Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Kołowy wykres Smith a
Wykres ten składa się z dwóch nałożonych na siebie
układów współrzędnych: układu współrzędnych
biegunowych (moduł i argument współczynnika odbicia
“), oraz z ukÅ‚adu współrzÄ™dnych prostokÄ…tnych uv,
w którym są narysowane wzajemnie prostopadłe dwie
rodziny okręgów (r=const i x=const, gdzie r i x są
częścią rzeczywistą i urojoną tak zwanej impedancji
unormowanej z=r+jx ).
1 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Ponieważ:
Zk - Z0
“ = (1)
Zk + Z0
więc po unormowaniu Zk i Z0 względem Z0 czyli po
podzieleniu tych impedancji przez Z0, mamy:
zk -1
z -1
“ = = (2)
zk +1 z +1
2 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Po przekształceniu otrzymujemy:
1+ “
z = (3)
1- “
PodstawiajÄ…c do (3) zwiÄ…zek:
z = r + j Å" x (4)
oraz:
“ = u + j Å" v (5)
3 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
i po dokonaniu przekształceń otrzymuje się:
2
1
ëÅ‚u - r öÅ‚
+ v2 = (10)
ìÅ‚ ÷Å‚
1+ r
íÅ‚ Å‚Å‚
(1+ r)2
oraz:
2
1
ëÅ‚v - 1 öÅ‚
(u -1)2 + = (11)
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
x2
Zależności (10) i (11) są równaniami okręgów we
współrzędnych prostokątnych uv.
4 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Pierwszy z nich jest okręgiem, którego środek ma
współrzędne:
r
U = (12)
R
1+ r
i
VR = 0 (13)
a jego promień wynosi:
1
RR = (14)
1+ r
5 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Współrzędne środka drugiego okręgu to:
U = 1 (15)
X
oraz:
1
VX = Ä… (16)
x
Promień tego okręgu jest równy:
1
RX = (17)
x
6 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
-u
v
-1 r=0
1
r=0.5
r = "
-u v
-1
r=1
1
1
-1
u -v
r=2
r = "
-1 1
-v u
a) b)
Rys. 1. Rodzina okręgów stałych i nieujemnych wartości
części rzeczywistych r
a) układ podstawowy (zwykły), b) układ obrócony.
7 AKR
1
5
0
.
=
r
=
r
=0
2
r
=
r
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
-u
-1
-v v
-1
1
1
u
Rys. 2. Rodzina okręgów stałych wartości części
urojonych x, (obrócony układ współrzędnych).
8 AKR
x=0
x=2
x= -2
x
5
=
-
0.
0.
=
5
x
1
x
-
=
1
=
x
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
-u
-1
x=0.5
x=-0.5
v
-1
1
-v x=-1 x=1
x=-2 x=2
x = Ä…"
1
u
Rys. 3. Rodzina fragmentów okręgów stałych wartości części
urojonych x
(obwody bierne sÄ… opisane tylko tymi wycinkami).
9 AKR
x=0
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Trzecią rodziną są okręgi współśrodkowe, które są
miejscami geometrycznymi stałych wartości modułu
współczynnika odbicia “. W ukÅ‚adzie współrzÄ™dnych
prostokątnych uv moduł współczynnika odbicia jest
wyrażony związkiem:
“ = u2 + v2 (18)
Argument współczynnika odbicia w tym układzie
współrzędnych jest opisany zależnością:
v
arg “ = ¸ = arc tg (19)
u
10 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
-u
¸= -180 0 ¸=+180 0
“ = 1
-1
“ = 0.5
-900 900 v
1
-v -1
“ = 0
1 ¸=0 0
u
Rys. 4. Rodzina współczynników “ we współrzÄ™dnych
biegunowych nałożonych na układ współrzędnych uv.
11 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Te okręgi mogą być również wyskalowane jako punkty
stałych wartości współczynnika fali stojącej WFS
(wówczas nie wykorzystuje się skali kątowej):
1+ “
WFS = (20)
1- “
Po nałożeniu wszystkich okręgów otrzymuje się wykres
współśrodkowy (kołowy) Smith a (najczęściej okręgów
“ nie rysuje siÄ™).
12 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
-u
-1 r=0
x=0.5
x=-0.5
r=0.5
v
r=1
-1
1
-v
x=-2 r=2 x=2
x = Ä…"
1
r = "
u
Rys. 5. Kołowy (współśrodkowy) wykres Smith a.
13 AKR
x=0
x
=
1
-
=
1
x
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Korzystając z wykresu Smith a można posługiwać się
zarówno impedancjami jak również i admitancjami.
Y1
Admitancja unormowana y1 = i odpowiadajÄ…ca jej
Yo
Z1
unormowana impedancja z1 = sÄ… punktami
Zo
położonymi symetrycznie względem środka wykresu
Smith a (rys. 6.).
14 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
-u
-1 r=0
x=0.5
x=-0.5
z1
r=0.5
v
r=1
-1
1
-v
y1
x=-2 r=2 x=2
x = Ä…"
1
r = "
u
Rys. 6. OdpowiadajÄ…ce sobie: unormowana impedancja z1
i unormowana admitancja y1, na wykresie Smith a.
15 AKR
x=0
x
=
1
-
=
1
x
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Obwód wykresu Smith a jest, dla potrzeb określenia
argumentu “k, wyskalowany w stopniach. Dla potrzeb
wyznaczania transformacji współczynnika odbicia przez
linię transmisyjną obwód wykresu Smith a jest
l
wyskalowany w wartościach stosunku odmierzanego

w kierunku  do generatora i w kierunku  do obciążenia .
16 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Przykład 1:
Wyznaczyć współczynnik odbicia układu o impedancji
wejściowej Z1 obciążającego linię transmisyjną
o impedancji charakterystycznej Z0=50[&!]:
Z1 = 50 + j Å"100 [&!] (25)
Po unormowaniu względem Z0 mamy:
z1 =1+ j Å" 2 (26)
17 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Współczynnik odbicia w płaszczyz
nie podłączenia Z1
będzie:
jÅ"46.1o
“1 = 0.69 Å" e (27)
Jaka jest admitancja wejściowa tego układu ?
UnormowanÄ… admitancjÄ™ y1=1/z1 znajdujemy po
przeniesieniu z1 symetrycznie względem środka
wykresu Smith a.
y1 = 0.2 - j Å" 0.4 (28)
18 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Po pomnożeniu y1 przez admitancję charakterystyczną
Y0=1/Z0 otrzymuje się fizyczną wartość admitancji
obciążenia linii:
1
Y1 = = y1 Å"Y0 = (0.2 - j Å" 0.4) Å" 0.02 =
Z1
(29)
1
= 4 Å"10-3 - j Å"8 Å"10-3 [ ]
&!
19 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Przykład 2:
Współczynnik odbicia wrót wejściowych obwodu
mikrofalowego podłączonego to linii transmisyjnej
o impedancji charakterystycznej Z0=75&! wynosi:
“2 = 0.6 Å" e- jÅ"90o (30)
Jaka jest impedancja wejściowa tego obwodu?
20 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Po naniesieniu “2 na wykres Smith a odczytujemy:
z2 = 0.55 - j Å" 0.9 (31)
Po pomnożeniu z2 przez Z0=75&! mamy:
Z2 = 41.25 - j Å" 67.5[&!] (32)
Jaki bÄ™dzie współczynnik odbicia “2# tego obwodu
widziany na wejściu bezstratnej linii o długości l=15 cm,
przy częstotliwości sygnału f=250 MHz?
21 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Przy f=250 MHz długość fali wynosi =1.2m. Stąd:
l/=0.125. Punkt odpowiadajÄ…cy współczynnikowi “2
przesuwamy po łuku o środku leżącym w środku
wykresu Smith a. Długość łuku wynosi l/=0.125.
Ostatecznie z wykresu Smith a odczytujemy:
# jÅ"(-180o )
“2 = 0.6 Å" e (33)
22 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Jaka będzie, w tych warunkach, impedancja wejściowa
tej linii?
Z wykresu Smith a odczytujemy:
#
zwe = 0.28 + j Å" 0 (34)
#
Po pomnożeniu zwe przez Z0=75&! mamy:
#
Zwe = 21 [&!] (35)
23 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Przykład 3:
Unormowana impedancja wejściowa bezstratnej linii
zakończonej zwarciem, przy l/=0.125 wynosi:
zz = 0 + j Å"1 (36)
Unormowana impedancja wejściowa bezstratnej linii
rozwartej na końcu, przy l/=0.125 wynosi:
zr = 0 - j Å"1 (37)
24 AKR
Temat:
METODY I UKA
ADY DOPASOWANIA IMPEDANCJI
WYKRES SMITH A
AKR
Unormowana admitancja wejściowa bezstratnej linii
zakończonej zwarciem, przy l/=0.125 wynosi:
yz = 0 - j Å"1 (38)
Unormowana admitancja wejściowa bezstratnej linii
rozwartej na końcu, przy l/=0.125 wynosi:
yr = 0 + j Å"1 (39)
25 AKR