9 10 Ł
0
Nazwisko
Imię
Indeks
ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr 5, 8.11.2011, godz. 10.15-11.00
Wykład: J. Wróblewski
PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW
Zadanie 9. (5 punktów)
W każdym z ośmiu poniższych zadań podaj wartość granicy (liczba rzeczywista) lub
granicy niewłaściwej (+" lub -").
Wpisz literkę R, jeśli granica nie istnieje (tzn. gdy ciąg występujący pod znakiem
granicy jest rozbieżny, ale nie jest to rozbieżność do +" ani do -").
Za udzielenie poprawnych odpowiedzi w n zadaniach otrzymasz max(0, n-3) punk-
tów.
2n2 +3
2
9.1 lim =
n"
5
5n2 +7
2n +3
9.2 lim = 0
n"
5n +7
"
4n2 +9
9.3 lim = 0
n"
25n2 +49
"
4�9n +25
2
9.4 lim =
n"
25
25�3n +49
4+7n
7
9.5 lim =
n"
5
2+5n

4+7n 1
7
9.6 lim + =
n"
5
2+5n n
�ł �ł
4+7n n2 +1
�ł łł
9.7 lim + = +"
n"
2+5n n

4+7n
9.8 lim +(-1)n = R
n"
2+5n
Zadanie 10. (5 punktów)
Wskazać liczbę naturalną k, dla której granica
"
n14 +9n9 +1-n7
lim
n"
nk
istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej
liczbie k.
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów przepisujemy występujące pod znakiem gra-
nicy wyrażenie w postaci niezawierającej w liczniku różnicy wyrażeń zbliżonej wielkości,
a następnie dzielimy licznik i mianownik przez n9:
"
n14 +9n9 +1-n7 9n9 +1

lim = lim =
"
n" n"
nk
nk � n14 +9n9 +1+n7
9+n-9

= lim " .
n"
nk-2 � 1+9n-5 +n-14 +1
Dla k = 2 otrzymujemy
9+n-9 9+0 9
" "
lim = = .
n"
2
1+9n-5 +n-14 +1 1+0+0+1
Odpowiedz
: Przy k = 2 granica jest równa 9/2.
Uwaga: Liczba k = 2 jest jedyną liczbą spełniającą warunki zadania. Jednak zgodnie
z poleceniem wystarczyło wskazać k, bez konieczności uzasadnienia, że takie k jest tylko
jedno.