Podstawy konstrukcji żelbetowych
1
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Curiosita
Nienasycona ciekawość życia
i nieugaszone pragnienie ciągłej nauki.
Leonardo da Vinci
Podstawy konstrukcji żelbetowych
Materiały pomocnicze do zajęć z  Konstrukcji betonowych 1 i  Konstrukcji żelbetowych
dla studentów studiów stacjonarnych (dziennych) i niestacjonarnych (zaocznych)
Drogi Czytelniku,
Przekazuję w Twoje ręce materiały pomocnicze obejmujące swoim zakresem podstawowe wiadomości na temat:
- właściwości mechanicznych betonu i stali, oraz ich współpracy,
- teorii żelbetu,
- projektowania zginanych, ściskanych i rozciąganych przekrojów żelbetowych,
- projektowania stref przypodporowych belek żelbetowych,
- stanów granicznych użytkowalności.
Oprócz podstawowych wiadomości teoretycznych zamieściłam w nich także przykłady obliczeniowe, które mam nadzieję
pomogą Ci wdrożyć się w trudną sztukę projektowania bezpiecznych konstrukcji żelbetowych. Materiały dostosowane
są do postanowień aktualnej normy PN -� EN 1992 -�1-�1: 2008 .
Pomimo moich starań na pewno znajdziesz Czytelniku w nich niejasności, niedopatrzenia, błędy czy braki potrzebnego
materiału do zrozumienia pracy przekroju żelbetowego. Pragnę z góry Cię przeprosić za te usterki i będę wdzięczna za
wszystkie uwagi na ten temat przesłane na adres [e-mail] . Pozwoli mi to w przyszłości ulepszyć materiały.
Z wdzięcznością przyjmę także wszelkie sugestie co Twoim zdaniem byłoby pomocne w nauce projektowania konstrukcji
żelbetowych.
Maria Włodarczyk
Podstawy konstrukcji żelbetowych
Materiały pomocnicze do zajęć z  Konstrukcji betonowych 1 i  Konstrukcji żelbetowych
dla studentów studiów stacjonarnych (dziennych) i niestacjonarnych (zaocznych)
WYMIAROWANIE NA ŚCINANIE WEDA
UG PN-EN 1992-1-1:2008 (Eurokod 2)
Wymiarowanie na ścinanie według Eurokodu 2 opiera się na modelu kratownicowym. W modelu tym
zakłada się, że na odcinku strefy przypodporowej, na skutek jednoczesnego działania siły poprzecznej
i momentu zginającego powstają rysy pionowe i ukośne. Rysy pionowe powstają w początkowej fazie
i wywołane są działaniem momentu zginającego. Natomiast rysy ukośne są skutkiem działania siły
poprzecznej, która wywołuje ukośne główne naprężenia rozciągające (Rys. 1). Taki typ morfologii rys
nawiązuje do układu sił w strefie przypodporowej zaproponowanego przez M�rscha (Rys. 2). M�rsch przyjął
jako model kratownicę statycznie wyznaczalną składająca się z pasa ściskanego przenoszącego wypadkową
naprężeń ściskających Fc, pasa rozciąganego przenoszącego wypadkową naprężeń rozciągających Ft oraz
ściskanych krzyżulców betonowych C, nachylonych do osi elementu pod kątem 45o, rozciąganych
Podstawy konstrukcji żelbetowych
2
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
krzyżulców T odpowiadającym prętom zbrojeniowym projektowanym ze względu na ścinanie i nachylonych
do osi elementu pod kątem 45o.
Rys. 1. Naprężenia główne w belce strefie przypodporowej: a) kierunki naprężeń głównych, b) rysy ukośne jako efekt
głównych naprężeń rozciągających.
Rys. 2. Model analogii kratownicowej M�rscha.
I. ZA
AŻENIA
1. Zakłada się, że element żelbetowy składa się ze strefy ściskanej, strefy rozciąganej (zbrojenia
podłużnego) i strefy ścinania, położonej pomiędzy wypadkowymi sił Fcd i Ftd w strefach ściskanej
i rozciąganej (Rys. 3).
Rys. 3. Ścinanie odcinka belki, schemat rozkładu sił.
2. Strefa ścinania składa się ze ściskanych krzyżulców betonowych nachylonych pod kątem q� do osi
elementu i z rozciąganego zbrojenia poprzecznego rozmieszczonego w płaszczyznach o rozstawie s ,
nachylonego pod kątem a� do osi elementu.
3. Kat nachylenia zbrojenia poprzecznego a� =� 45o  zbrojenie ukośne lub a� =� 90o  zbrojenie pionowe.
(Dla strzemion pionowych cota� =� 0 .)
4. Kat nachylenia krzyżulców betonowych q� można dobierać dowolnie z przedziału:
1,0 Ł� cotq� Ł� 2,5 zgodnie z PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2),
1,0 Ł� cotq� Ł� 2,0 zgodnie z załącznikiem krajowym NA do PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2).
5. Wysokość strefy ścinania jest równa ramieniu sił wywnętrzanych, której wartość przybliżoną można
przyjmować:
z =� 0,9d . (1)
Jeżeli nie korzysta się z uproszczenia, to należy przyjmować najmniejsze ramię sił wewnętrznych na
rozpatrywanym odcinku, obliczane z pominięciem wpływu ukośnego zbrojenia na ścinanie.
6. Naprężenia s� w krzyżulcach betonowych nie powinny przekraczać wartości fcd .
c
Podstawy konstrukcji żelbetowych
3
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
7. Naprężenia s� w zbrojeniu poprzecznym nie powinny przekraczać obliczeniowej granicy plastyczności
sw
tego zbrojenia f .
ywd
8. Stan graniczny nośności jest osiągnięty kiedy s�c =�fcd lub s� =� f .
sw ywd
II. OGÓLNE ZASADY SPRAWDZANIA NOŚNOŚCI NA ŚCINANIE
1. Przy sprawdzeniu nośności przekroju żelbetowego na ścinanie wykorzystujemy następujące wartości:
VEd  obliczeniowa siła poprzeczna od obciążeń zewnętrznych,
VRd,c  obliczeniowa siła poprzeczna przenoszona przez element bez zbrojenia na ścinanie,
VRd,s  obliczeniowa siła poprzeczna przenoszona przez zbrojenia na ścinanie,
VRd,max  obliczeniowa siła poprzeczna wywołująca w zastrzałach betonowych kratownicy stan
graniczny nośności. Siła ta jest ograniczona przez zmiażdżenie ściskanych krzyżulców
betonowych.
2. W strefie ścinania, gdzie obliczeniowe wartości sił ścinających spełniają warunek VEd Ł� VRd ,c , nie jest
konieczne obliczeniowe zbrojenie na ścinanie.
3. W przypadku, gdy nie jest konieczne obliczeniowe zbrojenie na ścianie należy wówczas zastosować
poprzeczne zbrojenie minimalne. Minimalne zbrojenie poprzeczne może być zaniechane w płytach
pełnych i wielootworowych lub żebrowych oraz w elementach drugorzędnych, które nie wpływają
w istotny sposób na ogólną nośność i stateczność konstrukcji (np.: nadproża o rozpiętości Ł� 2 m).
4. W przypadku zmiennej wysokości strefy przypodporowej (Rys. 4) lub nachylonego cięgna sprężającego,
składowe pionowe wynikające z nachylenia sił rozciągających lub ściskających w pasach powinny być
uwzględnione przy obliczaniu nośności ścinania:
VRd =�VRd ,s +�Vccd +�Vtd , (2)
w którym:
Vccd  obliczeniowa wartość składowej siły ścinającej wywołana nachyleniem pasa ściskanego,
Vtd  obliczeniowa wartość składowej siły ścinającej wywołana nachyleniem pasa rozciąganego.
Rys. 4. Składowe poprzeczne w elementach z nachylonymi pasami.
5. W strefie ścinania, gdzie obliczeniowe wartości sił ścinających spełniają warunek VEd >�VRd ,c ,należy
zastosować zbrojenie na ścianie wystarczające do spełnienia warunku VEd Ł�VRd .
6. W żadnym przekroju suma obliczeniowej siły poprzecznej i składowych poprzecznych sił w półkach
VEd -�Vccd -�Vtd nie powinna przekraczać maksymalnej siły granicznej VRd ,max .
7. Rozciągane zbrojenie podłużne powinno być zdolne do przeniesienia dodatkowej siły rozciągającej
wywołanej ścinaniem.
8. Zgodnie z zaleceniami PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) przy wymiarowaniu zbrojenia na ścinanie, dla
których obciążenie równomiernie rozłożone jest obciążeniem dominującym, to nie wymaga się
sprawdzania obliczeniowej siły poprzecznej w przekrojach, które leżą bliżej niż d od lica podpory
(Rys. 5). Obliczeniową wartość siły ścinającej wyznaczmy dla przekroju położonego w odległości d od
krawędzi podpory. Wynika to stąd, że obciążenie pomiędzy tym przekrojem a podporą jest bezpośrednio
przekazywane poprzez ściskany beton na podporę, bez udziału zbrojenia. Tej redukcji nie uwzględnia
się przy sprawdzaniu maksymalnej nośności krzyżulca betonowego. Należy także sprawdzić, czy siła
poprzeczna na podporze nie przekracza wartości maksymalnej VRd ,max . Zbrojenie na ścinanie
rozmieszczamy zarówno na rozpatrywanym odcinku ścinania jak i na odcinku przypodporowym
(odcinek pomiędzy licem podpory a odległością d) bez zmiany intensywności.
Podstawy konstrukcji żelbetowych
4
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
W innych przypadkach za VEd należy przyjmować największą co do wartości, co do wartości
bezwzględnej, obliczeniową siłę poprzeczną na rozpatrywanym odcinku.
Uwaga: Jeżeli przy sprawdzaniu warunków VEd Ł� VRd ,c i VEd Ł�VRd na rozpatrywanym odcinku
przypodporowym wez
miemy maksymalną, co do wartości bezwzględnej, siłę wyznaczoną w miejscu
teoretycznego punktu podparcia, lub na krawędzi podpory, nie popełnimy większego błędu bo
będziemy po stronie bezpiecznej.
Rys. 5. Obliczeniowa siła ścinająca w odległości d od podpory.
9. W obszarach, w których VEd zmienia się w sposób ciągły (np.: przy obciążeniu równomiernie
rozłożonym), zbrojenie na ścinanie na każdym przyroście długości l =� z cotq� można obliczać na
podstawie najmniejszej wartości VEd na tym przyroście (Rys. 6).
VEd
VEd VRd,c
z cotq�
z cotq�
Rys. 6. Sposób przyjmowania siły VEd dla kolejnych odcinków zcotq�.
10. Minimalna długość odcinka, na którym należy zastosować zbrojenie ze względu na siły poprzeczne
wynosi z cotq� .
11. Jeżeli obciążenie przyłożone jest blisko dolnej części przekroju, to oprócz zbrojenia na ścinanie należy
zastosować zbrojenie pionowe wystarczające do przeniesienia obciążenia na górną część przekroju.
12. W przypadku gdy obciążenie skupione działa na odcinku 0,5d Ł� av Ł� 2d od krawędzi podpory
(Rys. 7), to część tego obciążenia jest przekazywana na podporę przez ukośny krzyżulec i w tej sytuacji
tylko część obciążenia ( b�VEd ) pochodzącego od siły skupionej przenoszone jest przez zbrojenie
poprzeczne. Zmniejszenie można stosować tylko wtedy, gdy zbrojenie podłużne jest w pełni zakotwione
w podporze. Jeżeli av <� 0,5d , to należy przyjąć av =� 0,5d . Współczynnik b� należy przyjąć według
wzoru:
av
b� =� . (3)
2d
a) b)
Rys. 7. Obciążenie skupione w pobliżu podpory: a) belka swobodnie podparta, b) wspornik.
13. Projektując zbrojenie podłużne obszaru zarysowanego na skutek zginania należy linię M przesunąć
Ed
w kierunku niekorzystnym o odcinek al =� d .
Podstawy konstrukcji żelbetowych
5
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
III. ZBROJENIE NA ŚCINANIE
1. Elementy nie wymagające zbrojenia na ścinanie
1.1. Stan graniczny nośności przekrojów elementów ścinanych, nie wymagających obliczeniowo zbrojenia
na ścianie, sprawdza się z warunku:
VEd Ł� VRd ,c , (4)
1.2. Obliczeniową nośność przekroju na ścinanie VRd ,c elementu bez zbrojenia na ścinanie wyznacza się ze
wzoru:
1
��c
VRd ,c =� k (�100r�l fck )�3 +� k1s�cp ł� bwd , (5)
Rd ,c
ę� ś�
�� ��
lecz nie mniej niż:
VRd ,c =� (�min +� k1s�cp)� bwd (6)
w których: d  wysokość użyteczna przekroju,
bw  najmniejsza szerokość strefy ścinania według rysunku 8,
Rys.8. Szerokość strefy ścinania  oznaczenia.
Uwaga: Norma PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) zaleca aby we wzorach (5) i (6) wymiary przekroju
poprzecznego bw i d przyjmować w [mm]. Jednak przyjmując te wartości w [m] nie popełnimy błędu
obliczeniowego. Wstawiając do wzoru (5) i (6) wartości w [mm] wartość siły VRd,c otrzymujemy w [N],
natomiast przy przyjęciu bw i d w [m] wartość siły VRd,c otrzymujemy w [MN]. Przy sprawdzaniu warunku
nośności przekroju należy pamiętać o zgodności jednostek.
fck  wytrzymałość charakterystyczna betonu na ściskanie w [MPa],
k  współczynnik wyznaczany z zależności (7):
200
k =�1+� Ł� 2,0 , (7)
d
we wzorze (7) wartość d przyjmowana jest w [mm],
r�l  stopień zbrojenia podłużnego:
Asl
r�l =� Ł� 0,02
, (8)
bw d
gdzie: Asl  pole przekroju prętów głównego zbrojenia rozciąganego, mającego długość nie
mniejszą niż d +� lbd poza rozpatrywanym przekrojem elementu (Rys. 9),
lbd  obliczeniowa długość zakotwienia prętów zbrojeniowych podłużnych,
Rys. 9. Zasady definiowania podłużnego zbrojenia rozciąganego Asl elementów poddanych ścinaniu.
s�cp  naprężenie normalne w przekroju elementu:
Podstawy konstrukcji żelbetowych
6
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
NEd
(9)
�cp =� Ł� 0,2 fcd
Ac
gdzie: NEd  siła podłużna wywołana obciążeniem obliczeniowym lub sprężeniem (dodatnia przy
ściskaniu). Wpływ obciążeń wymuszonych na można pominąć,
NEd
Ac  całkowite pole przekroju betonu,
fcd  wytrzymałość obliczeniowa betonu na ściskanie w [MPa].
cRd,c  wartością zalecaną współczynnika jest wartość wyznaczona ze wzoru:
0,18
(10)
cRd ,c =�
g�
c
g�c  współczynnik bezpieczeństwa dla betonu,
k1  wartością zalecaną współczynnika jest k1 =� 0,15
,
min  wartością zalecaną współczynnika jest wartość wyznaczona ze wzoru:
3 1
2 2
=� 0,035k fck . (11)
min
1.3. Jeżeli obciążenie skupione działa na odcinku 0,5d Ł� av Ł� 2d od krawędzi podpory (Rys. 7), to udział
tego obciążenia w sile poprzecznej VEd można pomnożyć przez b� (3). Zmniejszenie to można
stosować przy sprawdzaniu siły VRd ,c opisanej wzorem (5).
1.4. Siła poprzeczna bez zmniejszania za pomocą współczynnika b�, powinna spełniać warunek:
VEd Ł� 0,5 fcdbwd (12)
w którym:  współczynnik redukcji wytrzymałości betonu zarysowanego przy ścinaniu.
Wartość zalecana współczynnika efektywności wynika ze wzoru:
fck
��
=� 0,6ć�1-� , [�fck w MPa]�. (13)
�� ��
250ł�
Ł�
2. Elementy wymagające zbrojenia na ścinanie
2.1. Jeżeli na jakimś odcinku elementu żelbetowego nie jest spełniony warunek (4) stanów granicznych
nośności to należy zastosować na tym odcinku, wymagane obliczeniowo, zbrojenie poprzeczne
(strzemiona, pręty odgięte lub strzemiona ukośne). W belkach strzemiona ukośne lub pręty odgięte
mogą być uwzględnione jako zbrojenie na ścinanie tylko wtedy, gdy strzemiona pionowe przenoszą co
najmniej 50% siły VEd .
2.2. Stan graniczny nośności przekrojów elementów ścinanych, wymagających obliczeniowo zbrojenia na
ścinanie, sprawdza się z następujących warunków:
VEd Ł�VRd ,s , (14)
VEd Ł�VRd ,max , (15)
gdzie: VRd,s  obliczeniowa siła poprzeczna przenoszona przez zbrojenia na ścinanie,
VRd,max  obliczeniowa siła poprzeczna wywołująca w zastrzałach betonowych kratownicy stan
graniczny nośności. Siła ta jest ograniczona przez zmiażdżenie ściskanych krzyżulców
betonowych.
2.3. Obliczeniowe nośności przekroju na ścinanie z uwagi na zmiażdżenie ściskanych krzyżulców
betonowych VRd ,max i z uwagi na zbrojenie poprzeczne VRd ,s określa się ze wzorów:
- jeżeli zbrojenie na ścinanie składa się wyłącznie ze strzemion prostopadłych do osi belki (tzn. gdy nie
stosuje się prętów odgiętych lub strzemion ukośnych, lub pomija się wpływ tych prętów):
a�cwbwz1 fcd
VRd ,max =� , (16)
cotq� +� tanq�
Asw fywd
VRd ,s =� z cotq� . (17)
s
Podstawy konstrukcji żelbetowych
7
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Maksymalne efektywne pole przekroju zbrojenia na ścinanie Asw,max przy cotq� =�1,0 określa wzór:
Asw,max fywd 1
Ł� a�cw1 fcd (18)
bws 2
- jeżeli zbrojenie na ścinanie składa się ze zbrojenia ukośnego (pręty odgięte lub strzemiona ukośne) to
nośności VRd ,max i VRd ,s oblicza się ze wzorów:
cotq� +� cota�
VRd ,max =� a�cwbwz1 fcd , (19)
1+� cot2 q�
Asw fywd
VRd ,s =� z(�cotq� +� cota�)�sin a� , (20)
s
Maksymalne efektywne pole przekroju zbrojenia na ścinanie Asw,max przy cotq� =�1,0 określa wzór:
Asw,max f
1 a�cw1 fcd
ywd
Ł� (21)
bws 2 sin a�
Uwaga: W przypadku stosowaniu zbrojenia na ścinanie w postaci strzemion pionowych i zbrojenia
ukośnego (pręty odgięte, strzemiona ukośne) w celu rozróżnienie zbrojenia dla zbrojenia pionowego przyjęto
indeks  1 a dla zbrojenia ukośnego   2 .
- jeżeli w przedziale 0,5d Ł� av Ł� 2,0d obciążenie jest przyłożone do górnej krawędzi elementu (Rys. 7)
to udział tego obciążenia w sile poprzecznej VEd można zmniejszyć, mnożąc przez współczynnik b�
(3). Obliczona w ten sposób siła poprzeczna VEd powinna spełniać warunek:
VEd Ł� Asw fywd sina� , (22)
w którym Asw fywd jest nośnością zbrojenia przecinającego rysę od ścinania między obciążonymi
obszarami (Rys. 10). Pod uwagę można brać tylko zbrojenie na ścinanie leżące w granicach
centralnego odcinka o długości 0,75av . Zmniejszenie VEd za pomocą współczynnika b� można
stosować tylko przy obliczaniu zbrojenia na ścinanie.
Rys. 10. Zbrojenie na ścinanie przy bezpośrednim przekazywaniu obciążenia przez ściskany krzyżulec betonowy.
Oznaczenia we wzorach od (14) do (22):
1  współczynnik redukcji wytrzymałości betonu zarysowanego przy ścinaniu, wartością zalecaną 1 jest
wartość wyznaczona ze wzoru (13),
Jeżeli naprężenie obliczeniowe w zbrojeniu na ścinanie jest mniejsze niż 80% charakterystycznej granicy
plastyczności 1 to wartość 1 można przyjąć jako równą:
1 =� 0,6 dla fck Ł� 60 MPa (23)
fck
1 =� 0,9 -� ł� 0,5 dla fck >� 60 MPa (24)
200
Uwaga: Jeżeli do wyznaczenia wartości współczynnika 1 stosujemy wzory (23) lub (24) to we wzorze (17)
wartość fywd należy zmniejszyć do 0,8 fywd .
a�cw  współczynnik zależny od stanu naprężenia w pasie ściskanym,
Zalecana wartość współczynnika a�cw wynosi:
Podstawy konstrukcji żelbetowych
8
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
a�cw =�1,0 dla konstrukcji niesprężonych, (25)
s�cp
a�cw =�1+� dla 0 <�s�cp Ł� 0,25fcd , (26)
fcd
a�cw =�1,25 dla 0,25fcd <�s�cp Ł� 0,5 fcd , (27)
s�cp
ć� ��
�� ��
a�cw =�1,5��1-� dla 0,5 fcd <� s�cp Ł� fcd , (28)
fcd ��
Ł� ł�
w których s�cp oznacza średnie naprężenie ściskające (ze znakiem plus) w betonie wywołane obliczeniowa
siłą podłużną. W przekroju żelbetowym obliczane z uwzględnieniem zbrojenia. Nie uwzględniamy wpływu
s�cp w przekrojach leżących bliżej krawędzi podpory niż 0,5d cotq� .
Asw1  pole przekroju poprzecznego prętów tworzących jedno strzemię prostopadłe do osi elementu (np.:
pole czterech prętów f� 6 a w przypadku strzemion podwójnych pole dwóch prętów f� 6 ),
f  obliczeniowa granica plastyczności strzemion prostopadłych do osi elementu,
ywd1
s1  rozstaw strzemion prostopadłych do osi elementu,
Asw2  pole przekroju poprzecznego ukośnych strzemion lub prętów odgiętych tworzących jedną
płaszczyznę odgięć,
s2  średni rozstaw płaszczyzn odgięć lub strzemion ukośnych mierzony wzdłuż osi belki,
f  obliczeniowa granica plastyczności zbrojenia Asw2 ,
ywd 2
a�  kąt nachylenia prętów odgiętych lub ukośnych strzemion,
q�  kąt nachylenia ściskanego krzyżulca betonowego.
s2 s2
VEd
a�
q� MEd
d h
ściskany
NEd
krzyżulec betonowy
s1 s1 a1
z cotq�
Rys. 11. Podstawowe oznaczenia wykorzystane we wzorach od (14) do (22).
2.4. Zbrojenie podłużne w każdym przekroju poprzecznym elementu powinno być zdolne do przeniesienia
sumarycznej siły rozciągającej Ftd obliczonej z uwzględnieniem siły poprzecznej D�Ftd . Wpływ siły
poprzecznej na wzrost siły rozciągającej w zbrojeniu podłużnym określa się według wzoru:
D�Ftd =� 0,5VEd (�cot � -� cotą)� (29)
Na długości elementu, gdzie moment zginający nie zmienia znaku, sumaryczna siła rozciągająca w zbrojeniu
podłużnym Ftd nie może przybierać większej wartości niż wartość bezwzględna maksymalnej siły
rozciągającej wywołanej działaniem momentu zginającego i siły podłużnej.
Siłę Ftd wyznaczamy z zależności:
MEd ,max
M
Ed
Ftd =� +� D�Ftd Ł� , (30)
z z
gdzie: M  wartość momentu w rozpatrywanym przekroju ścinania,
Ed
MEd ,max  wartość maksymalna momentu na długości belki,
z  ramię sił wewnętrznych.
z
= 0,9
d
Podstawy konstrukcji żelbetowych
9
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
W elementach ze zbrojeniem na ścinanie wpływ siły poprzecznej oblicza się ze wzoru (29), lub poprzez
poszerzenie wykresu sił o odcinek al przyjmując:
al =� 0,5 z (�cot� -� cotą)� (31)
W elementach bez zbrojenia na ścinanie wpływ siły poprzecznej można uwzględniać poszerzając wykres sił
o odcinek al =� d .
Sporządzając obwiednie nośności prętów zbrojenia podłużnego można przyjąć, że siła w nich przyrasta
liniowo na długości zakotwienia lbd .
M
Ed
A  obwiednia siły +� NEd ,
z
B  siła rozciągająca w zbrojeniu Fs ,
C
 nośność prętów zbrojenia podłużnego na rozciąganie FRs ,
Rys. 12. Kształtowanie zbrojenia podłużnego w elementach zginanych z uwzględnieniem wpływu ścinania i narastania
nośności zbrojenia na długości zakotwienia.
Zakłada się, że na odcinkach, gdzie kotwione są pręty zbrojenia podłużnego, siła w zbrojeniu zmienia się
liniowo (Rys. 12) Pominięcie tych odcinków w nośności zbrojenia przyjmuje się jako bezpieczne
uproszczenie.
Długość zakotwienia prętów odgiętych, które przyczyniają się do wzrostu nośności na ścinanie, powinna być
nie mniejsza niż 1,3lbd w strefie rozciąganej i 0,7lbd w strefie ściskanej. Długość tę odmierza się od punktu
przecięcia osi pręta odgiętego i zbrojenia podłużnego.
2.5. Stopień zbrojenia na ścinanie r�w oblicza się ze wzoru:
Asw
r�w =� (32)
sbw sin a�
w którym: Asw  pole przekroju zbrojenia na ścinanie przypadającym na odcinek o długości s ,
s  rozstaw zbrojenia na ścianie mierzony wzdłuż osi podłużnej elementu,
bw  szerokość strefy ścinania elementu,
a�  kąt nachylenia do poziomu prętów odgiętych lub strzemion ukośnych.
Stopień zbrojenia na ścinanie obliczony z (32) nie może być mniejszy od wartości minimalnej wyznaczanej
z poniższego wzoru:
0,08 fck
�w,min =� (33)
fyk
Podstawy konstrukcji żelbetowych
10
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
3. Ścinanie pomiędzy środnikiem a półką
Według PN-EN 1992-1-1:2008 nośność półki na ścianie można obliczać, rozpatrując półkę jako zespół
krzyżulców ściskanych i prętów rozciąganych reprezentowanych przez zbrojenie rozciągane. Stan graniczny
może być osiągnięty przez ściskanie w krzyżulcach betonowych lub poprzez rozciąganie w zbrojeniu
zapewniającym połączenie półki ze środnikiem. Minimalna ilość zbrojenia podłużnego jak i zbrojenia na
styku półki i środnika powinna odpowiadać zaleceniom konstrukcyjnym.
W przekrojach teowych, gdy półka jest ściskana, oś obojętna przechodzi najczęściej niedaleko dolnej
krawędzi tej płyty i naprężenia ścinające mają w półce dość dużą wartość. Ponieważ ścinanie wynika ze
zmiany naprężeń (momentów), podłużne naprężenia styczne w płaszczyz
nie styku między jedną stroną półki
i środnikiem jest równe zmianie siły normalnej (podłużnej) na długości rozpatrywanej części półki i oblicza
się ze wzoru:
"Fd
vEd =� , (34)
hf "x
gdzie: D�Fd  zmiana siły podłużnej w półce po jednej stronie środnika na długości odcina D�x ,
gdy półka jest ściskana i xeff <� hf to:
D�Fd =� fcd xeff 0,5(�beff -� bw)�, (35)
gdy półka jest ściskana i xeff ł� hf to:
D�Fd =� fcdhf 0,5(�beff -� bw)�, (36)
gdy półka jest rozciągana to:
D�Fd =� f As , (37)
yd
w którym: As  pole powierzchni zbrojenia znajdującego się w półce po jednej stronie środnika,
D�x  długość rozpatrywanego odcinaka.
Długość odcinka D�x przyjmuje się nie większą niż:
- połowa odległości między przekrojami M =� 0 oraz M =� Mmax ,
- odległość między siłami skupionymi.
A
Krzyżulce ściskane
Zakotwienie zbrojenia podłużnego
B
A-A  rozpatrywany przekrój
Rys. 13. Oznaczenia dotyczące połączenia półki ze środnikiem.
Siła ta jest przenoszona w przyjętym modelu przez ściskane krzyżulce betonowe i rozciągane cięgna stalowe.
W belkach teowych role tych cięgien spełniają zwykle strzemiona znajdujące się w półce, a w stropach
płytowo-belkowych  zbrojenie płyty nad belką.
Nośność krzyżulców betonowych sprawdza się z warunku:
vEd Ł�fcd sinq� cosq� , (38)
f f
drugi warunek dotyczy rozciągania zbrojenia poprzecznego na jednostkę długości Asf s i ma postać:
f
Asf hf
Ed
f ł� , (39)
yd
s cot�
f f
Podstawy konstrukcji żelbetowych
11
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
w których: Asf  pole przekroju prętów zbrojenia poprzecznego w półce na grubości hf ,
s  rozstaw prętów zbrojenia Asf ,
f
hf  grubość półki,
q�  kąt nachylenia ściskanego krzyżulca betonowego w półce,
f
 współczynnik należy wyznaczać zgodnie ze wzorem (13).
Wartość kąta q� przyjmuje się:
f
- dla półki ściskanej 1,0 Ł� cotq� Ł� 2,0 ,
f
- dla półki rozciąganej 1,0 Ł� cotq� Ł� 1,25.
f
Praktycznie wzór (39) służy do wyznaczenia niezbędnego zbrojenia (strzemion) w półce belki. Najczęściej
rozstaw strzemion s i ich powierzchnia Asf są takie same jak wyliczone dla środnika ze względu na
f
ścinanie.
Jeżeli ścinanie między półką i środnikiem występuje jednocześnie z poprzecznym zginaniem to za pole
zbrojenia poprzecznego należy przyjąć pole większe niż:
- pole obliczone ze wzoru (38),
- pole wymagane ze względu na zginanie plus płowa pola wyznaczonego ze wzoru (38).
Jeżeli naprężenie vEd spełnia warunek (40), to zbrojenie dodatkowe, poza zbrojeniem koniecznym ze
względu na zginanie, nie jest konieczne. W przeciwnym przypadku należy wyznaczyć zbrojnie dodatkowe.
vEd Ł� kfctd , (40)
w którym k =� 0,4 i jest wartością zalecaną.
Podłużne, rozciągane zbrojenie półki powinno być zakotwione poza ściskanym krzyżulcem betonowym,
niezbędnym do przeniesienia siły z powrotem do środnika, w przekroju, w którym zbrojenie to jest
konieczne (Rys. 13., przekrój A-A).
4. Wymagania konstrukcyjne dotyczące zbrojenia na ścinanie
4.1. Zbrojenie na ścinanie
Zbrojenie na ścianie może być kombinacją strzemion obejmujących zbrojenie podłużne w strefie ściskanej
i rozciąganej (Rys. 14), z prętów odgiętych odpowiednio zakotwionych w ściskanej i rozciąganej strefie
elementu, oraz zbrojenia dodatkowego. Zbrojenie dodatkowe może mieć kształt koszy, drabinek, strzemion
otwartych itp. I nie musi obejmować podłużnego zbrojenia rozciąganego, jednak powinno być dobrze
zakotwione zarówno w strefie ściskanej jak i rozciąganej betonu.
Rys. 14. Przykładowe zbrojenie na ścinanie. A  strzemiona wewnętrzne, B  strzemiona zamykające.
Uwaga. Stosowanie dodatkowego zbrojenia w postaci strzemion otwartych, koszy czy drabinek budzi pewne
obawy ze względu na możliwość wystąpienia zbyt słabego ich zakotwienia. Proponuje się, by
w obliczeniach uwzględniać jedynie 70% powierzchni przekroju poprzecznego tego zbrojenia.
Strzemiona powinny być zakotwione efektywnie. A
ączenie strzemion na zakład w pobliżu bocznej
powierzchni jest dopuszczalne pod warunkiem, że strzemiona nie są potrzebne ze względu na skręcanie.
Podstawy konstrukcji żelbetowych
12
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
4.2. Strzemiona
Norma PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) nie definiuje i minimalnej i maksymalnej średnicy prętów
zbrojeniowych za stosowanych na strzemiona. Ze względów wykonawczych (konieczność stosowania
kilkukrotnych odgięć) wydaje się być uzasadniony fakt przyjęcia średnic strzemion od 4,5 do 12 mm.
Strzemiona oprócz przenoszenia głównych naprężeń rozciągających wywołanych ścinaniem powinny także
zapewnić odpowiednią sztywność szkieletu zbrojenia. Przy doborze minimalnej średnicy strzemion można
się więc wspomagać zaleceniami konstrukcyjnymi podanymi we wcześniejszych normach (PN-B-
03264:1999 i PN-B-03264:2002). Dla początkującego projektanta może to być swego rodzaju podpowiedz

przy doborze tych średnic. Według tych zaleceń średnica strzemion powinna być nie mniejsza niż:
4,5 mm - w belkach wykonywanych na miejscu budowy
��
f�w ł� ��3,0 mm - w belkach prefabryko , (41)
wanych
��
��0,2f�
��
gdzie f�  średnica zbrojenia podłużnego.
Maksymalny rozstaw strzemion w kierunku podłużnym i poprzecznym zestawiono w tablicy 1.
Tablica 1.
Maksymalny rozstaw strzemion smax .
W kierunku podłużnym
s Ł� sl,max =� 0,75d(�1+� cota�)�
(rozstaw strzemion na długości elementu)
0,75d
W kierunku poprzecznym ��
st,max Ł�
��
(rozstaw ramion strzemion)
��600 mm
Jeżeli w belce zastosowano pręty ściskane, potrzebne ze względów obliczeniowych, rozstaw strzemion
zamkniętych powinien być nie większy niż 20 średnic tego zbrojenia.
4.3. Pręty odgięte
Pręty odgięte uwzględniane w obliczeniach powinny być rozmieszczone w strefie przypodporowej tak aby
maksymalny podłużny rozstaw nie przekraczał wartości:
sb,max =� 0,6d(�1+� cota�)�. (42)
5. Tok wymiarowania ze względu na ścinanie elementów żelbetowych
5.1. Zbrojenie na ścinanie w postaci strzemion pionowych
Dane lub założone: VEd , M , NEd , fck , g� , fcd , fctk,0,05, fctd , f , f , bw , d1, h , h�1 , f�w .
Ed c yk yd
Szukane: Asw , s .
5.1.1. Obliczamy: d =� h -� d1 .
W przypadku gdy NEd ą� 0 , obliczamy również Ac .
5.1.2. Zakładamy: z =� 0,9d .
5.1.3. Wyznaczamy miarodajną wartość siły VEd na krawędzi podpory  VEd ,k i w odległości d od podpory
 VEd ,d .
5.1.4. Z (10) obliczamy wartość cEd ,c .
5.1.5. Z (7) obliczamy współczynnik k .
5.1.6. Z (8) obliczamy procent zbrojenia podłużnego r�l .
5.1.7. Z (9) obliczamy naprężenia normalne s� i przyjmujemy współczynnik k1 . Gdy NEd =� 0 to
cp
s�cp =� 0 .
5.1.8. Z (18) obliczamy .
min
5.1.9. Z (5) określamy nośność obliczeniową na ścianie ze względu na rozciąganie batonu, powstające przy
ścinaniu w elemencie nie mającym zbrojenia poprzecznego na ścianie i sprawdzamy czy jest ona
większa od wartości wyznaczonej z (6). Do dalszych obliczeń przyjmujemy wartość większą.
Podstawy konstrukcji żelbetowych
13
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
5.1.10. Jeżeli VEd Ł� VRd ,c nie zachodzi konieczność obliczania zbrojenia poprzecznego. Element zbroimy
zgodnie z zaleceniami PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2).
5.1.11. Jeżeli VEd >� VRd ,c to wówczas zachodzi konieczność obliczania zbrojenia poprzecznego.
Obliczenie zbrojenia
5.1.12. Wyznaczamy długość odcinka, na którym potrzebne jest obliczeniowo zbrojenie poprzeczne
(długość odcinka ścinania)  aw .
W przypadku obciążenia równomiernie rozłożonego (Rys. 15a) długość odcinka ścinania wyznaczamy
z zależności:
VEd - VRd ,c
aw =� . (43)
qd
Dla obciążenia w postaci sił skupionych długość odcinka ścinania aw jest równa odległości od podpory do
siły skupionej (Rys. 15b).
Minimalna długość odcinka ścinania wynosi: aw =� z cotq� .
a) b)
qd
Fd
Fd
A
B
leff
A B
a b
leff
VEd,A
aw VEd,A
VEd,c
VEd,c
VEd,a
aw
VEd,c
VEd,B
aw
VEd,B
VEd,b
Rys. 15. Długość odcina ścinania aw2 dla różnych sposobów obciążenia elementu:
a) obciążenie równomiernie rozłożone,
b) obciążenie siłami skupionymi.
Odcinek ścinania aw można podzielić na krótsze części (Rys. 6) i wykonać obliczenia każdej części
w zależności od występującej na niej miarodajnej siły VEd przyjmowanej do obliczeń. Części nie mogą być
jednak krótsze niż z cotq� .
Można też nie wyznaczać odcinka ścinania, tylko obliczać ścinanie dla odcinków równych z cotq� aż do
momentu gdy siła VEd osiągnie wartość VRd ,c (VEd =� VRd ,c ) licząc od podpory w kierunku przęsła.
Na odcinku bezpośrednio sąsiadującym podporą jako siłę miarodajną do obliczenia niezbędnej ilości
zbrojenia poprzecznego przyjmujemy wartość siły VEd wyznaczoną w odległości d od podpory. Na
pozostałych odcinkach przyjmujemy siłę maksymalną na rozpatrywanym odcinku.
5.1.13. Kąt nachylenia krzyżulców betonowych q� należy przyjmować zgodnie założeniem 4, str. 2.
5.1.14. Przyjmujemy:
- średnicę strzemion zgodnie z punktem 4.2,
- gatunek stali, z której zostaną wykonane strzemiona (�fyk fywd)�,
- liczbę ramion strzemion nw (strzemiona dwu , lub czteroramienne).
5.1.15. Obliczamy pole powierzchni jednego strzemienia:
p�f�2
Asw =� nw (44)
4
5.1.16. Ze wzoru (17) obliczamy rozstaw strzemion zakładając VRd ,s =� VEd :
Asw fywd
VRd ,s =� z cotq� =� VEd
s
Asw f
ywd
s =� z cotq� . (45)
VEd
Podstawy konstrukcji żelbetowych
14
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
gdzie: VEd jest miarodajną siłą potrzebną do obliczenia potrzebnej ilości zbrojenia poprzecznego.
Rozstaw strzemion przyjmujemy z zaokrągleniem do 10 mm w dół, pamiętając ponadto o warunkach
konstrukcyjnych kształtowania zbrojenia na ścinanie oraz o stopniu przyjętego zbrojenia na ścinanie tak by:
r�w ł� r�w,min (46)
gdzie: r�w,min  minimalny stopień zbrojenia na ścinanie (29).
5.1.17. Sprawdzenie z (18) warunku maksymalnego efektywnego pola przekroju zbrojenia na ścinanie przy
cotq� =�1,0.
5.1.18. Sprawdzenie ze względu na zmiażdżenie krzyżulców betonowych
VEd Ł� VRd ,max (47)
gdzie: VEd  siła poprzeczna przyjmowana do obliczeń,
VRd ,max  wartość siły wyznaczona z (16).
5.1.19. Sprawdzenie nośności zbrojenia podłużnego Ftd .
Ftd
Do przeniesienia tej siły potrzebne jest zbrojenia rozciągane As1d =� , zakotwione poza rozpatrywanym
f
yd
przekrojem zgodnie z rysunkiem 9. Jeżeli pole powierzchni zbrojenia rozciąganego w rozpatrywanym
przekroju jest mniejsze od As1d to należy przekrój dozbroić.
5.1.20. Określamy rozstaw strzemion na całej długości belki zgodnie z wykonanymi obliczeniami
i zaleceniami konstrukcyjnymi. Należy pamiętać, by suma rozstawu strzemion w kierunku
podłużnym nie była większa niż rozpiętość belki w świetle podpór.
5.1.21. Jeżeli rozpatrywaliśmy kilka odcinków ścinania o długości z cotq� (Rys. 6), to po wykonaniu
obliczeń dla pierwszego odcinka przechodzimy do następnego. Obliczamy kolejny przekrój
elementu ścinanego w odległości z cotq� . Jeżeli w tym przekroju VEd >� VRd ,c , to obliczenia
powtarzamy od punktu 5.1.14. Natomiast jeżeli VEd Ł� VRd ,c kończymy obliczenia.
5.2. Zbrojenie na ścinanie w postaci strzemion pionowych i prętów odgiętych lub strzemion
ukośnych.
Dane lub założone: VEd , M , NEd , fck , g� , fcd , fctk,0,05, fctd , f , f , bw , d1, h , h�1 , h�2 f�w1,
Ed c yk yd
f�w2 .
Szukane: Asw1 , Asw2 , s1 , s2 .
W przypadku zastosowania zbrojenia na ścianie w postaci strzemion pionowych i prętów odgiętych lub
strzemion ukośnych do sprawdzenia, czy zachodzi konieczność stosowania zbrojenia poprzecznego czy też
nie postępujemy jak w punkcie 5.1. Obliczenia wykonujemy zgodnie z punktami od 5.1.1. do 5.1.13. A
następnie:
5.2.1. Przyjmujemy:
- przyjmujemy średnicę strzemion f�w1, i liczbę ramion nw1 oraz gatunek stali z której będą wykonane,
- przyjmujemy średnicę strzemion ukośnych f�w2 , liczbę ramion nw2 , kąt pochylenia oraz gatunek
stali z której będą wykonane,
- przyjmujemy średnicę pręta odgiętego f�w2 oraz gatunek stali (jeżeli jest to odginany pręt, który był
wcześniej przyjęty przy wymiarowaniu na zginanie to gatunek stali nie ulega zmianie).
5.2.2. Z (19) obliczamy siłę jaka przenoszona jest przez strzemiona ukośne lub pręty odgięte.
5.2.3. Obliczamy wartość siły jaką powinny przenieść strzemiona pionowe VRd ,s1 .
Przy zastosowaniu ze względu na siły poprzeczne zbrojenia w postaci strzemion pionowych i prętów
odgiętych lub strzemion ukośnych minimum 50% siły VSd powinny przenieść strzemiona pionowe.
VRd ,s =�VRd ,s1 +�VRd ,s2 =�VEd (48)
VRd ,s1 =� VRd ,s -�VRd ,s2 ł� 0,5VEd (49)
Rozstaw strzemion liczymy zgodnie z punktem 5.1.16 (wzór 45) przyjmując VRd ,s1 ł� 0,5VEd .
Podstawy konstrukcji żelbetowych
15
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
5.2.4. Sprawdzenie z (21) warunku maksymalnego efektywnego pola przekroju zbrojenia na ścinanie przy
cotq� =�1,0.
5.2.5. Sprawdzenie zgodnie z (47) nośności krzyżulców betonowych. W tym przypadku siłę VRd ,max
wyznaczamy z (19).
5.2.6. Sprawdzenie nośności zbrojenia podłużnego Ftd .
5.2.7. Określamy rozstaw zbrojenia ukośnego i strzemion na całej długości belki zgodnie z wykonanymi
obliczeniami i zaleceniami konstrukcyjnymi.
IV. PRZYKA
ADY OBLICZENIOWE
PRZYKA
AD 1
Obliczyć zbrojenie na ścinanie mając dane: beton C20/25, stal o fyk =� 355 MPa, klasa stali B, b =� 30 cm,
h =� 60 cm. Sytuacja obliczeniowa stała i przejściowa. Otulina cnom =� 2,5 cm.
qd = 60 kN/m
Dane materiałowe
B
A Beton C20/25: fck =� 20 MPa g�c =�1,4 ,
leff =6,0 m
fck 20
fcd =� a�cc =�1,0�� =�14,3 MPa, fctk,0,05 =�1,5 MPa,
g� 1,4
c
fctk,0,05 1,5
MEd,max = 270 kNm fctd =� a�ct =� 1,0 �� =� 1,07 MPa
g� 1,4
c
VEd,A = 180 kN
f
355
yk
Stal: f =� 355 MPa, g� =� 1,15, f =� =� =� 308,7 MPa
yk s yd
g� 1,15
s
Zbrojenie podłużne:
zbrojenie rozciągane  As1 =� 10,18 cm2
VEd,B = 180 kN
VEd = VEd,A = VEd,B
zbrojenie ściskane  As2 =� 1,0 cm2
2 f� 8
2 f� 8
600
4 # 18
4 # 18
250 5500
250
300
Wysokość użyteczna przekroju:
d1 =� 0,1h =� 0,1��0,60 =� 0,06 m
d =� h -� a1 =� 0,60-� 0,06 =� 0,54 m
Wyznaczenie miarodajnej siły poprzecznej:
VEd = 180 kN Wielkość siły na krawędzi podpory:
VEd,k = 172,0 kN
VEd ,k =�VEd -� 0,5tqd =�180-� 0,5��0,25��60 =�172,5 kN
VEd,d = 140,10 kN
Miarodajna siła w odległości d od krawędzi podpory:
VEd ,d =� VEd ,k -� dqd =�172,50-� 0,54�� 60 =�140,1 kN
0,25 m d = 0,54 m
Podstawy konstrukcji żelbetowych
16
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Nośność przekroju na ścinanie bez zbrojenia na ścianie
0,18 0,18
cRd ,c =� =� =� 0,13
g� 1,4
c
200 200
k =� 1+� =� 1+� =� 1,61<� 2,0
d 540
Asl 10,18��10- 4
r�l =� =� =� 0,006<� 0,02
bw d 0,30�� 0,54
s�cp = 0 (nie występują podłużne siły ściskające)
3 1 3 1
2 2
=� 0,035k fck =� 0,035��1,612 �� 202 =� 0,32 MPa
min
1 1
��c
VRd ,c =� k (�100r�l fck )�3 +� k1s�cp ł� bwd =� 0,13��1,61��(�100�� 0,006�� 20)�3 �� 0,30�� 0,54 =� 0,07763MN =� 77,63 kN >�
Rd ,c
ę� ś�
�� ��
>� (� +� k1s�cp)�bwd =� 0,32�� 0,30�� 0,54 =� 0,05184MN =� 51,84 kN
min
VEd ,d =�140,10 kN >� VRd ,c =� 77,63 kN, należy zastosować zbrojenie na ścinanie
Długość odcinek belki, na którym należy zastosować zbrojenie na ścinanie:
VEd,k
VEd,c
VEd ,k -�VRd ,c 172,5 -� 7763
aw =� =� =� 1,58 m
qd 60
aw
Jako zbrojenie na ścinanie zastosowano strzemiona pionowe, czterocięte (czteroramienne) średnicy
f
355
yk
f�w =� 6 mm, o Asw =�1,13 cm2 , ze stali o fyk =� 355 MPa , f =� =� =� 308,7 MPa , przyjęto
ywd
g� 1,4
s
cotq� =�1,0.
z =� 0,9d =� 0,9�� 0,54 =� 0,486 m
Asw fywd
VRd ,s =� z cotq� =� VEd ,d
s
Asw fywd
1,13��10-�4 �� 308,7 ��103
s =� z cotq� =� �� 0,486��1,0 =� 0121m =� 12,1cm
Ved ,d 140,1
Przyjęto rozstaw strzemion: s =�12 cm.
Procent zbrojenia ze względu na ścinanie:
0,08 fck
Asw 1,13��10-�4 0,08 20
r�w =� =� =� 0,003> �w,min =� =� =� 0,001
s bw 0,12�� 0,30 fyk 355
Sprawdzenie warunku maksymalnego efektywnego pola przekroju zbrojenia na ścianie
Asw,max f
1 a�cw1 fcd
ywd
Ł�
bws 2 sin a�
fck 20
�� ć�1-� ��
1 =� =� 0,6ć�1-� =� 0,6 �� =� 0,552
�� �� �� ��
250ł� Ł� 250ł�
Ł�
a�cw =� 1,0  konstrukcja niesprężona
sina� =�1,0  strzemiona pionowe
Podstawy konstrukcji żelbetowych
17
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
1,13��10-�4 ��308,7 ��103 1
=� 968,98 kN Ł� ��1,0�� 0,552��14,3��103 =� 3946,8 kN
0,3�� 0,12 2
Sprawdzenie nośności krzyżulców betonowych ze względu na ich zmiażdżenie:
dla cotq� =�1,0 mamy
1 1
VRd ,max =� a�cwbwz1 fcd =� ��1,0 �� 0,30�� 0,486�� 0,552��14,3��103 =� 375,44
2 2
VEd ,k =�172,5 kN <� VRd ,s =� 375,44 kN
Sprawdzenie siły w zbrojeniu rozciąganym:
Dodatkowa siła rozciągająca w zbrojeniu podłużnym D�Ftd wywołana przez siłę poprzeczną
dla cotq� =�1,0 mamy
D�Ftd =� 0,5VEd ,d cotq� =� 0,5��140,1��1,0 =� 50.05 kN
2 2
(�0,5t +� d)� (�0,5�� 0,25+� 0,54)�
M =� VEd ,max (�0,5t +� d)�-� qd =� 180��(�0,5�� 0,25+� 0,54)�-� 60�� =� 106,43 kNm.
Ed ,d
2 2
M
M
106,43 Ed ,max 270
Edd
Ftd =� +� D�Ftd =� +� 70,05 =� 289,04 kN <� =� =� 555,56 kN
z 0,486 z 0,486
Określamy nośność zbrojenia rozciąganego w strefie przypodporowej i porównujemy z siła Ftd .
Ftd =� 289,04 kN <� Fs =� As1 fyd =� 10,18��10-�4 ��308,7 ��103 =� 314,26 kN
Długość zakotwienia prętów zbrojeniowych (kotwienie w strefie rozciąganej)
lbd =� a�1a�2a�3a�4a�5lb,rqd ł� lb,min
Podstawowa długość zakotwienia
f�s�
sd
lb,rqd =�
4 fbd
s�  naprężenie obliczone w miejscu na, od którego odmierza się długość zakotwienia
sd
45o
lbd
d
0,25 m d = 0,54 m
Wartość momentu na krawędzi podpory
2 2
(�0,5t)� (�0,5�� 0,25)�
M =� VEd ,max 0,5t -� qd =� 180�� 0,5�� 0,25 -� 60�� =� 22,03 kNm
Ed ,k
2 2
h� fcd
Fcc=bxeff h� fcd
xeff
MEd,k
h
d
As1
d1
Fs1=As1fyd
b
As1 fyd 10,18��10-�4 �� 308,7 ��103
xeff =� =� =� 0,0733m =� 7,33 cm
bh�fcd 0,30��1,0 ��14,3��103
c
eff
z =d-
0,5
x
Podstawy konstrukcji żelbetowych
18
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
f� 1,8
d1 =� cnom +� f�w +� =� 2,5 +� 0,6 +� =� 4 cm
2 2
d =� h -� d1 =� 60 -� 4 =� 56 cm
xeff
7,33
z =� d -� =� 56 -� =� 52,34 cm =� 0,5234m
2 2
M
22,03
Ed ,k
s� =� =� =� 41345,95 kPa =� 41,35 MPa
sd
zAs1 0,5234��10,18��10-�4
fbd =� 2,25h�1h�2 fctd =� 2,25�� 0,7 ��1,0��1,07 =� 1,69 MPa
h�1 =� 0,7
h�2 =� 1,0 (f� =�18 mm <� 32 mm)
18�� 41,35
lb,rqd =� =� 110,10 mm
4 ��1,69
a�1 =� 1,0  pręty proste
Otulenie betonem
c1
a
c
c1 =� cnom +�f�w =� 25+� 6 =� 31 mm =� 3,1 cm
c =� cnom +�f�w =� 25+� 6 =� 31 mm =� 3,1 cm
a =� 51,3 mm =� 5,13 cm
0,5a =� 0,5�� 51,3 =� 25,65 mm
��
��c
cd Ł� =� 31 mm
��
1
��c =� 31 mm
��
cd -�f� 25,65 -�18
0,7 Ł� a�2 =� 1-� 0,15 =� 1-� 0,15�� =� 0,94 Ł� 1,0
f� 18
0,7 Ł� a�3 =�1-� Kl� Ł� 1,0
Ast -� Ast,min 2 ��1,13-� 0,25��10,18
�� ��
l� =� =� =� -�0,11
As 2,54
K , przyjąć wg PN-EN 1992-1-1:2008, str. 125, Rys. 8.4
0,7 Ł� a�3 =�1-� 0,1��(�-� 0,11)�=�1,011Ł�1,0
Przyjęto a�3 =� 1,0
a�4 =�1,0  nie występuje spajanie
a�5 =�1,0
a�2a�3a�5 =� 0,94��1,0��1,0 =� 0,94 ł� 0,7
0,3lb,rqd =� 0,3��110,1 =� 33,03 mm
��
��
lbd =� 1,0 �� 0,94��1,0 ��110,10 =� 103,50 mm ł� lb,min =� max��10f� =� 10��18 =� 180 mm
��100 mm
��
Przyjęto długość zakotwienia lbd =� 180 mm
Rozstaw strzemion na odcinku belki, gdzie nie jest wymagane zbrojenie naścinanie:
sl,max =� 0,75d(�1+� cota�)�=� 0,75��0,56 =� 0,42 m =� 42 cm. Przyjęto s =� 25 cm.
Podstawy konstrukcji żelbetowych
19
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
A B
NR 2
2 NR 3
NR 4
NR 1
250 2 NR 3 co 120 mm 140 NR 4 co 250 mm 2 NR 3 co 120 mm 250
250 1680 140 2250 1680 250
B
A
250 5750 250
6000
4 NR 2 # 8 l = 6150 mm
6150
4 NR 1 # 18 l = 6150 mm
6150
PRZEKRÓJ A - A PRZEKRÓJ B -B
NR 2 NR 2
2 NR 3 NR 4
25 25
NR 1 NR 1
300 300
250
175
60 60
550
60 60
550
NR 4 f� 6 co 250 mm,
NR 3 f� 6 co 120 mm,
550 550
l = 1720 mm, szt. 9
l = 1570 mm, szt. 60
175 250
PRZYKA
AD 2
Obliczyć zbrojenie na ścinanie mając dane: beton C20/25, stal o fyk =� 410 MPa, klasa stali B, bw =� 25 cm ,
'
h =� 60 cm, hf =�10 cm , beff =� 60 cm h'f =� 8 cm , beff =� 50 cm . Sytuacja obliczeniowa stała i przejściowa.
Otulina cnom =� 2,5 cm. Szerokość podpory t =� 25 cm . Zbrojenie podłużne: zbrojenie rozciągane przęsłowe 
As1 =�12,57 cm2 , zbrojenie rozciągane podporowe  As1 =� 6,03 cm2 .
Dane materiałowe:
fck 20
Beton C20/25: fck =� 20 MPa g�c =�1,4 , fcd =� a�cc =�1,0 �� =�14,3 MPa, fctk,0,05 =�1,5 MPa,
g� 1,4
c
fctk,0,05 1,5
fctd =� a�ct =� 1,0 �� =� 1,07 MPa
g� 1,4
c
fyk 410
Stal: fyk =� 410 MPa, g� =� 1,15, fyd =� =� =� 356,52 MPa.
s
g� 1,15
s
600
600
600
Podstawy konstrukcji żelbetowych
20
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
qd = 40 kN/m
Ścinanie należy sprawdzić przy podporze A oraz z prawej
A
B
6,0 m 1,0 m
i lewej strony podpory B.
VEdA VPEdB
VLEdB
VEdA = 116,67 kN
VLEdB = 123,33 kN
MEd = 20 kNm
VPEdB = 40 kN
MEd = 170,14 kNm
W przykładzie obliczono przykładowo zbrojenie przy podporze B z lewej strony.
3 # 16
2 # 16 600
3 # 16
A
��
��
�� �� ��
100
��
��
2 f� 8
2 f� 8
600
250
4 # 20
�� ��
80
�� �� �� �� �� ��
5500 875
250 250 2 f� 8
2 f� 8
4 # 20
A
500
L
Podpora B z lewej strony: VEd =� 123,33 kN
Wysokość użyteczna przekroju:
d1 =� 0,1h =� 0,1��0,60 =� 0,06 m
d =� h -� d1 =� 0,60 -� 0,06 =� 0,54 m
Wyznaczenie miarodajnej siły poprzecznej:
Wielkość siły na krawędzi podpory
40,0 kN
35,0 kN
VEd ,k =� VEd ,max -� 0,5tqd =�123,33-� 0,5�� 0,25�� 40 =�118,33 kN
Miarodajna siła w odległości d od krawędzi podpory
B
VEd ,d =�VEd ,k -� dqd =�118,33-� 0,54�� 40 =� 96,73 kN
0,25 m
118,33 kN
123,33 kN
Obliczamy silę VRd ,c :
0,18 0,18
cRd ,c =� =� =� 0,13
g� 1,4
c
200 200
k =� 1+� =� 1+� =� 1,61<� 2,0
d 540
Asl 6,03��10- 4
r�l =� =� =� 0,004<� 0,02
bw d 0,25�� 0,54
s�cp = 0 (nie występują podłużne siły ściskające)
3 1 3 1
2 2
=� 0,035k fck =� 0,035��1,612 �� 202 =� 0,32 MPa
min
Podstawy konstrukcji żelbetowych
21
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
1 1
��c
VRd ,c =� k (�100r�l fck )�3 +� k1s�cp ł� bwd =� 0,13��1,61��(�100�� 0,004�� 20)�3 �� 0,25�� 0,54 =� 0,05151MN =� 56,51kN >�
Rd ,c
ę� ś�
�� ��
>� (� +� k1s�cp)�bwd =� 0,32�� 0,25�� 0,54 =� 0,0432MN =� 43,2 kN
min
VEd ,d =� 96,73 kN >� VRd ,c =� 56,51 kN, należy zastosować zbrojenie na ścinanie
Długość odcinka belki, na którym należy zastosować zbrojenie na ścinanie:
VEd ,k -�VRd ,c 118,33-� 56,51
aw =� =� =� 1,55 m
qd 40
Odcinek ścinania podzielono na dwa krótsze. Na pierwszym z nich zastosowano zbrojenia na ścianie
w postaci prętów odgiętych i strzemion pniowych, natomiast na drugim w postaci samych strzemion
pionowych.
Odcinek pierwszy
Jako zbrojenie na ścinanie zastosowano zbrojenie w postaci 2 prętów odgiętych f�w2 =� 20 mm o polu
powierzchni Asw2 =� 6,28 cm2 , kącie nachylenia a� =� 45o i strzemion pionowych, dwuramiennych ze stali
240
o fyk =� 240 MPa o średnicy f�w1 =� 6 mm : Asw1 =� 0,56 cm2 , fywd1 =� =� 208,7 MPa, przyjęto cotq� =�1,5 .
1,15
VRd ,s =� VRd ,s1 +�VRd ,s2
z =� 0,9d =� 0,9�� 0,54 =� 0,486 m
Obliczamy udział prętów odgiętych w przenoszeniu siły tnącej.
s2
Maksymalny dopuszczalny rozstaw prętów odgiętych wynosi:
sb,max =� 0,6d(�1+� cota�)�=� 0,6�� 0,54��(�1+�1)�=� 0,648 m
przyjęto: s2 =� 0,64 m =� 64 cm
a� = 45O
Asw2 fywd 2
6,28��10-�4 ��356,52��103
VRd ,s2 =� z(�cotq� +� cota�)�sin a� =� �� 0,486��(�1,5 +�1)��� 0,707 =� 300,51 kN
s2 0,64
Siła przenoszona przez strzemiona
VRd ,s =� VRd ,s1 +�VRd ,s2 =� VEd ,d �� VRd ,s1 =� VEd ,d -�VRd ,s2 =� 96,73-� 300,51=� -�203,78 kN
Minimum 50% siły tnącej powinny przenieść strzemiona pionowe przyjęto: VRd ,s1 =� 0,5VEd ,d
Asw1 fywd1 Asw1 fywd1
0,56��10-�4 �� 208,7 ��103
d
VRd ,s1 =� z cotq� =� 0,5VEd �� s1 =� z cotq� =� �� 0,486��1,5 =� 0,1762 m
s1 0,5 VEd 0,5�� 96,73
Przyjęto rozstaw strzemion s1 =� 0,17 m.
Procent zbrojenia ze względu na ścinanie:
strzemiona pionowe
0,08 fck
Asw1 0,56��10-�4 0,08�� 20
r�w1 =� =� =� 0,001 > �w,min =� =� =� 0,0015
s1bw 0,17�� 0,25 fyk 240
pręty odgięte
0,08 fck
Asw2 6,28��10-�4 0,08�� 20
r�w2 =� =� =� 0,006 > �w,min =� =� =� 0,0009
s2 bw sin a� 0,64�� 0,25�� 0,707 fyk 410
Siła przenoszona przez strzemiona
Asw1 f
0,56��10-�4208,7 ��103
ywd1
VRd ,s1 =� z cotq� =� �� 0,486��1,5 =� 50,17 kN
s1 0,17
48 cm
Podstawy konstrukcji żelbetowych
22
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Całkowita siła przenoszona przez strzemiona i pręty odgięte
VRd ,s =� VRd ,s1 +�VRd ,s2 =� 300,51+� 50,17 =� 350,68 kN
Sprawdzenie ze względu na zmiażdżenie krzyżulców betonowych:
fck 20
�� ć�1-� ��
1 =� =� 0,6ć�1-� =� 0,6 �� =� 0,552
�� �� �� ��
250ł� Ł� 250ł�
Ł�
a�cw =� 1,0  konstrukcja niesprężona
cotq� =�1,5 , tanq� =� 0,667
dla strzemion pionowych
a�cwbwz1 fcd 1,0 �� 0,25�� 0,486�� 0,552��14,3��103
VEd ,k =� 118,33 kN Ł� VRd ,max =� =� =� 442,58 kN
cotq� +� tanq� 1,5 +� 0,667
dla prętów odgiętych
cotq� +� cota� 1,5 +�1,0
VEd ,k =� 118,33 kN Ł� VRd ,max =� a�cwbwz1 fcd =� 1,0 �� 0,25�� 0,486�� 0,552��14,3��103 =�
1+� cot2 q� 1,0 +�1,52
=� 737,75 kN
Sprawdzenie siły w zbrojeniu rozciąganym
Dodatkowa siła rozciągająca w zbrojeniu podłużnym
D�Ftd =� 0,5VEd (�cotq� -� cota�)�=� 0,5��96,73��(�1,5 -�1,0)�=� 24,18 kN
1,51 m 0,17 m
Wartość momentu zginającego w odległości d od podpory
2,92 m
MEd ,d =� 53,18 kNm.
A
MEd,d B
0,665 m
M M
53,18 170,14
Ed ,d Ed ,max
Ftd =� +� D�Ftd =� +� 24,18 =� 133,6 kN <� =� =� 350,08 kN
z 0,486 z 0,486
Określamy nośność zbrojenia rozciąganego w strefie przypodporowej i porównujemy z siła Ftd .
Fs =� As1 fyd =� 6,28��10-�4 ��356,52��103 =� 223,89 kN >� Ftd =�133,6 kN
Ścinanie między środnikiem a półką:
Zbrojenie po jednej stronie półki: 2 pręty f�8 ze stali o fyk =� 240 MPa,
fyd =� 208,7 MPa
1,38 m 0,17 m
Sprawdzenie ścinania na odcinku, gdy półka jest rozciągana:
2,92 m
D�Fd =� fyd As1 =� 208,7 ��103 ��1,0��10-�4 =� 20,87 kN
A B
aw2 = 1,55 m
D�Fd 20,87 kN
vEd =� =� =� 2455,29 =� 2,46 MPa
hf D�x 0,1�� 0,5�� 0,17 m2
cotq� =� 1,0 , q� =� 45o  dla półki rozciąganej
f f
vEd =� 2,46 MPa <�=�fcd sinq� cosq� =� 0,552��14,3�� 0,707�� 0,707 =� 3,95 <� MPa
f f
Podstawy konstrukcji żelbetowych
23
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Asf
0,56��10-�4
vEd =� 2,46 MPa >� f cot� =� �� 208,7 ��1,0 =� 0,69 MPa
yd f
hf s 0,1�� 0,17
f
Należy dołożyć zbrojenie: przyjęto zbrojenie dodatkowe Asf w postaci strzemion f�8 ze stali
o fyk =� 240 MPa, fyd =� 208,7 MPa i rozstawie sf =� 0,08 m i sprawdzamy warunek:
ć� ��
0,56��10-�4 1,0 ��10-�4
�� ��
vEd =� 2,46 MPa >� �� �� 208,7 ��1,0 +� �� 208,7 ��1,0�� =� 3,30 MPa
0,1�� 0,17 0,1�� 0,08
Ł� ł�
Sprawdzenie ścinania w miejscu, gdzie półka jest ściskana:
Z sumy rzutów sił przy założeniu, że przekrój jest przekrojem pozornie teowym obliczamy xeff :
As1 f -� As2 f
12,57��10-�4 �� 356,52��103 -� 6,03��10-�4 �� 352,52��103
yd yd
xeff =� =� =� 0,027 m
beffh�fcd 0,60��1,0 ��14,3��103
D�Fd =�h�fcd xeff 0.5(�beff -� bw)�=� 1,0 ��14,3��103 �� 0,027�� 0,5��(�0,6 -� 0,25)� =� 67,57 kN
D�Fd 67,56 kN
vEd =� =� =� 231,37 =� 0,23 MPa
hf D�x 0,1�� 0,5�� 2,92 m2
cotq� =� 1,0  półka ściskana
f
vEd =� 0,23 MPa <�fcd sinq� cosq� =� 0,552��14,3�� 0,707��0,707 =� 3,95 MPa
f f
Asf
0,56��10-�4
vEd =� 0,23 MPa <� fyd cot� =� �� 208,7 ��1,0 =� 0,69 MPa
hf s 0,1�� 0,17
f
Odcinek drugi
Wymiarowanie na ścinanie na odcinku aw2 =�1,55-� 0,64 =� 0,91 m (poza strefą odgięcia pręta).
Maksymalna siła ścinająca na rozpatrywanym odcinku VEd =�118,33-� 40�� 0,64 =� 92,73 kN
Jako zbrojenie na ścinanie zastosowano strzemiona pionowe, dwuramienne ze stali o średnicy f�w1 =� 6 mm
i o Asw1 =� 0,56 cm2 , fywd1 =� 208,7 MPa , f =� 240 MPa .
yk
Rozstaw strzemion
Asw1 f
0,56��10-�4 �� 208,7 ��103
ywd1
s1 =� z cotq� =� �� 0,486��1,5 =� 0,0918m
VEd 92,73
Przyjęto rozstaw strzemion s1 =� 0,09 m
0,56��10-�4
r�w1 =� =� 0,0024>� r�w,min =� 0,0015
0,09�� 0,25
Sprawdzenie ze względu na zmiażdżenie krzyżulców betonowych:
VEd =� 92,73 kN <� VRd ,max =� 442,58 kN
Sprawdzenie nośności podłużnego zbrojenia rozciąganego w strefie przypodporowej
Wartość momentu M odpowiadająca sile VEd =� 92,73 kN
Ed
MEd =� 56,07 kNm
MEd ,max 170,14
MEd 56,07
Ftd =� +� 0,5VEd cotq� =� +� 0,5��92,73��1,5 =�184,92 kN <� =� =� 350,08 kN
z 0,486 z 0,486
Ftd =�187,03 kN <� Fs =�12,57��10-�4 ��356,52��103 =� 448,15 kN
Podstawy konstrukcji żelbetowych
24
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Ścinanie według PN-EN 1992-1-1:2008 (EC2) Wersja 2009 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Ścinanie między środnikiem a półką:
Półka jest ściskana:
Z sumy rzutów sił przy założeniu, że przekrój jest przekrojem pozornie teowym obliczamy xeff:
vEd =� 0,23 MPa <�fcd sinq� cosq� =� 0,552��14,3�� 0,707��0,707 =� 3,95 MPa
f f
Asf
0,56��10-�4
vEd =� 0,23 MPa <� fyd cot� =� �� 208,7 ��1,0 =�1,30 MPa
hf s 0,1�� 0,09
f
Uwaga: W tym przykładzie zamieszczono jedynie fragment obliczeń, aby pokazać sposób wymiarowania,
jeżeli stosuje się na ścinanie pręty odgięte i strzemiona pionowe.
MATERIAA
Y POMOCNICZE:
1. PN EN 1992 1 1:2008. Eurokod 2 - Projektowanie konstrukcji z betonu. Część 1 1. Reguły ogólne i reguły dla
budynków.
2. Załącznik krajowy NA (informacyjny). Postanowienia krajowe w zakresie przedmiotowym EN 1992-1-1, 2008.
3. PN EN 1990:2004. Eurokod. Podstawy projektowania konstrukcji.
4. PN EN 1991-1-1:2004. Eurokod1: Oddziaływania na konstrukcję. Część 1.1: Oddziaływania ogólne. Ciężar
objętościowy ciężar wlany, obciążenia użytkowe w budynkach.
5. PN EN 206-1:2003. Beton. Część 1: Wymagania, właściwości, produkcja i zgodność.
6. PN EN 206-1:2003/A1. Zmiany, marzec 2005, do PN EN 206-1:2003. Beton. Część 1: Wymagania,
właściwości, produkcja i zgodność.
7. PN EN 206-1:2003/A2. Zmiany, lipiec 2006, do PN EN 206-1:2003. Beton. Część 1: Wymagania, właściwości,
produkcja i zgodność.
8. PN-EN 10080:2007. Stal do zbrojenia betonu. Spawalna stal zbrojeniowa. Postanowienia ogólne.
9. Eurocode 2. Design of concrete structures. Part 1. General rules and rules for buildings.
10. PN  B  03264:2002. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie.
11. Praca zbiorowa pod redakcją Lecha Czarneckiego.: Beton według normy PN-EN 206-1:2003  komentarz.
Cement Polski, PKN. Kraków 2007.
12. Starosolski W.: Konstrukcje żelbetowe według PN  B  03264:2002 i Eurokodu 2. PWN, Warszawa 2006,
Tom I.
13. Praca zbiorowa Sekcji Konstrukcji Betonowych KILiW PAN. Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i
sprężonych według Eurokodu 2. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław 2006.
14. Eurokod 2. Podręczny skrót dla projektantów konstrukcji żelbetowych. Pod redakcją prof. Andrzeja Ajdukiewicza.
Stowarzyszenie Producentów Cementu. Kraków 2009.
15. Private communication: Goszczyńska B.
16. A
apko A.: Projektowanie konstrukcji żelbetowych. Arkady, Warszawa 2001.
17. Kamiński M., Pędziwiatr J., Styś D.: Projektowanie konstrukcji żelbetowych według PN-B-03264:2002.
Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław 2004.
18. Dąbrowski K., Stachurski W., Zieliński J.L.: Konstrukcje betonowe. Arkady, Warszawa 1982.
19. Private communication: Szwed A.
20. Piasta J., Piasta W. G.: Beton zwykły. Arkady, Warszawa 1997.
21. Godycki-Ćwirko T.: Mechanika betonu. Arkady, Warszawa 1982.
22. A
apko A., Jansen B.J.: Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych. Arkady, Warszawa
2005.
23. Private communication: Jemioło S.
24. Neville A.M.: Właściwości betonu. Polski Cement, Kraków 2000.
25. Kobiak J., Stachurski W.: Konstrukcje żelbetowe. Arkady, Warszawa 1984, tom I.
26. Private communication: Goszczyński S.
27. Firkowicz S.: Statystyczne badanie wyrobów. WNT, Warszawa 1970.
28. Ajdukiewicz A., Starosolski W., Sulimoswki Z.: Konstrukcje betonowe. Laboratorium. Skrypty uczelniane
Politechniki Śląskiej Nr 929, Gliwice 1980.
29. Instrukcja 194/98. Badania cech mechanicznych betonu na próbkach wykonanych w formach. Instytut techniki
Budowlanej. Warszawa 1998.
30. Żmuda J.: Podstawy projektowania konstrukcji metalowych. Arkady, Warszawa 1997.
31. Praca pod redakcją naukową Zybury A.: Konstrukcje żelbetowe. Atlas rysunków. Wydawnictwo Naukowe PWN.
Warszawa 2009.