OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
16. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKA
ADÓW SLS
16.1. SPLOT FUNKCJI
A) DEFINICJA
Niech dane będą dwie funkcje f1(t) i f2(t) całkowalne w każdym prze-
dziale (t1,t2), 0d"t1d"t2<", wówczas splotem tych funkcji nazywać będziemy
funkcję q(t) określoną dla te"0 w sposób następujący
t
q(t) = f1(t)* f2(t)= f1(� ) f2(t -� )d�
(16.1)
+"
0
Operację tworzenia splotu nazywamy splataniem funkcji f1(t) i f2(t) lub
ich mnożeniem splotowym.
Interpretacja graficzna splotu
Rozpatrzmy funkcje f1(t) i f2(t)
f1(t) f1(�) f2(t) f2(�)
1 1
- w pierwszym etapie wykreśla-
my funkcje f1(�) i f2(�) przyjmu-
t � t �
1 2 1 2 3 4
jąc � za zmienną całkowania
f2(-�) f1(�)
W etapie drugim tworzymy
1
lustrzane odbicie f2(-�) funkcji
�
f2(�)
-4 -3 -2 -1 1 2
Następnie przesuwamy funk-
f2(t1-�) f1(�)
cję f2(-�) wzdłuż osi � o pewną 1
wartość, przyjmijmy t1  w efek-
�
cie uzyskujemy funkcję f2(t1-�).
-2 -1 1 2
t1
Całkujemy iloczyn funkcji
f1(�)�"f2(t1-�) ze względu na � - jest
f1(t)*f2(t)
1,5
to pole pod krzywą wypadkową
1
funkcji f1(�) i f2(t1-�). Wartość
t
splotu f1(t)"f2(t) w chwili t=t1 jest
1 2 3 4 5 6
równa temu polu powierzchni. t1
dr inż. Marek Szulim
1 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
B) WA
ASNOŚCI SPLOTU
własność 1 - splatanie funkcji jest przemienne:
t t
f1(t)* f2(t) = f2(t)* f1(t) = f1(� ) f2(t -� )d� = f1(t -� ) f2(� )d�
(16.2)
+" +"
0 0
własność 2 - splatanie funkcji jest łączne:
f1(t)* f2(t)* f3(t)= f1(t)* [f2(t)* f3(t)]= [f1(t)* f2(t)]* f3(t)
(16.3)
własność 3 - splatanie funkcji jest rozdzielne względem dodawania:
[f1(t)+ f2(t)]* f3(t)= f1(t)* f3(t)+ f2(t)* f3(t)
(16.4)
splot funkcji f(t) z funkcją jednostkową 1(t)
t
f (t)* 1 = f (� ) d�
(16.5)
+"
0
Zatem mnożenie splotowe funkcji f(t) przez funkcję jednostkową 1(t) jest równoznacz-
ne z całkowaniem funkcji f(t) w przedziale (0,t)
splot funkcji f(t) z funkcją impulsową Diraca �(t)
"
Na podstawie definicji f (t)* � (t) = � (t)* f (t) = (� ) f (t -� ) d�
+"�
-"
Ponieważ �(t) istnieje tylko przy �=0 - co oznacza, że należy brać pod uwagę wartość
funkcji f(t-�) tylko w punkcie �=0, a więc f(t-�) może być zastąpiona przez f(t). Za-
tem
" "
f (t)* � (t)= (� ) f (t) d� = f (t) (� ) d� = f (t)�"1
+"� +"�
-" -"
f (t)* � (t)= f (t)
stąd (16.6a)
f (t)* � (t - t0 )= f (t - t0 )
Ponadto (16.6b)
dr inż. Marek Szulim
2 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
C) TWIERDZENIE BORELA O SPLOCIE
Jedną z najważniejszych właściwości przekształcenia Laplace a jest
twierdzenie o splocie tzw. twierdzenie Borela:
L[f1(t)* f2(t)]= F1(s)�" F2(s)
(16.7a)
-1
L [F1(s)�" F2(s)]= f1(t)* f2(t)
lub (16.7b)
gdzie: F1(s) = L[f1(t)], F2(s)= L[f2(t)]
D) TWIERDZENIE O TRANSFORMACIE POCHODNEJ
SPLOTU
Transformata Laplace a pochodnej splotu
Ą# d
L [f1(t)* f2(t)]ń# = s F1(s)F2(s)
(16.8a)
ó#dt Ą#
Ł# Ś#
d
-1
L [s F1(s)F2(s)]= [f1(t)* f2(t)]
czyli (16.8b)
dt
dr inż. Marek Szulim
3 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
E) CAA
KA DUHAMELA
t
d d
[f1(t)* f2(t)]= f1(� ) f2(t -� )d�
(16.9)
+"
dt dt
0
wyrażenie to nazywamy całką Duhamela (całką superpozycji)
Zgodnie z twierdzeniem o różniczkowaniu całki względem parametru
(jeśli obie funkcje f1(t) i f2(t) mają ciągłe pochodne dla t>0) napiszemy
d
[f1(t)* f2(t)]=
dt
t t
d
= f1(� ) f2(t -� )d� = f1(t) f2(0+)+ f1(� ) f2'(t -� )d� (16.10a)
+" +"
dt
0 0
t t
d
= f1(t -� ) f2(� )d� = f1(0+)f2(t)+ f1'(t -� ) f2(� )d�
(16.10b)
+" +"
dt
0 0
a korzystając z przemienności splotu otrzymamy pozostałe postacie całki Duhamela
t
d
'
[f1(t)* f2(t)]= f1(t) f2(0+)+ f1(t -� ) f2(� )d�
(16.10c)
+"
dt
0
t
d
'
[f1(t)* f2(t)]= f1(0+)f2(t)+ f1(� ) f2(t -� )d�
(16.10d)
+"
dt
0
dr inż. Marek Szulim
4 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
16.2. OPERATOROWE FUNKCJE UKA
ADU
Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie przyczy-
nowe f(t) (napięciowe lub prądowe) i dla którego poszukiwaną funkcją jest
odpowiedz
r(t) (prądowa lub napięciowa).
f (t) r (t)
układ
SLS
Jeśli wielkości f(t) i r(t) występują na tych samych zaciskach to rozpa-
trywany układ staje się dwójnikiem. Jego stan opisany jest parą funkcji:
prądu wejściowego i napięcia
a) i (t)=f(t) u(t)=r(t) b) u (t)=f(t) i(t)=r(t)
Z 0
I(s)
U(s)
IZ(s) U(s) Z(s) Y(s)
0
W zależności od wymuszenia odpowiedz
wyznaczamy ze wzoru
I(s)= Y(s)U0(s) (16.11b)
U(s)= Z(s) IZ (s) (16.11a)
gdzie:
Z(s)  operatorowa IMpedancja Y(s)  operatorowa adMITANCJA
Dla obu tych funkcji układu spełniających związek
Y(s) Z(s)= 1 (16.12)
stosujemy określenie : operatorowa IMMITANCJA
dr inż. Marek Szulim
5 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
W przypadku wyodrębnienia dwóch par zacisków mamy do czynienia
z czwórnikiem. Jeśli wymuszenie jest związane z jedną bramą a odpo-
wiedz
z drugą to relacje pomiędzy nimi - stosunek odpowiedzi do wymu-
szenia nazywamy TRANSMITANCJ
operatorową.
Fs) R(s)
(
K(s)
R(s)
K(s)=
(16.13)
F(s)przy zerowych W .P.
R(s) = K(s)F(s)
czyli (16.14)
Wyróżniamy operatorową:
transmitancję napięciową
I2(s)=0
Ku(s)
U(s) U2(s)
1
Ku(s)= (16.15a)
U(s)
2
U1(s)
I2 (s)=0
transmitancję prądowo-napięciową
I2(s)=0
Kiu(s)
U(s) I2(s)
1
Ki u(s)= (16.15b)
U(s)=0
2
U1(s)U (s)=0
2
transmitancję prądową
I2(s)
I1(s) K(s)
I2(s)
i
Ki(s)= (16.15c)
U(s)=0
2
I1(s)U (s)=0
2
transmitancję napięciowo-prądową
I2(s)=0
I1(s) Kui(s)
U2(s)
Ku i(s)= (16.15d)
U(s)
2
I1(s)
I2 (s)=0
dr inż. Marek Szulim
6 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
Rozpatrzmy dwa szczególne przypadki funkcji wymuszającej f(t)
`$ Gdy funkcją wymuszającą jest funkcja impulsowa Diraca �(t)
Czyli f (t) = � (t) L [� (t)]= F(s) =1
R(s)= K(s)F(s)= K(s)1 = K(s)
wówczas (16.16)
Fs)=1 R(s)=K(s)
(
K(s)
Oznacza to, że funkcja transmitancji K(s) jest tożsama z operatorową
odpowiedzią układu na wymuszenie impulsowe. Można zatem nazwać ją
operatorową funkcją impulsową układu.
a$ Gdy funkcją wymuszającą jest funkcja skoku jednostkowego 1(t)
1
Czyli f (t)=1(t) L [1(t)]= F(s)=
s
1
R(s)= K(s)F(s)= K(s) = H(s)
wówczas (16.17)
s
Fs)=1/s R(s)=K(s)/s=H(s)
(
K(s)
Tę szczególną odpowiedz
H(s) nazywamy operatorową odpowie-
dzią układu na wymuszenie skokiem jednostkowym.
dr inż. Marek Szulim
7 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
Zatem relacje pomiędzy operatorową funkcją impulsową układu K(s) i
operatorową odpowiedzią układu na wymuszenie skokiem jednostkowym
H(s) są następujące:
K(s)
�#
H(s)=
�#
s (16.18)
Ź#
�#
K(s)= s H(s)
�#
Znajomość jednej z tych funkcji pozwala łatwo określić drugą.
16.3. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE
Czasową charakterystykę układu o określonym wejściu i
wyjściu - stanowi przebieg sygnału wyjściowego, gdy na wej-
ściu działa wymuszenie będące sygnałem wzorcowym.
Najczęściej używanymi sygnałami wzorcowymi w procesach bada-
nia układów są:
`$ sygnał impulsowy �(t)
a$ sygnał skoku jednostkowego 1(t)
______________________________
Rozpatrzmy ponownie zależność (16.14)
gdzie:
F(s) = L[f(t)]  jest transformatą wymuszenia
R(s)= K(s)F(s)
K(s) = L[k(t)]  jest transmitancją operatorową
Zatem zgodnie z twierdzeniem
r(t) = k(t)* f (t)
(16.19)
Borela (16.7b) oryginał odpowiedzi
r(t) określony jest funkcją splotu
Fs) R(s) f(t) r(t)
(
L-1
K(s) *k(t)
dr inż. Marek Szulim
8 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
A) CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA
`$ Jeśli sygnałem wzorcowym jest funkcja impulsowa Diraca �(t)
to zgodnie z (16.19) i (16.16)
r(t) = k(t)*� (t) = k(t)
(16.20)
r(t) = L-1[K(s)]= k(t)
zatem k(t)  zwana CHARAKTERYSTYK
IMPULSOW
UKA
ADU
(funkcją/charakterystyką impulsową)
jest tożsama z odpowiedzią układu na wymuszenie impulsem
Diraca.
B) CHARAKTERYSTYKA SKOKOWA
a$ Jeśli sygnałem wzorcowym jest funkcja skoku jednostkowego 1(t)
to zgodnie z (16.17)
r(t)= L-1Ą#1 K(s)ń# = L-1[H(s)]= h(t)
(16.21)
ó#s Ą#
Ł# Ś#
zatem h(t)  zwana CHARAKTERYSTYK
SKOKOW
UKA
ADU
(funkcją/charakterystyką przejściową)
jest tożsama z odpowiedzią układu na wymuszenie skokiem
jednostkowym.
C) ZWI
ZKI POMI
DZY CHARAKTERYSTYKAMI
t
-1
K(s)
Z relacji LŻ# h(t) = (� ) d� �#
�#
H(s)= Ż#Ż#
(16.18) +"k
s
�#
0
wynikają
(16.19)
Ź#
-1
następujące
�#
d h(t)
LŻ# k(t)=
K(s)= s H(s) Ż#Ż#
związki
�#
d t
�#
dr inż. Marek Szulim
9 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
Znając charakterystykę czasową układu rs(t) jako odpowiedz
na
sygnał wzorcowy fs(t), możemy wyznaczyć odpowiedz
układu na do-
wolny sygnał przyczynowy, korzystając z zależności
r(t) = L-1Ą#Rs(s) F(s)ń#
(16.23)
ó# Ą#
Fs(s)
Ł# Ś#
f& Mając charakterystykę impulsową k(t) można wyznaczyć odpo-
wiedz
układu na dowolny sygnał przyczynowy f(t), korzystając z twier-
dzenia Borela (16.7) oraz definicji splotu (16.1) i jego własności (16.2):
t
r(t) =
(16.24a)
+"k(� ) f (t -� )d�
0
t
r(t) =
(16.24b)
+"k(t -� ) f (� )d�
0
f& Mając charakterystykę skokową h(t) można wyznaczyć odpowiedz

układu na dowolny sygnał przyczynowy f(t), korzystając z twierdzenia o
transformacie pochodnej splotu (16.8) oraz całki Duhamela (16.10):
t
r(t) = h(t) f (0)+
(16.25a)
+"h(� ) f '(t -� )d�
0
t
r(t) = h(0) f (t)+ (t -� ) f (� )d�
(16.25b)
+"h'
0
t
r(t) = h(t) f (0)+
(16.25c)
+"h(t -� ) f '(� )d�
0
t
r(t) = h(0) f (t)+ (� ) f (t -� )d�
(16.25d)
+"h'
0
dr inż. Marek Szulim
10 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
PRZYKA
AD 1: Znając charakterystykę przejściową układu
R
�# ś#
t
1
ś#1- e- L ź#1
h(t) = (t)
ś# ź#
R
�# #
Wyznaczyć odpowiedz
tego układu (prąd w obwodzie
i(t)) na wymuszenie przyczynowe liniowe f(t) = t1(t) w
zależności od parametrów pierwotnych tego układu.
t
'
r(t) = h(t) f (0)+ -� ) f (� )d�
Zal. (16.25c)
+"h(t
0
'
f (0)= 0 f (� ) = 1(� )
R
t
�# ś#
(t -� )
1
ś#1- e- L ź#1
i(t) = h(t)�" 0 + (� )d� =
+"
1 3
2
ś# ź#
R
0
�# #
0
R R
t t
- t + �
1 1
L L
= 1(� )d� - e 1(� )d� =
+" +"
R R
0 0
t
t
R R
- t + �
1 1 L
�# ś#
L L
= � - e =
ś# ź#
R R R
�# #
0
0
R R R
�# ś#
t + t - t
1 L
ś#e- L L L ź#
= t - - e =
ź#
R
R2 ś#
�# #
R
�# ś#
t
1 L
ś#e0 e- L ź#
= t - - =
ź#
R
R2 ś#
�# #
R
Ą# ń#
�# ś#
t
1 L
ś#1- e- L ź#Ą# 1(t)
= ó# -
t
ź#Ą#
R2 ś#
ó#R
�# #
Ł# Ś#
dr inż. Marek Szulim
11 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
16.4. ZWI
ZKI MI
DZY CHARAKTERYSTYKAMI
CZASOWYMI I CZ
STOTLIWOŚCIOWYMI
WPROWADZENIE
Znajomość transmitancji bądz
immitancji operatorowej układu pozwa-
la wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową stanu ustalonego dla
układu klasy SLS, stabilnego, prawie we wszystkich punktach �"(0."),
przez proste podstawienie s=j�. Zatem
K( j�) = K(s)
(16.26)
s= j�
Wykorzystując jednostronne przekształcenie Laplace a (10.13) mo-
żemy powyższe równanie przekształcić w zależność słuszną dla �"(0.")
" "
-st - j� t
K( j�) = =
+"k(t)e d t +"k(t)e d t (16.27)
0 0
s= j�
Otrzymujemy zatem jednostronne przekształcenie Fouriera, które istnieje
wtedy i tylko wtedy, gdy
"
k(t) dt < "
+"
0
Jak wiemy K(j�), czyli charakterystyka amplitudowo-fazowa, jest
wielkością zespoloną, którą możemy przedstawić w postaci algebraicznej
lub wykładniczej:
j arg K( j� ) j arg K( j� )
K( j�) = K( j�) e = K(�)e
dr inż. Marek Szulim
12 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
ZWI
ZKI GRANICZNE CHARAKTERYSTYK
Twierdzenie o wartości początkowej i końcowej funkcji f(t):
- jeśli F(s) = L [f (t)] oraz istnieje granica lim f (t) = f (0+), to
t0+
lim sF(s)= f (0+)
(16.28)
s"
- jeśli F(s)= L [f (t)] oraz istnieje granica lim f (t) = f ("), to
t"
lim sF(s)= f (")
(16.29)
s0
Zatem jeśli operatorową funkcją układu jest transmitancja K(s) a cha-
rakterystyka impulsowa posiada skończone granice zarówno dla t0+ jak i
t", to słuszne są związki
�#
lim s K(s) = k(")
�#
s0
�#
(16.30)
Ź#
�#
lim s K(s) = k(0+)
�#
s"
�#
Jeśli wez
miemy pod uwagę charakterystykę skokową (przejściową)
układu, to możemy zapisać przy założeniu, że h(t) posiada granice zarów-
no dla t0+ jak i t" oraz uwzględniając zależności (16.18)
�#
lim s H(s)= lim K(s)= h(")
�#
s0 s0
�#
(16.31)
Ź#
�#
lim s H(s)= lim K(s) = h(0+)
�#
s" s"
�#
następnie uwzględniając wzór (16.26) otrzymujemy:
dr inż. Marek Szulim
13 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
�#
lim K(s) = lim K(�)= h(")
�#
s0 � 0
s= j�
�#
(16.32)
Ź#
�#
lim K(s) = lim K(�) = h(0+)
�#
s" � "
s= j�
�#
Są to związki o bardzo dużym znaczeniu praktycznym. Wynika z nich
jednoznacznie, że jeśli znamy np. charakterystykę amplitudową K(�), to
jej graniczne wartości określają jednoznacznie graniczne wartości funkcji
skokowej (przejściowej) h(t) i odwrotnie.
h(t) K(�)
1 1
0 0
t �
ZWI
ZKI PARAMETRÓW CHARAKTERYSTYK
Jako podstawowe parametry charakterystyk czasowych przyjmuje się
między innymi:
tn  czas narastania,
to  czas opóz
nienia,
Z - zwis
dr inż. Marek Szulim
14 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
Czas narastania tn - układu dolnoprzepustowego definiujemy jako czas
wzrostu charakterystyki skokowej (przejściowej)
układu od 0,1 do 0,9 wartości ustalonej
tn = t0,9 - t0,1
(16.33)
Czas opóz
nienia to - układu dolnoprzepustowego definiujemy jako czas
wzrostu charakterystyki skokowej (przejściowej)
układu od 0 do 0,5 wartości ustalonej
to = t0,5 - t0
(16.34)
h(t)
h =1
ust
0,35 � 0,45
0,9
tn =
(16.35)
fg
0,5
0,1
0,1
to =
(16.36)
fg
0
to t
tn
Funkcję zwisu Z(t) - układu górnoprzepustowego definiujemy:
Z(t) = h(t)ust - h(t) = h(0)- h(t)
(16.37)
h(0)- h(t)
Z%(t)= �"100%
lub funkcję zwisu w procentach (16.38)
h(0)
h(t)
h(0)
Dla małych wartości t
Z(ti)
Z%(t) H" 200Ą fg t
(16.39)
0
t
ti
dr inż. Marek Szulim
15 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
PRZYKA
AD 2: Dla układu przedstawionego na rysunku, mając dane
R1=9k�, R2=1k�, C=1mF, wyznaczyć:
R1
1. charakterystykę skokową,
2. czas narastania i opóz
nienia,
u1(t) u2(t)
C R2
3. charakterystykę impulsową.
Ad.1.
" Podajemy skok jednostkowy na wejście układu i przedstawiamy
schemat operatorowy układu
R1 R1
U1(s) U2(s) U1(s) U2(s)
R2 Z2(s)
1/sC
1
R2
R2
sC
gdzie: Z2(s)= =
1
+ R2 1+ sR2C
sC
" Korzystając z dzielnika napięcia wyznaczamy operatorową funkcję
układu
R2
Z2(s) 1+ sR2C R2
K(s) = = =
R2
Z2(s)+ R1
+ R1 R2 + R1(1+ sR2C)
1+ sR2C
R2 1
= =
R2 + R1 + sR1R2C 10 + 9s
dr inż. Marek Szulim
16 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
" Wyznaczamy operatorową odpowiedz
układu na wymuszenie sko-
kiem jednostkowym (zależność 16.17)
1
K(s)= 10 + 9s = 1
H(s) =
s s s(10 + 9s)
UWAGA: znając H(s) możemy wyznaczyć (zal.16.31)
1 1
h(0+)= lim s H(s) = lim s = lim = 0
s" s" s"
s(10 + 9s)10 + 9s
1
h(")= lim s H(s)= lim = 0,1
s0 s0
10 + 9s
" Wyznaczamy charakterystykę czasową skokową układu (zal.16.21)
h(t) = L-1[H(s)]= L-1Ą# 1 ń#
ó#s + 9s)Ą#
(10
Ł# Ś#
1
1
L-1
(1 - e-a t)
s( s + a)
a
Lp.9.
Ą# ń# Ą# ń#
1
ó# Ą# ó# Ą#
1
h(t)= L-1Ą# 1 ń# = L-1 9 10 = L-1 1 Ą#
ó# Ą# ó#
ó#s +10)Ą#
(9s
Ł# Ś# ó#s �# s + ś#Ą# 9 ó#s �# s + 10ś#Ą#
ś# ź#Ą# ś# ź#Ą#
ó# ó#
9 9
�# # �# #
Ł# Ś# Ł# Ś#
Ą# ń#
10
�# ś#Ą#
- t
ó#
1 1
h(t)= (1)
ó#10 ś#1- e 9 ź#Ą#1
ś# ź#Ą#
9
ó#
�# #
Ł# 9 Ś#
dr inż. Marek Szulim
17 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
10
�# ś#
t
ś#0,1- 0,1e- 9 ź#1
h(t) = (t)
ś# ź#
�# #
0.12
0.1
0.08
0.06
h( t )
0.04
0.02
0
0
0 1 2 3 4 5
0 t 5
Ad.2.
tn = t0,9 - t0,1
Czas narastania tn -
to = t0,5 - t0
Czas opóz
nienia to -
Wiemy już, że
t0 = h(0+)= 0
tustal = h(")= 0,1
dr inż. Marek Szulim
18 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
h(t0,9)= 0,9 �" 0,1 = 0,09
10
- t
9
0,1- 0,1e = 0,09
10
- t
9
- 0,1e = 0,09 - 0,1
10
- t
9
- 0,1e = -0,01
10
- t
9
e = 0,1
10
- t = ln(0,1)
9
10
- t = -2,303
9
stąd: t0,9 = 2,073
h(t0,1)= 0,1�" 0,1 = 0,01
stąd: t0,1 = 0,095
czyli:
tn = t0,9 - t0,1 = 2,073 - 0,095 = 1,977
h(t0,5)= 0,5�" 0,1 = 0,05
stąd: t0,5 = 0,624
czyli:
to = t0,5 - t0 = 0,624 - 0 = 0,624
dr inż. Marek Szulim
19 /20
e-mail: [e-mail]
OBWODY I SYGNAA
Y 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
Ad.3.
Sposób 1
Znając charakterystykę skokową, można wykorzystać zal. 16.22.
10 10
Ą# ń#
�# ś# �# ś#
- t - t
d h(t) d 10
9 ź# ś# 9 ź#
ó#ś# Ą#
k(t)= = 0,1- 0,1e 1(t) = 0,1 e 1(t)
ź# ś# ź#
d t dt 9
ó#ś# Ą#
�# # �# #
Ł# Ś#
10
�# ś#
- t
1
ś# 9 ź#
k(t) = e 1(t)
ś# ź#
9
�# #
Sposób 2
Znając operatorową funkcję układu
1
K(s)=
10 + 9s
wykorzystujemy zal.16.20:
10
�# ś#
- t
1
ś# 9 ź#
k(t) = L-1[K(s)]= L-1Ą# 1 ń# = e 1(t)
ó#
ź#
10 + 9sĄ# ś# 9
Ł# Ś#
�# #
1
L-1
-a t
e
s + a
Lp.5.
0.12
0.1
0.08
0.06
k( t )
0.04
0.02
0
0
0 1 2 3 4 5
0 t 5
dr inż. Marek Szulim
20 /20
e-mail: [e-mail]