Część zadaniowa
Zadanie 1 Ile można utworzyć liczb parzystych siedmiocyfrowych takich, że cyfra zero nie
występuje na pierwszym miejscu oraz cyfry w danej liczbie się nie powtarzają (2 punkty).
Zadanie 2 Kanałem łączności nadaje się tylko 3 rodzaje ciągów liter: AAAA, BBBB, CCCC
odpowiednio z prawdopodobieństwami 0.4, 0.3 i 0.3. Litery te (sygnały) podlegają niezależ-
nie losowym zakłóceniom (przekłamaniom) w rezultacie czego np. litera A może być odebra-
na jako B albo C (zamiast A). Prawdopodobieństwa poprawnego przesłania albo przekłama-
nia podaje tablica.
Sygnały nadane Sygnały odebrane
A B C
A 0.8 0.1 0.1
B 0.1 0.8 0.1
C 0.1 0.1 0.8
a) znalez
ć prawdopodobieństwo odebrania na wyjściu sygnału AAAA (2 punkty),
b) na wyjściu odebrano sygnał ACAA, oblicza prawdopodobieństwo, że został nadany
jako AAAA (2 punkty).
Zadanie 3 Dobrać tak stałą C by funkcja
C
ńł
dla x <1
�ł
p x =
( )
�ł 1- x2
�ł0 poza tym
ół
była gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X (1 punkt), a następnie: a) wyznaczyć
jej dystrybuantę (2 punkty), b) obliczyć P 0 d" X < 1/ 4 (2 punkty), c) obliczyć wartość
( )
średnią (2 punkt), d) wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y jeśli Y = X5 (3 punkty)
Zadanie 4 Dany jest rozkład zmiennej losowej (X, Y) w postaci tabeli
X
2 3 4
1 1/6 1/6 1/6
Y 2 0 1/6 0
3 1/6 0 1/6
a) obliczyć dystrybuantę (2 punkty) b) znalez
ć rozkłady brzegowe (1 punkt) c) sprawdzić nie-
zależność zmiennych losowych X Y (1 punkt)
Część teoretyczna (na oddzielnej kartce)
1. Podaj i opisz twierdzenie Bayesa (3p)
2. Podaj definicję i wymień właściwości dystrybuanty zmiennej losowej (5p)
3. Podaj częstościową definicję prawdopodobieństwa (2p)