektów 5�:�0(5�`�) należą do
makroskopowych,  oszczędnych i odzwierciedlają tylko główne zjawiska. Dlatego też jakość
sterowania w torze otwartym zależy od zgodności modeli z rzeczywistymi właściwościami procesów.
Modele w pełni zgodne z rzeczywistością nie są możliwe do uzyskania, także z powodu zmienności
zjawisk. Z podanych powodów konieczne jest stosowanie struktur sterowania odpornych na
przedstawione niedogodności.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
12
 Ideę sterowania w torze zamkniętym można wyjaśnić analizując wiele znanych powszechnie
działań.
Jeżeli po oddziaływaniu na obiekt sterowania (generowaniu i wprowadzaniu wymuszenia 5�e�(5�a�)
zaobserwuje się, że uzyskana wielkość nastawiana 5�f�(5�a�) różni się od wartości oczekiwanej 5�f�0(5�a�), to
należy zmienić (zwiększyć, zmniejszyć) wielkość sterującą 5�e�(5�a�). Działanie to należy prowadzić tak długo,
aż wielkość sterowana 5�f�(5�a�) osiągnie wartość oczekiwaną 5�f�0(5�a�). W warunkach rzeczywistych sterowany
proces jest ciągle zakłócany przez różne zewnętrzne zakłócenie i zachodzi konieczność ciągłej zmiany
wielkości sterującej 5�e�(5�a�) stosownie do stwierdzanych odchyleń wielkości sterowanej 5�f�(5�a�) od wielkości
oczekiwanej 5�f�0(5�a�). Odchylenia te przedstawia zależność (6):
( ) ( )
5�R� 5�a� = 5�f�0 5�a� - 5�f�(5�a�) .
Odzwierciedlają one skutki działających zakłóceń i są podstawą do generowania wielkości
nastawiającej 5�e� (5�a�) tak by
5�R�(5�a�) 0 ,
a tym samym by
5�f�(5�a�) 5�f�0(5�a�) .
( )
Opisane działanie, dla znanej wartości zadanej 5�f�0 5�a� oraz dostępnej na bieżąco (bez
znaczących opóz
nień) wielkości sterowanej 5�f�(5�a�), w większości przypadków, potrafi zrealizować ręcznie
każdy operator bez znajomości teoretycznie opisanych właściwości procesu. Wraz ze wzrostem
doświadczenia operatora jakością sterowania będzie wzrastała.
Schemat opisanego działania ilustruje rys.4.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
13
Rys.4. Schemat sterowania w torze zamkniętym; jednowymiarowy układ regulacji z jednym
sprzężeniem zwrotnym
Przedstawiony na rys.4 obiekt sterowania 5�:�0(5�`�), składa się z:
�� urządzenia wykonawczego 5�:�5�J�(5�`�), które umożliwia za pomocą sygnału nastawiającego 5�K�5�A�(5�`�)
oddziaływanie na przebieg sterowanego procesu 5�:�5�C�(5�`�);
�� sterowanego procesu 5�:�5�C�(5�`�) o wejściu 5�K�5�E�(5�`�) i wyjściu 5�L�5�E�(5�`�); wypracowany przez urządzenie
sterujące 5�:�5�J�(5�`�) sygnał nastawiający 5�K�(5�`�) oddziaływujący na sterowany proces 5�:�5�C�(5�`�),który w
ogólnym przypadku jest zakłócany przez zakłócenie 5�M�5�g�(5�`�), tak że:
( ) ( )
5�K�5�E� 5�`� = 5�K� 5�`� + 5�M�5�M�(5�`�) ; (23)
�� urządzenia pomiarowego (przetwornika pomiarowego) 5�:�5�C�5�C�(5�`�), który umożliwia obserwację
stanu sterowanego procesu 5�:�5�C�(5�`�) przez pomiar jego wielkości wyjściowej 5�L�5�E�(5�`�); przetwornik
( ) ( )
pomiarowy wytwarza sygnał 5�L� 5�`� = 5�L�5�E� 5�`� 5�:�5�C�5�C�(5�`�) przesyłany do urządzenia sterującego 5�:�5�E�(5�`�).
Urządzenie sterujące 5�:�5�E�(5�`�), nazywane jest tradycyjnie regulatorem. Regulator 5�:�5�E�(5�`�) na
podstawie sygnału aktualnego błędu 5�8�(5�`�), generuje sygnał nastawiający 5�K�5�A�(5�`�) obiekt sterowania
( )
5�:�5�\� 5�`� .
Opisana struktura sterowania w torze zamkniętym nazywana jest układem regulacji. Tak jak już
zaznaczono, istotą sterowania w torze zamkniętym (układzie regulacji) jest likwidowanie skutków
zakłóceń, obserwowanych w bieżącym błędzie sterowania 5�R�(5�a�), nazywanym też uchybem. Połączenie
( )
między sygnałami 5�L� 0(5�`�) i 5�L� 5�`� , rozpatrywane zgodnie ze zwrotami, nazywa się torem głównym
przepływu informacji, a połączenie między sygnałem 5�L�(5�`�) i 5�L�0(5�`�), nazywa się torem sprzężenia
zwrotnego. Znak  -  przy węz
le sumującym, oznacza ujemne sprzężenie zwrotne.
W opisanym działaniu ręcznym, realizowanym przez człowieka, pozornie nie była potrzebna
( )
znajomość właściwości obiektu sterowania. Wiedzę o właściwościach sterowanego obiektu 5�:�0 5�`�
operator pozyskiwała w wyniku swojego działania sterującego. Również działanie sterujące operatora,
uwzględnione na rys.3 przez właściwości regulatora 5�:�5�E�(5�`�), ulegało doskonaleniu w wyniku uczenia się
operatora.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
14
Ten przykład ręcznie realizowanego sterowania charakteryzuje sterowanie adaptacyjne. Dla
zbudowania układu regulacji automatycznej niezbędna jest znajomość właściwości obiektu 5�:�0(5�`�).
Dopiero na tej podstawie można dobrać istniejący lub zaprojektować udoskonalony algorytm
przetwarzania informacji 5�R�(5�a�) na sygnał nastawiający 5�e�5�A�(5�a�), wyrażony przez właściwości klasycznego
regulatora 5�:�5�E�(5�`�) lub też bardziej złożonego algorytmu nazywanego kompensatorem. Dalej zostanie
wykazane, że sterowanie w torze zamkniętym jest znacznie mniej wrażliwe na uproszczenia związane
z opisem właściwości obiektu 5�:�0(5�`�), w porównaniu ze sterowaniem w torze otwartym.
Układy sterowania w torze zamkniętym (układy regulacji), stosownie od przebiegu i
wcześniejszej wiedzy o wartości zadanej 5�f�0(5�a�), klasyfikuje się następująco:
a) układy pozycjonujące,
b) układy regulacji stałowartościowej, stabilizujące,
c) układy regulacji programowej,
d) układy regulacji nadążnej, nazywane też z powodów historycznych śledzącymi.
Zadaniem układów pozycjonujących (a) jest uzyskanie przez sygnał wyjściowy ściśle określonego
położenia z wymaganą dokładnością i w możliwie krótkim czasie.
W układach regulacji stałowartościowej (b) zadaniem sterowania jest utrzymanie wielkości
sterowanej 5�f�(5�a�), na stałym poziomie, zgodnym z wprowadzoną wartością zadaną 5�f�0(5�a�), tj. wymaga
się by:
( ) ( )
5�f� 5�a� = 5�f�0 5�a� = 5�P�5�\�5�[�5�`�5�a� . (24)
Przykładami stosowania regulacji stałowartościowej są procesy stabilizacji: temperatury,
ciśnienia, poziomu, wydatku itp.
W układach regulacji programowej (c) wymaga się, by wielkość regulowana 5�f�(5�a�) zmieniała się
zgodnie z wprowadzonym do układu sterowania przebiegiem wartości zadanej 5�f�0(5�a�) opisanej i znanej
wcześniej funkcji. Przykładem sterowania programowego są wszelkiego rodzaju maszyny
technologiczne, nazywane ogólnie CNC, skrawające, gilotyny, giętarki, procesy chemiczne
przetwórstwa spożywczego, itd.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
15
 W układach regulacji nadążnej (d), podobnie jak w regulacji programowej, wielkość sterowana
( )
5�f�(5�a�) zmienia się zgodnie z wartością zadaną 5�f�0 5�a� , przy czym wartość zadana nie jest wcześniej znana.
Przebieg wartości zadanej 5�f�0(5�a�) generują na bieżąco przeznaczone do tego urządzenia, stosownie do
przyjętych reguł i kryteriów wynikających z przebiegu sterowanego procesu. Klasycznym, historycznym
przykładem układu regulacji nadążnej (śledzącej) jest sterowanie urządzeniami celowniczymi dział, z
wykorzystaniem sygnału radarowego o położeniu obiektu. We współczesnym przemyśle istnieje wiele
tego rodzaju procesów, np. produkcja pigmentów do lakieru, procesy chemiczne, sterowanie robotami
współpracującymi z kamerami, układy sterowania pojazdami.
5.5. Sterowanie w torze zamkniętym z kompensacją zakłóceń
Układ regulacji po pewnym czasie  zlikwiduje skutki zewnętrznych krótkotrwałych zakłóceń
5�g�(5�a�). Jednak przez ten czas wielkość sterowana 5�f�(5�a�) może być obarczona znaczącym błędem
sterowania. Z tego powodu, w przypadkach gdy występuje znaczące, lecz znane i obserwowalne
zakłócenie 5�g�(5�a�), zasadne jest rozważenie wprowadzenia układu kompensacji tego zakłócenia. Na rys.4
przedstawiony został schemat sterowania w torze zamkniętym z kompensacją zewnętrznego
zakłócenia 5�g�(5�a�), którego oddziaływanie zostało uwzględnione na wejściu sterowanego procesu 5�:�5�C�(5�`�).
Rys. 4. Schemat sterowania w torze zamkniętym z kompensacją zakłóceń
Rozwiązanie przedstawiające układ kompensacji zakłóceń w sterowaniu w torze zamkniętym
jest identyczne do rozwiązania tego układu zastosowanego w układzie sterowania w torze otwartym,
pokazanym na rys. 2. Tok postępowania zmierzający do określenia właściwości urządzenia
korygującego 5�:�5�>�(5�`�) jest identyczny do opisanego w pkt. 5.4.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
16
 Innym rozwiązaniem likwidowania zewnętrznych zakłóceń oddziaływujących na obiekt
sterowania 5�:�0(5�`�) jest tzw. regulacja kaskadowa.
W przedstawionych na rys.4 i rys.5 schematach sprzężenie zwrotne było utworzone od wielkości
wyjściowej 5�f�(5�`�).
Transmitancję operatorową obiektu 5�:�0(5�`�) o ogólnej postaci:
5�L�(5�`�) 5�O�0
5�:�0(5�`�) = = , (25)
5�H�(5�`�) 5�`�5�[�+5�N�5�[�-1 5�`�5�[�-1+...+5�N�15�`�+5�N�0
można przedstawić również w postaci równań stanu i wyjść w sposób:
5ؙ� = 5�h�5ؙ� + 5؃�5�
� ,
5ؚ� = 5�j�5ؙ� , (26)
gdzie:
0 1 0 0
. . . 0
0 0 1
. . . 0
�"
5�h� = [ ] , 5؃� = [0] , 5�j� = [5�O�00 . . . 0] , (27)
�" �" �"
ń" 1
. . . -5�N�5�[�-1
-5�N�0 -5�N�1 . . .
1
Dla tej postaci wielkości
5�f�
5�e�1 = , 5�e�2 , 5�e�3 , . ..
5�O�0
są pochodnymi sygnału wyjściowego (współrzędnymi fazowymi). Sterowanie ze sprzężeniem
zwrotnym od stanu można zapisać następująco:
5���5�\�
( )
5�b� = 5�f� - 5�f�5�\� + 5���15�e�2+ . . . +5���5�[�-15�e�5�[� + 5��5�f�5�\� . (28)
5�O�5�\�
W algorytmie (28) dla zlikwidowania odchylenia (uchybu statycznego) sygnału wyjściowego 5�f�
od wartości zadanej 5�f�5�\� dodany został wyraz 5��5�f�5�\�. Dla sterowania (28) równanie stanu przyjmie postać:
5�f�5�\�
5�e� = -( - 5���5�\� 5�e�1 - ( - 5���1 5�e�2- . . . - 5�N�5�[�-1 - 5���5�[�-1 5�e�5�[� + (5�� - ) 5�f�5�\� . (29)
5�N�5�\� ) 5�N�1 ) ( )
5�[�
5�O�5�\�
Z podanych zależności wynika następujący opis stanu układu (26) ze sprzężeniem zwrotnym (28):
5ؙ� = 5�h�5�5�5ؙ� + 5؃�5�5�5�f�5�\� ,
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
17
5�f� = 5�j�5ؙ� , (30)
gdzie:
0
. . .
0
0 1
�"
. . .
0
0 0
5�h�5�5� = [ ], 5؃�5�5� = [ ]
, 5�j� = 5�O�5�\� 0 . . . 0 .
.
�" �" .0.
5���5�\�
-(5�N�5�\� - 5�L�5�\�)-5�N�1(5�N�1 - 5���1). . .-(5�N�5�[�-1 - 5���5�[�-1)
[5�� - 5�O�5�\�
]
(31)
Podany opis w postaci transmitancji operatorowej ma postać:
2
5�L�(5�`�) 5�N�5�\�
5�:�5�H�5�M�(5�`�) = = , (32)
2 2 2
5�L�0(5�`�) 5�`�5�[�+5�N�5�[�-1 5�`�5�[�-1+ ...+5�N�15�`�+5�N�5�\�
gdzie:
2
5���5�\� = 5�N�5�\� - 5�N�5�\�
2
5���1 = 5�N�1 - 5�N�1
. . . . . . . . . .
2
5���5�[�-1 = 5�N�5�[�-1 - 5�N�5�[�-1 . (33)
5�N�5�\�
5�� =
}
5�O�5�\�
Współczynniki 5���5�V� są parametrami sterowania (28). Rys.6 przedstawia schemat blokowy
jednowymiarowego układu sterowania ze sprzężeniem od stanu i zakłócenia.
l�
+
Y0
-
g�0
Y
+
A, B, C
G0
+
+
+
g� g�
n-1 1
Rys.6. Schemat układu sterowania ze sprzężeniem od stanu i zakłócenia wyrażonego w wartości
zadanej 5�f�5�\�
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
18
 Przedstawiona metoda sterowania ze sprzężeniem od stanu jest mało przydatna w
zastosowaniu układów o jednym wejściu i jednym wejściu (jednowymiarowych) ponieważ wymaga
dołączenia obserwatora stanu. Stosowanie obserwatora bardzo komplikuje to rozwiązanie. Istota
metody sterowania ze sprzężeniem od stanu została zaprezentowana, ponieważ jest podstawą
sterowania w układach o wielu wejściach i wielu wyjściach.
5.6. Sterowanie cyfrowe
Zjawiska fizykalne w sensie czasu są zjawiskami ciągłymi. Rozwój technik komputerowych i
wykorzystywanych do sterowania urządzeń cyfrowych, spowodowało konieczność stosowania modeli
dyskretnych (cyfrowych). Komputer, sterownik mikroprocesorowy lub też procesor przetwarzają
informacje w sposób sekwencyjny, tzn. kolejna informacja może być przyjęta po przetworzeniu
informacji wcześniejszej. Dlatego też pełniący rolę regulatora komputer jest układem dyskretnym.
Dopływające wyniki pomiarów są traktowane w nim jako wielkości dyskretne, podobnie jak wyniki
generowane przez komputer i wysyłane w chwilach dyskretnych do urządzeń wykonawczych. Dla
zapewnienia funkcjonowania komputera, w układzie sterowania należy umieścić na jego wejściu
przetwornik analogowo-cyfrowy (A/C - impulsator,) a na wyjściu przetwornik cyfrowo-analogowy (C/A
- ekstrapolator) - rys.7.
układ dyskretny
y(ta)
u(tk) u(t) y(t)
przetwornik Obiekt Przetwornik
komputer
C/A sterowania A/C
układ ciągły
Rys.7. Schemat sterowania cyfrowego
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
19
 Sterowany przez komputer obiekt jest modelem dyskretnym procesu ciągłego wyposażonego
w przetworniki SIA i AIC. Na rys.8 przedstawiony został schemat układu regulacji komputerowej z
zakłóceniem na wejściu obiektu.
z(t)
uk
ek
yok
y(t)
u(t)
+
R(z) E0 O
-
I
Rys.8. Schemat układu regulacji komputerowej z zakłóceniem na wejściu obiektu: ozn. 0-obiekt, R(z)-
regulator, 5�8�0 ekstrapolator rzędu zerowego, I- impulsator
W cyfrowych układach sterowania stosowana jest teoria liniowych impulsowych układów
sterowania, wykorzystująca równania różnicowe lub przekształcenia 5�M�. Spotykane jeszcze dotychczas
typowe regulatory analogowe (pneumatyczne, hydrauliczne, elektroniczne) były małymi urządzeniami,
umieszczonymi w tworzonych sprzężeniach zwrotnych. Większość z nich wykorzystywała sterowanie
P, PD, PI lub PID. Komputery cyfrowe (sterowniki mikroprocesorowe, procesory), używane w
zastosowaniach bezpośredniego sterowania cyfrowego (DDC) najczęściej obejmują równocześnie
wiele sprzężeń zwrotnych, 100 a nawet więcej. Mogą to być autonomiczne układy sterowania
funkcjonujące z systemem nadrzędnym. Sterowanie poszczególnymi obwodami dokonywane jest przez
komputer za pomocą przeszukiwania (np. z multipleksorem) zmiennych obiektu i wytwarzania
sygnałów sterujących na zasadzie pracy z podziałem czasu. Mogą być przy tym stosowane różne
algorytmy sterowania, w tym z szeroką wersją cyfrowych algorytmów PI, PID.
5.7. Regulacja dwu - lub trójpołożeniowa
Układami regulacji dwu  lub trójpołożeniowej nazywane są układy stabilizujące, w których
wielkość nastawiająca (wyjście z regulatora) przyjmuje dwie (0 i 1) lub trzy (-1, 0, +1) wartości położenia
(stany) sygnału. Charakterystyki statyczne regulatorów dwu- i trójpołożeniowych zostały
przedstawione na rys.6R.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
20
a) b)
XN XN
załączone - 1 załączone - 1
+B1 +B1
e e
e
0 0
0
wyłączone - 0 wyłączone - 0
-B2
-B2
-h h
-h h
c)
XN
załączone - +1
+B1
e
0
wyłączone - 0
-B2
załączone - 1
-h D� D� h
Rys.9. Charakterystyki statyczne regulatorów dwu- i trójpołożeniowych; a) dwupołożeniowa z dodatnią
(typową) niejednoznacznością (histerezą), b) dwupołożeniowa z ujemną niejednoznacznością, c)
trójpołożeniowa ze strefą nieczułości 2 " i typową niejednoznacznościach.
Charakterystyka statyczna regulatora z rys.9(a) opisana jest zależnościami:
5�Q�5�R�
5�e�5�A� = 5�5�1 dla - ! < 5�R� < ! oraz < 0; 5�e�5�A� = 5�5�1 dla 5�R� > !
5�Q�5�a�
}
5�Q�5�R�
5�e�5�A� = 5�5�2 dla - ! < 5�R� < ! oraz > 0; 5�e�5�A� = -5�5�1 dla 5�R� < -!
5�Q�5�a�
(34)
Regulacje dwu- i trójpołożeniowe mogą być stosowane dla stabilizacji wielkości nastawianej
(wyjściowej) 5�f� dowolnych obiektów. Zarówno statycznych jak i astatycznych. Obiekty te są
charakteryzowane w sposób ogólny przez transmitancje operatorowe o postaciach:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
21
5�X�0
( )
5�:�0 5�`� = 5�R�5�� 5�`�, (35)
5�G�0 5�`�+1
5�X�0
( )
5�:�0 5�`� = 5�R�5�� 5�`�, (36)
5�`�
W układach tych wielkość nastawiana 5�f� składa się z charakterystycznych oscylacji. Często
przyjmowaną miarą jakości tych układów jest amplituda oscylacji "5�f� wielkości nastawianej 5�f�. Ponieważ
amplituda "5�f� zależy od opóz
nienia zastępczego obiektu 5��, to zaleca się by był spełniony warunek:
5��
d" 0,2 (0,1). (37)
5�G�0
Ten rodzaj sterowania będzie również poprawnie funkcjonować także wówczas, gdy warunek
(144) nie zostanie spełniony i wskaz
nik 5��/5�G�0 znacznie przekroczy wartość 0,2, przy czym będzie
5��
mniejszy od 1 (5�G� < 1). Należy się jednak wówczas liczyć z niezadawalającą jakością funkcjonowania
0
układu, którą jest amplituda "5�f� wielkości nastawianej.
Przedstawione na rys.9 charakterystyki przekaz
nikowe regulatorów posiadają stałe wartości
strefy niejednoznaczności ą !. W praktyce stosuje się regulatory przekaz
nikowe o zmiennej,
nastawianej strefie niejednoznaczności. Efekt taki można otrzymać wprowadzając różniczkowanie
sygnału błędu 5�R�(5�a�), który jest wejściem do regulatora. Sygnał błędu może być także poddany
uśrednieniu (całkowaniu).
Na rys.10 przedstawiony został schemat blokowy regulacji dwupołożeniowej dla obiektu
statycznego, z jedną stałą czasową 5�G�0, opóz
nieniem zastępczym 5�� i regulatorem o dodatniej strefie
niejednoznaczności.
X
N
Y0(s) Y(s)
E(s)
XN(s)
k0 e-Ts
0
e
T0s+1
Rys.10 Schemat blokowy dwupołożeniowego układu regulacji
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
22
 Układy regulacji dwupołożeniowej w szczególności są stosowane, np. dla stabilizacji
temperatury w procesach cieplnych, stabilizacji ciśnienia w instalacjach płynowych.
5.7.1. Przebieg zmian wielkości regulowanej w regulacji dwupołożeniowej
Na rys.11 przedstawiony został poglądowo przebieg wielkości regulowanej dwupołożeniowo
obiektu statycznego wyższego rzędu, aproksymowanego zależnością (35). Przebieg sygnału
nastawiającego 5�e�5�A�(5�a�) ma kształt prostokątny (rys.11(a)). Wobec czego sygnał 5�f�(5�a�) utworzony jest z
fragmentów skokowej odpowiedzi obiektu na wymuszenie 5�e�5�A�(5�a�) w nieustalonych warunkach
początkowych występujących w punktach 0 i 1, przez które poprowadzone zostały linie 5�f�0 + ! i 5�f�0 -
!.
Na rys.11 wspomniane  fragmenty odpowiedzi zostały odzwierciedlone jako części przebiegów
1 i 2, przedstawiających charakterystyki skokowe obiektu, otrzymane dla skokowych zmian wejścia
narastającego oraz malejącego w całym swoim zakresie.
y
a)
T
y
st
B
t�
y
max
y +h
0 0 0
2y
h
y
0
y -h
0 1 1
y 1
min
t�
t t
n m
T
0SC
t�
2
t
A
b)
x
N
t t t
p m n
B
t
0
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
23
2
D�
y
D�
y
1
D�
y
śr
y
Rys.11. Przebieg zmian wielkości wejściowej i wyjściowej obiektu (135) w układzie regulacji
dwupołożeniowej; a) przebieg zmian wielkości wyjściowej (regulowanej 5�f�), b) przebieg zmian wielkości
wejściowej obiektu (nastawiającej 5�e�5�A�)
Na rys.12 przedstawiony został przebieg zmian wielkości wejściowej 5�e�5�A�(5�a�) i wyjściowej 5�f�(5�a�)
obiektu astatycznego o transmitancji aproksymowanej zależnością (36), sterowanego
dwupołożeniowo.
a) y
B
y
max
0 0 0
y +h
0
y
0
y -h
0 1
1
y
min
T
osc
A
t
t� t t t
p m n
b)
x
N
1
0
t
Rys.12. Przebieg zmian wielkości wejściowej 5�e�5�A�(5�a�) i wyjściowej 5�f�(5�a�) obiektu (3); a) przebieg zmian
wielkości wyjściowej (regulowanej), b) przebieg zmian wielkości wejściowej obiektu (nastawiającej)
Przebieg z rys.12 (a), podobnie jak w przypadku pokazanym na rys.8R(a), jest przedstawiony z
pewnym przybliżeniem. Przede wszystkim opóz
nienie 5�� w transmitancji (38) nie ma charakteru
wyłącznie opóz
nienia transportowego, lecz aproksymuje istniejącą w obiekcie inercję. Wobec czego w
punktach A i B wielkość regulowana 5�f�(5�a�) będzie zmieniała się w sposób zaznaczony krzywą punktową.
( )
Oscylacyjny przebieg 5�f� 5�a� , przedstawiony na rys.11(a) i rys.12(a), jest uproszczony w swojej
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
24
D�
y
początkowej części , w której występuje dość znaczące przeregulowanie. Przyczyną przeregulowania,
np. w przypadku procesów cieplnych, są znaczące i zróżnicowane rozkłady temperatury w
początkowym okresie dostarczania energii do ogrzewanego materiału. Dopiero po kilku pierwszych
zmniejszających się oscylacjach ustala się przebieg wielkości regulowanej do postaci zbliżonej do
pokazanej na rys.11(a) i rys.12(a). W przypadku procesów związanych z przepływem cieczy,
przeregulowanie wynika ze znaczącej bezwładności płynu w początkowym okresie jego transportu.
Rejestrowane przebiegi 5�f�(5�a�) w punktach szczytowym i dolnym nie posiadają tak ostrego
kształtu jak przedstawia to rys.11(a) i rys.12(a), lecz są zaokrąglone.
Punkty 0 i 1 na rys.11(a) i rys.12(a) oznaczają momenty zmiany stanu regulatora. Reakcja
obiektu następuje z opóz
nieniem 5��. Przez 5�a�5�[� i 5�a�5�Z� oznaczone zostały odpowiednio czasy trwania stanów
1 i 0 sygnału nastawiającego 5�e�5�A�, w których do obiektu dostarczana jest energia prezentowana przez
sygnał regulowany 5�f�(5�a�). Czas 5�a�5�]� określa trwanie stanu 1 od wyłączenia układu do chwili przekazania
do regulatora wartości sygnału 5�f�0 + !. Okres oscylacji 5�G�5�\�5�`�5�P� sygnału 5�f�(5�a�) jest równy sumie czasów 5�a�5�[� i
5�a�5�Z�. Amplitudę "5�f� sygnału 5�f�(5�a�) określa różnica skrajnych wartości 5�f�5�Z�5�N�5�e� - 5�f�5�Z�5�V�5�[�. Amplituda "5�f� zależy
od wielkości strefy niejednoznaczności regulatora 2! (wyrażona przez 25�f�!) oraz od inercji obiektu.
Położenie średniej 5�f�ś5�_� wartości regulowanej niezawsze pokrywa się z położeniem wartości zadanej 5�f�0.
Różnica 5�f�ś5�_� - 5�f�0 jest równa błędowi (uchybowi) statycznemu 5�R� rozpatrywanego układu regulacji:
5�R�5�[� = 5�f�ś5�_� - 5�f�0 . (38)
Położenie to zależy od wartości czasów 5�a�5�[� i 5�a�5�Z� .
Dla 5�a�5�[� = 5�a�5�Z� uzyskuje się zależność 5�f�ś5�_� - 5�f�0 (5�R� = 0). Dla 5�a�5�[� < 5�a�5�Z� otrzymuje się
5�f�ś5�_� < 5�f�0, a dla 5�a�5�[� > 5�a�5�Z� otrzymuje się 5�f�ś5�_� > 5�f�0. Najkorzystniej jest gdy 5�a�5�[� = 5�a�5�Z�. Osiąga się to przez
dobór mocy z
ródła energii obiektu, reprezentowanego przez wielkość regulowaną 5�f�. Moc należy tak
dobierać, by pożądana wartość zadana 5�f�0 wyniosła około � możliwej do osiągnięcia dla zastosowanego
z
ródła energii wartości regulowanej 5�f�5�`�5�a�.:
5�f�0 = 5�Z�5�f�5�`�5�a�
} , (39)
5�Z�~1/2
i wówczas 5�R�5�[�~0 .
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
25
5.7.2. Jakość regulacji dwupołożeniowej (trójpołożeniowej)
Ze względu na oscylacyjny charakter wielkości regulowanej, miarami oceny jakości regulacji
dwupołożeniowej mogą być: amplituda oscylacji "5�f�, okres oscylacji 5�G�5�\�5�`�5�P�, błąd statyczny 5�R�5�[�,
przeregulowanie 5��� występujące po włączeniu układu, oraz czas 5�a�5�]� po którym ustali się stała amplituda
oscylacji. Ostatnie dwa wskaz
niki są trudne do analitycznego oszacowania ilościowego i są określone
eksperymentalnie. Wskaz
nik w postaci amplitudy oscylacji "5�f�, określa dokładność układu regulacji. W
praktyce jest także bardzo ważne wspomniane przeregulowanie 5���, określone w postaci wartości
procentowej stosunku pierwszej amplitudy 5�4�1 do wartości zadanej 5�f�0:
5�4�1
5��� = 100% . (40)
5�f�0
Okres oscylacji 5�G�5�\�5�`�5�P� jest podstawą do przyjęcia określonego urządzenia wykonawczego, w
którym nie można przekroczyć związanej z konstrukcją liczby załączeń i wyłączeń w jednostce czasu.
Występowanie błędu statycznego 5�R�5�`�5�a�, wraz ze zmianą wartości zadanej 5�f�0, oznacza konieczność
każdorazowego zerowania układu. Obecność przeregulowania 5��� należy uwzględnić w zastosowaniach
do określonych potrzeb technologicznych, np. w przypadku obróbki cieplnej, przed włożeniem wsadu
zaleca się  wygrzanie pieca dla uniknięcia często szkodliwego przegrzania wsadu.
Przedstawione wskaz
niki można obliczyć wyznaczając charakterystyczne wielkości,
odpowiednio dla obiektu statycznego (35) lub astatycznego (36) z przedstawionych na rys.11(a) lub
rys.12(a) przebiegów wielkości regulowanych 5�f�(5�a�).
5.7.3.Układ regulacji dwupołożeniowej z obiektem statycznym
Amplituda oscylacji "5�f� jest równa różnicy 5�f�5�Z�5�N�5�e� i 5�f�5�Z�5�V�5�[�:
"= 5�f�5�Z�5�N�5�e� - 5�f�5�Z�5�V�5�[� . (41)
Dla obliczenia "5�f� należy określić 5�f�max 5�V� 5�f�5�Z�5�V�5�[�.
Wielkość regulowana 5�f�(5�a�), która jest odpowiedzią obiektu (35) na wymuszenie skokowe ma postać:
( )
5�a�-5��
5�G�0
( )
5�f� 5�a� = 5�f�5�`�5�a�(1 - 5�R� ) . (42)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
26
( )
Dla 5�f� 5�a� = 5�f�0 + ! i wartości początkowej 5�f�5�]�, dla czasu 5�a� = 5�a�0, otrzyma się:
(5�a�5�]�-5��)
5�G�0
5�f�0 + ! = 5�f�5�]� + (5�f�5�`�5�a� - 5�f�5�]�)(1 - 5�R� ) , (43)
gdzie:
5�f�5�`�5�a� - 5�f�5�]� = 5�X�05�5�1. (44)
5�f�5�`�5�a�-5�f�5�]�
5�a�5�]� = 5�� + 5�G�0 5�Y�5�[� . (45)
5�f�5�`�5�a�-5�f�0-!
Dla 5�f�5�]� = 0 oraz 5�f�0 = 5�Z�5�f�5�`�5�a�, dla 0 < 5�Z� < 1, otrzyma się:
5�f�5�`�5�a�
5�a�5�]� = 5�� + 5�G�0 5�Y�5�[� . (46)
( )-!
5�f�5�`�5�a� 1-5�Z�
Wartość 5�f�5�Z�5�N�5�e� jest równa sumie (5�f�0 + !) i przyrostowi 5�f�(5�a�) w czasie 5��:
5�� 5�� 5��
( ) [ 5�f�0 + ! (1 ( )
5�f�5�Z�5�N�5�e� = 5�f�0 + ! + 5�f�5�`�5�a� - ( )] - 5�R�5�G�0) = 5�f�0 + ! 5�R�5�G�0 + 5�f�5�`�5�a�(1 - 5�R�5�G�0) . (47)

Po uwzględnieniu 5�f�0 = 5�Z�5�f�5�`�5�a� otrzymuje się:
5�� 5��
)
5�f�5�Z�5�N�5�e� = 5�f�5�`�5�a� [1 - ( - 5�Z� 5�R�5�G�0] + ! 5�R�5�G�0 . (48)
1 
Wartość 5�f�5�Z�5�V�5�[� wynosi:
5�� 5��
( ) ( )
5�f�5�Z�5�V�5�[� = 5�f�0 - ! 5�R�5�G�0 = 5�Z� 5�f�5�`�5�a� - ! 5�R�5�G�0 . (49)

Otrzyma się:
5�� 5��
"= 5�f�5�`�5�a� (1 - 5�R�5�G�0) + 2! 5�R�5�G�0 . (50)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
27
Okres oscylacji ustalonych T (po zaniknięciu przeregulowania) jest równy sumie czasów 5�a�5�Z� i 5�a�5�[�. Czas
osc
5�a�5�Z� określa przebieg zmian wielkości 5�f�(5�a�) w przedziale od 5�f�5�Z�5�V�5�[� do 5�f�5�Z�5�N�5�e�. Dla tego przedziału wartość
5�f�5�Z�5�N�5�e� można określić następująco:
5�� 5�a�5�Z�
( ) 5�f�5�`�5�a� )
5�f�5�Z�5�N�5�e� = 5�f�5�`�5�a� - 5�f�5�Z�5�V�5�[� (1 - 5�R�5�G�0) + 5�f�5�Z�5�V�5�[� = 5�f�5�`�5�a� - ( - 5�f�5�Z�5�V�5�[� 5�R�5�G�0. (51)

Po podstawieniu do (51) zależności (48) i (49), można obliczyć czas 5�a�5�Z�, który wynosi:
5��
0
5�f�5�`�5�a�-( )
5�Z� 5�f�5�`�5�a�-! 5�R�5�G�
5�a�5�Z� = 5�� + 5�G�05�Y�5�[� . (52)
( )-!
5�f�5�`�5�a� 1-5�Z�
Czas 5�a�5�[� określa z kolei przebieg zmian wielkości 5�f�(5�a�) w przedziale od 5�f�5�Z�5�N�5�e� do 5�f�5�Z�5�V�5�[� i może być
wyznaczony z zależności:
5�a�5�[�
5�f�5�Z�5�V�5�[� = 5�f�5�Z�5�N�5�e� 5�R�5�G�0 . (53)
Po podstawieniu do (53) zależności (48) i (49) otrzymuje się:
5��
[ ( )-!
]
5�f�5�`�5�a�- 5�f�5�`�5�a� 1-5�Z� 5�R�5�G�0
5�a�5�[� = 5�� + 5�G�05�Y�5�[� , (54)
5�Z� 5�f�5�`�5�a�-!
czas oscylacji T ustalonych wynosi:
osc
5�G�5�\�5�`�5�P� = 5�a�5�Z� + 5�a�5�[�. (55)
Błąd statyczny zgodnie z zależnością (38) wynosi:
5�R�5�`�5�a� = 5�f�ś5�_� - 5�f�0.
Wartość średnia 5�f�ś5�_� przebiegu 5�f�(5�a�) jest równa:
5�f�ś5�_� = 0.5 (5�f�5�Z�5�N�5�e� + 5�f�5�Z�5�V�5�[� ). (56)
Po podstawieniu zależności (38) do zależności (56), (48) i (49) otrzymuje się:
5��
( )
5�R�5�`�5�a� = 5�f�5�`�5�a� 0.5 - 5�Z� (1 - 5�R�5�G�0). (57)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
28
 Zależność (50) pokazuje jak zależy dokładność układu regulacji z obiektem statycznym w
5��
zależności od wskaz
nika (37) 5�G� oraz wielkości strefy niejednoznaczności ! regulatora.
0
5��
5��
Im mniejsze jest 5�G� , tym składnik 5�R�5�G�0 jest większy (dąży do jedynki). Dla 5��/5�G�0~0 błąd " dąży
0
do wartości ~25�f�5�[�. Zmniejszane wartości strefy niejednoznaczności ! powoduje dalsze zmniejszanie
błędu ". Przedstawione wpływy powodują także zmniejszenie okresu oscylacji T . W praktyce
osc
zmniejszać można tylko strefę niejednoznaczności !, wprowadzając do regulatora różniczkowanie.
Minimalna wartość graniczna ! wynika z dopuszczalnej dla danego urządzenia wykonawczego częstości
przełączeń (zależność (62)).
5.7.4. Układ regulacji dwupołożeniowej z obiektem astatycznym
Jeżeli na wejściu obiektu, opisanego transmitancją operatorową, pojawi się sygnał 1
(załączony):
5�e�5�[� = 5�5�1 ,
to sygnał wyjściowy 5�f�(5�a�) będzie odpowiedzią o postaci:
( )
5�f� 5�a� = 5�X�05�5�1(5�a� - 5��) . (58)
( )
Prędkości narastania i opadania sygnału 5�f� 5�a� są takie same. Wobec tego czasy 5�a�5�[� i 5�a�5�Z� są sobie równe:
5�a�5�[� = 5�a�5�Z� . (59)
Z rys.12(a) wynika, że:
!
5�a�5�[� = 5�a�5�Z� = 2 (5�� + ) . (60)
5�X�05�5�1
Zatem czas oscylacji T wynosi:
osc
!
5�G�5�\�5�`�5�P� = 5�a�5�[� + 5�a�5�Z� = 4 (5�� + ) . (61)
5�X�05�5�1
Częstość przełączenia stanów 0 i 1 wynosi:
1 5�X�05�5�1
5�[� = = . (62)
5�G�5�\�5�`�5�P� 2 (!+5�X�05�5�15��)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
29
Amplituda oscylacji "5�f� jest określona w sposób:
"5�f� = 2 (! + 5�X�05�5�15��) . (63)
W przypadku regulacji dwupołożeniowej z obiektem astatycznym błąd "5�f�, podobnie jak w
przypadku obiektu statycznego, zależy od opóz
nienia zastępczego 5�� oraz strefy niejednoznaczności
regulatora !.
Przebiegi wielkości regulowanej w układach regulacji trójpołożeniowej są identyczne do
pokazanych na rys.11(a) i rys.12(a).
5.8. Regulacja kaskadowa
Regulacja kaskadowa oznacza połączenie szeregowe (kaskadę) kilku (najczęściej dwóch)
układów regulacji. Istotą regulacji kaskadowej jest tworzenie dodatkowych, wewnętrznych sprzężeń
zwrotnych od obiektu sterowania i wprowadzania dodatkowych (pomocniczych) wewnętrznych
regulatorów. Umożliwia się w ten sposób znacznie szybsze usunięcie wpływu zewnętrznych zakłóceń
niż osiągnęłoby się to przez obwód głównego sprzężenia zwrotnego. Podstawowym problemem do
utworzenia takiego rozwiązania jest "wydobycie" z obiektu sterowania informacji, nazywanych
pomocniczymi o zewnętrznych zakłóceniach lub obciążeniach. W tym celu konieczna jest wnikliwa
analiza budowy obiektu sterowania, określenie oddziaływujących zakłóceń zewnętrznych oraz
możliwości ich obserwacji (pomiaru).
Typowy obiekt sterowania 5�:�0(5�`�) można przedstawić w formie połączonych szeregowo
następujących elementów: wykonawczego 5�:�5�J�(5�`�), sterowanego procesu 5�:�5�C�(5�`�) oraz przetwornika
pomiarowego 5�:�5�]�5�]�(5�`�), co można zapisać w sposób:
( ) ( ) ( )
5�:�0 5�`� = 5�:�5�J� 5�`� 5�:�5�C� 5�`� 5�:�5�C�5�C�(5�`�) . (64)
( ) ( )
Oddziaływujące na obiekt 5�:�0 5�`� zewnętrzne zakłócenia 5�M� 5�`� lub też zewnętrzne obciążenie
obiektu, można graficznie przedstawić w postaci węzłów sumacyjnych umiejscowionych na wejściu
każdego z tych elementów: 5�:�5�J�(5�`�), 5�:�5�C�(5�`�) lub 5�:�5�C�5�C�(5�`�). Przypadkiem najczęstszym jest sytuacja, gdy
( )
oddziaływujące zakłócenie jest związane z urządzeniem wykonawczym 5�:�5�J� 5�`� . Przykładami mogą być:
napędy z silnikami elektrycznymi, hydraulicznymi lub pneumatycznymi, elektryczne urządzenia
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
30
grzewcze a także procesy technologiczne, w których zachodzi potrzeba stabilizacji
trudnoobserwowalnej wielkości.
W urządzeniach wykonawczych z napędami, generowany przez te urządzenia sygnał wyjściowy
może być zakłócony zmieniającą się mocą zasilania (np. spadki napięć w sieci elektrycznej, zmiany
ciśnienia zasilania) lub też zmianami obciążenia zewnętrznego, które nie są w sterowaniu
uwzględniane. Przykładowo: układ sterowany jest tylko w funkcji położenia lub prędkości.
Oddziaływanie zakłócenia w napędach jest dość łatwo obserwowalne, czego można dokonać przez
pomiar zmieniającej się prędkości lub położenia: np. wału silnika, trzpienia siłownika.
W urządzeniach wykonawczych, których celem jest przekazywanie energii cieplnej, np. ze z
ródła
elektrycznego, zakłócenie wiąże się ze zmianą napięcia w sieci elektrycznej. Przykładem może być
uplastycznianie tworzyw za pomocą promieniowania. Zmiana napięcia zasilania powoduje zmianę
temperatury żarnika lampy generującej promieniowanie. To z kolei powoduje zmianę długości fali
promieniowania, która jest absorbowana przez uplastyczniane tworzywo. W konsekwencji ilość
dostarczanej energii ulega zakłóceniom.
Przykładem procesu technologicznego, w którym jest stabilizowana trudna do obserwacji
wielkość jest nastawianie i stabilizacja gęstości prądu roztwarzania w procesie roztwarzania
elektrochemicznego. Gęstość prądu roztwarzania zależy od dosuwu ściernicy do materiału
obrabianego (jest to wielkość nastawiająca w sterowaniu) oraz od powierzchni styku ściernicy z
powierzchnią obrabianą. Wielkość powierzchni obrabianej w wyniku obróbki zmienia się i w sposób
bezpośredni nie jest w procesie mierzalna.
Na rys. 13 przedstawiony został ogólny schemat blokowy układu regulacji kaskadowej.
1
2
Go(s)
p
Z(s)
XN(s)
XN (s)
Ep(s)
P
EG(s) Y(s)
Y0(s)
XP(s)
P.
GW(s) Gp(s)
GG(s) GR(s) Gpp(s)
R
Xpp(s)
P
XP(s)
p.
Gpp(s)
Rys.13. Ogólny schemat blokowy układu regulacji kaskadowej
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
31
( ) ( )
Na rys.13 obiekt sterowania 5�:�0 5�`� składa się: z urządzenia wykonawczego 5�:�5�J� 5�`� , procesu
( ) ( )
będącego przedmiotem sterowania 5�:�5�C� 5�`� oraz przetwornika pomiarowego 5�:�5�C�5�C� 5�`� . Obiekt sterowania
( ) ( ) ( )
5�:�0 5�`� charakteryzuje znaczące oddziaływanie zakłóceń 5�M� 5�`� na urządzenie wykonawcze 5�:�5�J� 5�`� . Skutki
( ) ( )
zakłóceń 5�M� 5�`� są możliwe do zaobserwowania przez pomiar sygnału 5�K� 5�C� 5�`� , czego dokonuje
5�C�
5�C�
( )
dodatkowy przetwornik pomiarowy 5�:�5�C�5�C� 5�`� . Linią kropkowaną został zaznaczony wewnętrzny
5�C�
( )
(pomocniczy) układ regulacji, utworzony z: regulatora pomocniczego 5�:�5�E� 5�`� , urządzenia
5�C�
( ) ( )
wykonawczego 5�:�5�J� 5�`� i pomocniczego przetwornika pomiarowego 5�:�5�C�5�C� 5�`� . Funkcję wartości zadanej
5�:�
( ) ( )
w tym wewnętrznym układzie regulacji pełni sygnał 5�K� 5�`� generowany przez główny regulator 5�:�5�E� 5�`� .
5�A�
5�]�
5�C�
( ) ( )
Wyjściem z wewnętrznego układu regulacji jest sygnał 5�K�5�]� 5�`� . Sygnał 5�K�5�]� 5�`� , po zmierzeniu przez
5�C�
( ) ( )
pomocniczy przetwornik pomiarowy 5�:�5�]�5�]� 5�`� , o wartości 5�K�5�C�5�C� 5�`� , jest podawany do węzła sumacyjnego
oznaczonego przez 2.
( )
Na podstawie błędu (uchybu) 5�8�5�C� 5�`� , który wynosi:
( ) ( ) ( )
5�8�5�]� 5�`� = 5�K�5�A� 5�`� - 5�K�5�C�5�C� 5�`� , (65)
5�]�
5�C�
( ) ( ) ( )
pomocniczy regulator 5�:�5�E� 5�`� generuje sygnał 5�K�5�A� 5�`� nastawiający urządzenie wykonawcze 5�:�5�J� 5�`� .
( )
Przez takie rozwiązania, skutki zakłócenia 5�M� 5�`� są likwidowane przez wewnętrzny (zaznaczony
linią kropkowaną) układ regulacji. W rozwiązaniu typowym, z jednym sprzężeniem zwrotnym, skutki
( ) ( )
zakłócenia 5�M� 5�`� byłyby "dostrzeżone" w sygnale błędu 5�8�5�:� 5�`� i proces ich likwidowania wymagałby
kilkakrotnego obiegu i przetwarzania informacji w torze głównym i głównym sprzężeniu zwrotnym, co
trwałoby znacznie dłużej niż w układzie kaskadowym. Wiąże się z tym również znaczące zmniejszenie
( )
w układzie regulacji kaskadowej określonych odchyleń wielkości regulowanej 5�f� 5�a� od wartości zadanej
( )
5�f�0 5�a� , co oznacza znaczącą poprawę jakości sterowania. Głównym powodem zmniejszenia, zarówno
czasu likwidacji skutków zakłóceń jak i błędów sterowania, jest znaczące zróżnicowanie właściwości
( ) ( )
dynamicznych urządzenia wykonawczego, 5�:�5�J� 5�`� i sterowanego procesu 5�:�5�C� 5�`� . Urządzenie
( )
wykonawcze 5�:�5�J� 5�`� , zazwyczaj posiada właściwości proporcjonalne lub całkujące. Sterowany proces
( )
5�:�5�C� 5�`� najczęściej posiada znaczące właściwości inercyjne. Dlatego czas reakcji wewnętrznego układu
( )
regulacji jest znacznie krótszy (w praktyce kilka razy) od czasu reakcji samego procesu 5�:�5�C� 5�`� .
Projektowanie układu regulacji kaskadowej obejmujące dwa etapy:
�� projektowanie wewnętrznego układu regulacji,
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
32
�� projektowanie głównego obwodu obiegu informacji po zastąpieniu zastępczą transmitancją
operatorową właściwości wewnętrznego układu regulacji.
Wewnętrzny układ regulacji z rys.13 opisany jest zastępczą transmitancją operatorową o postaci:
5�]�
5�]�
5�K�5�]� (5�`�)
5�:�5�E�(5�`�)"5�:�5�J�(5�`�)
( )
5�:�5�J� 5�`� = = . (66)
5�]� 5�]�
5�K�5�A�(5�`�) 1+5�:�5�E�(5�`�)"5�:�5�J�(5�`�)"5�:�5�]�5�]�(5�`�)
Układ regulacji kaskadowej o postaci pokazanej na rys.13, opisany jest następującą
transmitancją operatorową:
5�:�
5�:�5�E� (5�`�)"5�:�5�J�(5�`�)"5�:�5�]�(5�`�)"5�:�5�]�5�]�(5�`�)
5�L�(5�`�)
( )
5�:�5�H�5�M� 5�`� = = . (67)
5�]�
5�:�
5�L�0(5�`�) 1+5�:�5�E� (5�`�)"5�:�5�J�(5�`�)"5�:�5�]�(5�`�)"5�:�5�]�5�]�(5�`�)
Dla zilustrowania pozytywnych efektów wynikających ze sterowania kaskadowego
przedstawiony został przykład.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
33
Przykład:
( )
Sterowany proces 5�:�5�C� 5�`� posiada właściwości inercyjne pierwszego rzędu:
5�X�0 5�X�5�J�
( ) ( ) ( )
5�:�5�]� 5�`� = . Urządzenie wykonawcze 5�:�5�J� 5�`� jest elementem całkującym: 5�:�5�J� 5�`� = , a
5�G�05�`�+1 5�`�
( ) ( )
przetwornik pomiarowy 5�:�5�]�5�]� 5�`� ma właściwości proporcjonalne: 5�:�5�]�5�]� 5�`� = 5�X�5�C�5�C�.
a) Dobór regulatora oraz charakterystyka skokowa układów regulacji (dla kilku kombinacji danych) z
jednym sprzężeniem zwrotnym
1. Dla właściwości wymienionych elementów układ regulacji z jednym sprzężeniem zwrotnym może
być wyposażony w regulator PD o transmitancji operatorowej:
( )
5�:�5�E� 5�`� = 5�X�5�E�(5�G�5�7� + 1)
( )
Transmitancja operatorowa zamkniętego układu regulacji 5�:�5�H�5�M� 5�`� w tym przypadku posiada postać:
( ) ( ) ( )
5�:�5�E� 5�`� "5�:�5�J� 5�`� "5�:�5�]� 5�`� "5�:�5�]�5�]�(5�`�)
5�L�(5�`�)
( )
5�:�5�H�5�M� 5�`� = =
, (68)
( ) ( ) ( )
5�L�0 1+5�:�5�E� 5�`� "5�:�5�J� 5�`� "5�:�5�]� 5�`� "5�:�5�]�5�]�(5�`�)
5�X�5�E�"5�X�5�J�"5�X�5�]�"5�X�5�]�5�]� (5�G�5�7�5�`�+1)
5�>� (5�G�5�7�5�`�+1)
( )
5�:�5�H�5�M� 5�`� = = , (69)
( )
5�`� (5�G�05�`�+1)+5�X�5�E�"5�X�5�J�"5�X�5�C�"5�X�5�C�5�C�(5�G�5�7�+1) 5�`� 5�G�05�`�+1 +5�>� (5�G�5�7�5�`�+1)
5�>� = 5�X�5�E� " 5�X�5�J� " 5�X�5�C� " 5�X�5�C�5�C�.
Dla szczególnego przypadku, gdy stała czasowa 5�G�0 jest niewielka (nie przekracza kilku min.)
można dobrać czas różniczkowania 5�G�5�7� w sposób:
5�G�5�7�~5�G�0 . (70)
Wówczas transmitancja operatorowa (69) przyjmie postać:
5�>�
( )
5�:�5�H�5�M� 5�`� = . (71)
5�`�+5�>�
( )
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe wartości zadanej 5�L�0 5�`� układu o takich właściwościach wyniesie:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
34
5�a�
5�f�05�`�5�a� 5�>�
5�>�
( ) ( )
5�L� 5�`� = , 5�f� 5�a� = 5�X�5�f�5�\�5�`�5�a�(1 - 5�R�- ) (72)
5�`� 5�`�+5�>�
1
Wykładnik 5�>� liczby e jest w tym przypadku stałą czasową tego układu.
3
Dla czasu 5�a� = 35�G� = , (73)
5�]�
5�X�5�E�"5�X�5�J�"5�X�5�C�5�C�"5�X�0
(5�X�5�J� ma miano czasu)
odpowiedz
układu osiąga 95% wartości ustalonej 5�X� " 5�f�5�\�5�`�5�a�.
2. Jeżeli 5�G�0 > 5�G�5�7�, wówczas otrzyma się inne wyniki.
Transmitancję (69) można zapisać w postaci:
5�>�
( )
5�G�5�7�+1
5�G�0
( )
5�:�5�H�5�M� 5�`� = (74)
1+5�G�5�7�5�>� 5�>�
5�`�2+ 5�`�+5�G�
5�G�0 0
Równanie charakterystyczne tego układu ma postać:
1+5�G�5�7�5�>� 5�>�
5�`�2 + 5�`� + = 0 . (75)
5�G�0 5�G�0
(1+5�G�5�7�5�>�)2 5�>� 1
Jeżeli "> 0 to > 4 , to 5�G�5�7� > 2"5�G�0 - i równanie (75) posiada dwa pierwiastki
5�G�02 5�G�0 5�>� 5�>�
rzeczywiste:
1+5�G�5�7�5�>� 1
5�`�(1,2) = - ą "(1 + 5�G�05�>�)2 - 45�>�5�G�0 . (76)
25�G�0 25�G�0
5�f�0D
Odpowiedz
skokowa tego układu ma zmianę wartości zadanej 5�L�0 =
5�`� wyniesie:
5�>�
5�f�5�\�5�`�5�a� (5�G�5�7�5�`�+1) 5�f�5�\�5�`�5�a� 5�4�0 5�4�1 5�4�2
5�G�0
( )
5�L� 5�`� = = ( + + )
1+5�G�5�7�5�`�
5�`� 5�G�0 5�`� 5�`�-5�`�1 5�`�-5�`�2
5�`�2+ 5�`�+1
5�G�0
(77)
5�4�0 = 1
5�G�0(5�G�5�7�+5�`�1) 5�G�0(5�G�5�7�+5�`�2)
5�4�1 = , 5�4�2 = }
2 2
( ) ( )
35�G�05�`�1 +25�`�1 1+5�>�5�G�5�7� +5�G�0 35�G�05�`�2+25�`�2 1+5�>�5�G�5�7� +5�G�0
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
35
Otrzymana odpowiedz
układu składa się z sumy dwóch funkcji wykładniczych (5�4�1 i 5�4�2 oraz 5�`�1 i
5�`�2 są rzeczywiste, ujemne) malejących.
Czas ustalania się odpowiedzi układu można obliczyć z zależności (77), przyjmując
( )D (78)
0,955�f� 5�f�5�\�5�`�5�a�
( )
5�f� 5�a�5�b�5�`�5�a� =
5�G�0.
1
3. Jeżeli "= 0 , to 5�G�5�7� = 2"5�G�0 - 5�>� (79)
5�>�
Ze względu na interpretację zachowania się układu, dla takiego przypadku wprowadza się oznaczenia:
2
( )
5��0 5�G�5�7�+1
( )
5�:�5�H�5�M� 5�`� = , (80)
2
5�`�2+25� �5��05�`�+5��0
gdzie:
5�>�
( ) ( )
5��0 = - częstość pulsacja drgań własnych naturalna ,
"5�G�0
} (81)
( )
1+5�>�5�G�5�7�
5� � = " - 5�d�5�g�5�T�5�Y�ę5�Q�5�[�5�f� 5�d�5�`�5�]�ół5�P�5�g�5�f�5�[�5�[�5�V�5�X� 5�a�ł5�b�5�Z�5�V�5�R�5�[�5�V�5�N� 1 e" 5� � > 0
5�G�05�>�
2
Dla tych oznaczeń otrzyma się:
2 2 2
"= 45� �25��0 - 45��0 = 45��0 (5� �2 - 1) . (82)
Warunkowi (79) odpowiada 5� � = 1. Pierwiastki równania charakterystycznego dla tego przypadku
wynoszą:
5�`�1 = 5�`�2 = -5� �5��0 = -5�� . (83)
( ) ( )
Odpowiedz
5�f�(5�a�) na skokową zmianę wartości zadanej 5�f�0 5�a� = 5�f�5�\�5�`�5�a�1 5�a� układu dla
rozpatrywanego przypadku wynosi:
( )
1 5�G�5�7�5�`�+1 5�4�0 5�4�1 5�4�2
2 2
( )
5�L� 5�`� = 5�f�5�\�5�`�5�a� 5��0 5�`� 5�`�2+25� �5�� 5�`�+5��0 = 5�f�5�\�5�`�5�a�5��0 [ + + ] , (84)
2
( )2
5�`� 5�`�-5�`�1 5�`�-5�`�2
0
2
[ ]
5�f�(5�a�) = 5�f�5�\�5�`�5�a�5��0 5�4�01 + 5�5�15�R�-5�`�15�a� + 5�5�25�a�5�R�-5�`�25�a� . (85)
1
Jeżeli 5�G�0 > 5�G�5�7� oraz "< 0, to 5�G�5�7� < 2"5�G�0 - , 0 < 5� � < 1 (86)
5�>� 5�>�
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
36
Dla tego przypadku otrzymuje się:
2 2 2
( )
"= 45� �25��0 - 45��0 = 45��0 5� �2 - 1
"= 5�W�25��0"1 - 5� �2
"
, (87)
5�`�(1,2) = -5� �5��0 ą 5�W�25��0"1 - 5� �2 = -5�� ą 5�W�5��
}
5�� = 5� �5��0 ,
5�� = 5��0"1 - 5� �2 - częstość drgań tłumionych układu.
( )
Odpowiedz
skokowa 5�f� 5�a� układu dla tego przypadku jest podobna do odpowiedzi (77):
2
[ ]
5�f�(5�a�) = 5�f�5�\�5�`�5�a�5��0 1 - 5�4�15�R�-5�`�15�a� - 5�4�25�R�-5�`�25�a�
5�4�1,2 = -5�e� ą 5�W�5�f�
, (88)
2
5�e� = 5��0 + 25�� (25� �5��0 - 5��)
5�f� = 45��0 (5� �5��0 - 5��) }
Z zależności 5�f�(5�a�) należy pozbyć się jednostek urojonych.
Współczynniki 5�4�1 i 5�4�2 można zapisać w sposób:
| |
5�4�1 = 5�4�1 5�R�+5�W�5��1 ,
| |
5�4�2 = 5�4�2 5�R�+5�W�5��2 ,
| | | |
5�4�1 = 5�4�2 = "5�e�2 + 5�f�2 ,
5��1 = -5��2 = 5�� = 5�� + 900 ,
5�e�
5�� = 5�N�5�_�5�P�5�a�5�T� ,.
5�L�
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
37
Jm
A1
Y
F�
j�1
Re
-X
j�2
-Y
A2
Rys.14. Interpretacja graficzna współczynników zespolonych sprzężonych 5�4�1 i 5�4�2
Po uwzględnieniu postaci wykładniczych liczb 5�4�1 i 5�4�2 zależność (195) przyjmie postać:
2
5�f�(5�a�) = 5�f�5�\�5�`�5�a�5��0[1 - | | 5�4� 5�R�5�W�5��(-5��-5�W�5��)5�a�] ,
5�4� 5�R�5�W�5��(-5��+5�W�5��)5�a� - | |
2
} (89)
5�f�(5�a�) = 5�f�5�\�5�`�5�a�5��0[1 - | |
5�4� 5�R�-5��5�a�(5�R�5�W�(5��+5��5�a�) + 5�R�-5�W�(5��+5��5�a�))] ,
2
[ | | ( )]
5�f�(5�a�) = 5�f�5�\�5�`�5�a�5��5�[� 1 - 0,5 5�4� 5�R�-5��5�a�5�`�5�V�5�[� 5��5�a� + 5�� .
Czas ustalania się odpowiedzi skokowej rozpatrywanego układu zależy od wartości liczbowej
współczynnika 5�� , którego odwrotność nazywana jest równoważnią stałą czasową układu.
( )
5�� = 5� �5��0 = 0,55�>� 1 + 5�>�5�G�5�7� . (90)
Współczynnik 5�� opisuje obwiednię oscylacyjnego przebiegu odpowiedzi skokowej układu.
b). Dobór regulatorów (pomocniczego i głównego) oraz charakterystyka skokowa kaskadowego układu
regulacji
5�X�5�J�
( )
4. Ze względu na całkujące właściwości urządzenia wykonawczego 5�:�5�J� 5�`� = , pomocniczy regulator
5�`�
5�C�
( )
wewnętrznego sprzężenia zwrotnego może mieć strukturę P lub PD. Dla regulatora 5�:�5�J� 5�`� = 5�X�5�E� oraz
5�]� 5�]�
( )
pomocniczego przetwornika pomiarowego proporcjonalnego 5�:�5�]�5�]� 5�`� = 5�X�5�]�5�]� otrzyma się następującą
transformację operatorową wewnętrznego układu regulacji:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
38
5�]�
( )
5�:�5�E�5�:�5�J� 5�`� 5�>�5�]�
5�K�5�C�(5�`�)
( )
5�:�5�H�5�J� 5�`� = = =
5�C�
( ) ( ) ( )
5�K�5�A�(5�`�) 1+5�:�5�E� 5�`� 5�:�5�J� 5�`� 5�:�5�]�5�]� 5�`� 5�G�5�]�5�`�+1
. (91)
gdzie
1 1
5�>�5�]� = , 5�G�5�]� =
5�]� 5�]� 5�]�
5�X�5�]�5�]� 5�X�5�E�5�X�5�d�5�X�5�]�5�]�
}
Otrzymano właściwości inercyjne pierwszego rzędu o wzmocnieniu statycznym 5�>�5�]� oraz stałej
5�]�
czasowej 5�G�5�]� zależnych od dobranego wzmocnienia 5�X�5�]�5�]� pomocniczego przetwornika pomiarowego i
5�]�
dobranego wzmocnienia 5�X�5�E� regulatora. Korzystne są możliwie duże wzmocnienia. Ograniczeń
formalnych nie ma. Ograniczenia mogą jedynie wynikać z możliwości konstrukcyjnych.
5�:�
( )
Dla właściwości obwodu wewnętrznego o postaci (44) można przyjąć regulator główny 5�:�5�E� 5�`� o
strukturze PI lub PID. Dla struktury PI transmitancja zamkniętego, kaskadowego układu regulacji
wyniesie:
5�:�
( ) ( ) ( )
5�:�5�E� 5�`� 5�:�5�J� 5�`� 5�:�5�]� 5�`� 5�:�5�]�5�]�(5�`�) 5�X�5�E�5�>�5�]�5�X�05�X�5�]�5�]�(5�G�5�V�5�`�+1)
5�L�(5�`�)
( )
5�:�5�H�5�M� 5�`� = = = .
5�:�
( ) ( ) ( ) ( )
5�L�0(5�`�) 1+5�:�5�E� 5�`� 5�:�5�J� 5�`� 5�:�5�]� 5�`� 5�:�5�]�5�]�(5�`�) 5�G�5�V�5�`� (5�G�5�]�5�`�+1) 5�G�05�`�+1 +5�X�5�E�5�>�5�]�5�X�05�X�5�]�5�]� (5�G�5�V�5�`�+1)
(92)
Jeżeli dobiera się czas całkowania 5�G�5�<� regulatora głównego jest równy stałej czasowej 5�G�5�C� , tj.
5�G�5�<� H" 5�G�5�]�,
( )
to wówczas transmitancja operatorowa 5�:�5�H�5�M� 5�`� przyjmie postać:
5�X�5�E�5�>�5�]�5�X�05�X�5�]�5�]� 5�X�5�E�5�>�5�]�5�X�05�X�5�]�5�]�
1
( )
5�:�5�H�5�M� 5�`� = = =
5�G�5�<�5�`� (5�G�5�]�5�`�+1)+5�X�5�E�5�>�5�]�5�X�05�X�5�]�5�]� 5�G�05�G�5�]�5�`�2+5�G�05�`�+5�X�5�E�5�>�5�]�5�X�05�X�5�]�5�]� 5�G�15�`�2+5�G�25�`�+1
gdzie:
5�G�05�G�5�]�
5�G�0
.
5�G�1 = =
5�]�
5�X�5�E�5�>�5�]�5�X�05�X�5�]�5�]� 5�X�5�E�5�X�05�X�5�]�5�]�5�X�5�E�5�X�5�d�
5�]�
5�G�05�X�5�]�5�]�
5�G�05�G�5�]�
5�G�2 = =
5�X�5�E�5�>�5�]�5�X�05�X�5�]�5�]� 5�X�5�E�5�X�05�X�5�]�5�]� }
(93)
5�]�
5�X�5�E�5�X�5�J�
Ponieważ 5�G�1 = = 5�X� ,
5�]�
5�G�2 5�X�5�]�5�]�
( )
to transmitancję operatorową 5�:�5�H�5�M� 5�`� można przedstawić w postaci:
1
( ) . (94)
5�:�5�H�5�M� 5�`� =
5�X�5�G�5�g�5�`�2+5�G�25�`�+1
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
39
W celu obliczenia odpowiedzi skokowej tego układu należy rozpatrzeć możliwe przypadki
przyjmowania wartości przez pierwiastki równania charakterystycznego:
"= (5�G�5�g�)2 - 45�X�5�G�5�g� ,
"= 5�G�5�g�(5�G�5�g� - 45�X�) : (95)
5�]�
5�X�5�E�5�X�5�J�5�X�5�E�5�X�05�X�5�]�5�]�
a) "> 0, tj. 5�G�5�g� > 45�X�, 5�G�0 > układ (95) regulacji kaskadowej (93) będzie posiadał dwa
2
5�]�
(5�X�5�]�5�]�)
różne bieguny rzeczywiste:
1 45�X�
5�`�(1,2) = - (1 ą 1 - ) .
"
25�X� 5�G�5�g�
Odpowiedz
kaskadowego układu regulacji (w rozważanym przypadku) na skokową zmianę
zadanej wartości 5�f�0(5�a�) wyniesie:
2
( ) ( )
5�f� 5�a� = 5�f�05�`�5�a�5��0 1 - 5�4�15�b�5�R�-5�`�15�a� - 5�4�25�b�5�R�-5�`�25�a�
gdzie,
} (96)
1 1
5�4�15�b� = , 5�4�25�b� =
25�X�5�G�5�g�5�`�1 25�X�5�G�5�g�5�`�2
b) Dla przypadków, gdy "= 0 oraz "< 0, transmitancję operatorową (93) można przedstawić w postaci
właściwości oscylacyjnych:
2
5��05�H�
( )
5�:�5�H�5�M� 5�`� =
,
2
5�`�2+25� �5�H�5��05�H�5�`�+5��05�H�
1
5��05�H� = ,
5�X�5�G�5�M�
"
(97)
1 5�G�5�M�
5� �5�H� = " ,
2 5�X�
2 2 2 2 2
( )
"5�H�= 45� �5�H� 5��05�H� - 45��05�H� = 45��05�H� 5� �5�H� - 1 .}
Dla "= 0:
5�]�
5�X�5�]�5�]�
5�`�1 = 5�`�2 = -5� �5�H�5��05�H� = -5��5�H� = .
5�]�
25�X�5�E�5�X�5�J�
Charakterystyka skokowa kaskadowego układu regulacji dla tego przypadku ma postać:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
40
2
( ) (
5�f� 5�a� = 5�f�5�\�5�`�5�a�5��05�H� 1 - 5�5�15�b�5�R�-5��5�b� - 5�5�25�a�5�R�-5��5�b� )
gdzie
2
2 5��05�H� 5��5�H�
(98)
5�5�1 =
,
2 2
2
[5��5�H�+2 5�
�5�H� 5��5�H� 5��05�H�+5��05�H�]
2 2
4 5��5�\�5�H� 5��5�H�
5�5�2 =
.
2 2
5��5�H�+2 5�
� 5��5�H�5��05�H�+5��05�H� }
c) Dla przypadku, gdy "< 0 pierwiastki równania charakterystycznego przyjmują postać:
5�`�(1,2) = -5��5�H� ą 5�W�5��5�H�
2
5��5�H� = 5��05�H�"1 - 5� �5�H�
Odpowiedz
skokowa układu przedstawia się w sposób:
2
( ) ( )
5�f� 5�a� = 5�f�05�`�5�a�5��05�H� 1 - 5�4�15�H�5�R�-5�`�15�a� - 5�4�25�H�5�a�5�R�-5�`�25�a� ,
5��5�b� 5��5�A�5�H�
5�4�15�H� = + 5�W� = 5�e�5�H� + 5�W�5�f�5�H� ,
2 2 2 2
25�X�5�G�5�M� (5��5�H�+5��05�H�) 25�X�5�G�5�M� (5��5�H�+5��05�H�)
5��5�b� 5��05�A�
5�4�25�b� = - 5�W� = 5�e�5�H� - 5�W�5�f�5�H� .
2 2 2 2
25�X�5�G�5�M� (5��5�H�+5��05�H�) 25�X�5�G�5�M� (5��5�H�+5��05�H�)
Po wyrugowaniu jednostek urojonych otrzymuje się:
2
( ) [ | | ( )]
5�f� 5�a� = 5�f�05�`�5�a�5��5�A�5�H� 1 - 0,5 5�4�5�H� 5�R�-5��5�H�5�a� 5��5�A�5�H�5�a� + 5��5�H� ,
5�f�5�H� } (99)
2 2
| |
5�4�5�H� = "5�e�5�H� + 5�f�5�H�, 5��5�H� = 5�N�5�_�5�P�5�a�5�T� .
5�e�5�H�
Na podstawie otrzymanych zależności opisujących przebieg odpowiedzi skokowych układu
regulacji z jednym sprzężeniem zwrotnym oraz regulacji kaskadowej, dla określonych kombinacji
przypadków wyrażonych przez dane liczbowe charakterystycznych wielkości, można porównać
zachowanie się tychże układów. Najłatwiej jest w sposób ogólny porównywać rozwiązania prowadzące
do właściwości oscylacyjnych. W tym przypadku można posłużyć się miarą 5��, której odwrotność
nazywania jest "równoważną stałą czasową" układu, opisującą obwiednię tłumionych oscylacji
odpowiedzi układu.
Dla przypadku (4), który dotyczył układu regulacji z jednym sprzężeniem zwrotnym i
regulatorem PD (dla warunku 5�G�5�7� > 5�G�0 wielkość ta wynosiła:
1
( )
5�� = 1 + 5�X�5�E�5�X�5�J�5�X�5�C�5�X�5�C�5�C�5�X�5�7� 5�X�5�E�5�X�5�J�5�X�5�]�5�X�5�]�5�]�.
2
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
41
Natomiast dla przypadku dotyczącego kaskadowego układu regulacji z regulatorem głównym PI
5�]�
5�]�
5�X�5�]�5�]�
45�X�5�E�5�X�5�J�5�X�5�E�5�X�05�X�5�]�5�]�
(dla 5�G�5�<� > 5�G�5�7� oraz 5�G�0 < ) wielkość 5��5�H� = .
5�]� 5�]�
5�X�5�]�5�]� 5�X�5�E�5�X�5�d�
Jeżeli otrzyma się 5�� > 5��5�H� , to wówczas czas reakcji (ustalania się wartości ustalonej wyjścia dla
skokowej zmiany wartości zadanej) byłby krótszy dla układu z jednym sprzężeniem zwrotnym od układu
regulacji kaskadowej.
W przedstawionej analizie zwrócono uwagę na reakcję układu na zmiany wartości zadanej.
Istotą regulacji kaskadowej jest zdolność układu do usuwania zakłóceń, w szczególności
( )
oddziaływujących na urządzenie wykonawcze 5�:�5�J� 5�`� . Dlatego też zasadna jest analiza zmian sygnału
( )
błędu 5�R� 5�a� powodowana tym zakłóceniami.
5�8�(5�`�)
( )
Transmitancja 5�:�5�8�5�M� 5�`� = dla układu regulacji z jednym sprzężeniem zwrotnym, gdy
5�M�(5�`�)
( )
zakłócenie 5�M�(5�`�) działa na wyjście 5�:�5�J� 5�`� , wynosi:
( )
5�:�5�]� 5�`� 5�:�5�]�5�]�(5�`�)
5�8�(5�`�)
( )
5�:�5�8�5�M� 5�`� = = . (100)
( ) ( ) ( )
5�M�(5�`�) 1+5�:�5�E� 5�`� 5�:�5�J� 5�`� 5�:�5�]� 5�`� 5�:�5�]�5�]�(5�`�)
5�8�(5�`�)
( ) ( )
Natomiast transmitancja 5�:�5�8�5�M� 5�`� = dla układu regulacji kaskadowej, gdy zakłócenie 5�M� 5�`�
5�M�(5�`�)
( )
działa na wyjście 5�:�5�J� 5�`� przed węzłem zaczepowym pomocniczej wielkości pomiarowej, wynosi:
( )
-5�:�5�]� 5�`� 5�:�5�]�5�]�(5�`�)
5�8�(5�`�)
( )
5�:�5�8�5�M� 5�`� = = . (101)
5�]� 5�]� 5�]�
5�M�(5�`�)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1+5�:�5�E� 5�`� 5�:�5�J� 5�`� [5�:�5�E� 5�`� 5�:�5�]� 5�`� 5�:�5�]�5�]� 5�`� +5�:�5�]�5�]�(5�`�)]
Po podstawieniu do (100) danych z p.1 otrzyma się
5�X�05�X�5�]�5�`�
5�8�(5�`�)
( )
5�:�5�8�5�M� 5�`� = = . (102)
( ) ( )
5�M�(5�`�) 5�`� 5�G�0+1 +5�X�5�E� 5�X�5�J� 5�X�5�]� 5�X�5�]�5�]� 5�G�0+1
Ponieważ równania charakterystyczne w transmitancjach operatorowych (67) i (100) są
( ) ( )
identyczne, to charakter odpowiedzi sygnału 5�R� 5�a� na zmiany zakłócenia (w szczególności skokowe) 5�g� 5�a�
w układzie z jednym sprzężeniem zwrotnym będzie identyczny do przedstawionych w p.1, p.2, p.3 i p.4.
Zmianie ulegną współczynniki 5�4�0, 5�4�15�V� 5�4�2. W przypadku układu kaskadowego transmitancja
operatorowa (89) i (101) różnią się wartościami współczynników. Dla 5�G�0 = 5�G�5�<� otrzyma się:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
42
-5�X�05�X�5�]�5�]�5�G�05�`�2
-5�>�5�M�
( )
5�:�5�8�5�M�5�>� 5�`� = =
5�]� 5�]� 5�]� 5�]�
5�G�25�M� 5�`�2+5�G�15�M� 5�`�+1
5�G�05�`�2+5�X�5�]�5�]�5�X�5�E� 5�X�5�J� 5�G�05�`�+5�X�5�E� 5�X�5�J� (5�X�5�]�5�]�+5�X�5�E� 5�X�0 5�X�5�]�5�]�)
5�X�05�X�5�]�5�]�5�G�0
5�>�5�g� =
5�]� 5�]�
5�X�5�E� 5�X�5�J� (5�X�5�]�5�]�+5�X�5�E� 5�X�0 5�X�5�]�5�]�)
5�X�5�]�5�]� 5�G�0
5�G�15�g� =
5�]�
.
5�X�5�]�5�]�+5�X�5�E� 5�X�0 5�X�5�]�5�]�
5�G�0 5�G�15�M�
5�]� 5�]�
5�G�25�g� = dla = 5�X�5�`� = 5�X�5�E� 5�X�5�]�5�]� 5�X�5�J�
5�]� 5�]�
5�G�25�M�
5�X�5�E� 5�X�5�J� (5�X�5�]�5�]�+5�X�5�E� 5�X�0 5�X�5�]�5�]�)
lub
-5�>�5�M�
( )
5�:�5�8�5�M�5�>� 5�`� =
}
5�X�5�F� 5�G�25�`�2+5�G�25�`�+1
( )
Podobnie jak w przypadkach p.5, (b) i (c) można obliczyć zależności określające przebiegi 5�R� 5�a� .
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
43