XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Zbigniew LIPSKI1
CZASOWO-WIDMOWA CHARAKTERYSTYKA
PARASEJSMICZNYCH WYMUSZEC
KINEMATYCZNYCH
1. Wprowadzenie
W analizie sygnałów powszechnie wykorzystywane są amplitudowe i fazowe charakterystyki
widmowe i gęstości widmowe mocy. Ogólnie rzecz ujmując pozwalają one na rozpoznawanie
własności widmowych sygnałów, natomiast w dynamice budowli są przydatne do np. ogólnej
oceny korelacji pomiędzy widmem obciążenia dynamicz-nego a widmem własnym obciążanego
obiektu. Można dzięki niej wskazać na możli-wość powstania rezonansów, stałych lub
przejściowych, sprawdzić zakres możliwego przestrojenia obiektu lub zmiany obciążenia. Również
w przypadku, gdy obciążenie dynamiczne ma charakter wymuszenia kinematycznego przydatne są
jego charakterys-tyki widmowe. Dotyczy to np. wymuszeń typu parasejsmicznego, które związane
jest ze wstrząsami górniczymi. Mogą nimi być akcelerogramy rejestrowane w stacjach
pomiarowych zlokalizowanych na powierzchni gruntu, które stosuje się jako wymu-szenia
kinematyczne obiektów poddawanych analizie np. numerycznej w celu określenia ich odpowiedzi
dynamicznej na to wymuszenie.
Akcelerogramy związane ze wstrząsami górniczymi wykazują silną niestacjo-narność
rozkładu prawdopodobieństwa w trakcie ich trwania, a co za tym idzie także charakterystyk
widmowych. Klasyczne podejście wymaga zastosowania w trakcie ich analizy redukcji efektu
niestacjonarności za pomocą okienkowej transformaty Fouriera (krótkoczasowej). Otrzymuje
się wtedy ewolucyjne charakterystyki widmowe. Zastoso-wanie krótkoczasowych transformat
Fouriera prowadzi jednak do bardzo znacznej utraty rozdzielczości charakterystyki w dziedzinie
częstotliwości. Wynika to z ograniczenia czasu trwania segmentów, na które dzielony jest
pierwotny sygnał w trakcie analizy. Otrzymane charakterystyki widmowe mogą być w związku
z tym zupełnie  nieczytelne i nie dają oczekiwanych informacji np. w postaci pasm
dominujących co do amplitudy składowych sygnału. Bardziej wiarygodną analizę widmową
akcelerogramów związanych ze wstrząsami górniczymi może zapewnić zastosowanie
transformaty falkowej.
W niniejszym referacie przedstawiono próbę zastosowania transformaty falkowej do analizy
własności widmowych akcelerogramów od wstrząsów górniczych. Transformaty te z natury swojej
1
Dr inż., Wydział Budownictwa Politechniki Śląskiej w Gliwicach
126
przystosowane są do analizy sygnałów niestacjonarnych i umożliwiają prezentację ich własności
widmowych ewoluujących w czasie. Na przykład w [1] przestawiono możliwość analizy obiektu
dwuwymiarowego  zdjęcia z zastosowaniem tej transformacji w celu kompresji ilości danych
niezbędnych do jego odtworzenia. W [2] analizę falkową wykorzystywano do badania sygnałów
będących rejestracjami drgań podłoża gruntowego pod pokładami torowiska kolejowego
wywołanych przejazdem pociągu ekspresowego z prędkością 110 km/h. W [3] analizowano wpływ
nieliniowych własności modelu dynamicznego układu nośnego samolotu badanego w tunelu
aerodynamicznym. Oceny związku pomiędzy charakterystykami mechanicznymi układu nośnego
skrzydła a oddziaływaniem ośrodka dokonano z wykorzystaniem map współczynników
przekształcenia falkowego , w którym zastosowano falkę Morleta.
2. Podstawy teoretyczne
Wykonanie rozwinięcia Fouriera sygnału rzeczywistego oznacza jego rozkład na składowe
harmoniczne (częstotliwościowe). Dotyczy to sygnałó w ciągłych lub dyskretnych w czasie.
Te rozwinięcia mogą być podane w postaci całki względem częstotliwości lub w postaci
sumy (szeregu) składowych, które podają jak gdyby  udziały poszczególnych
harmonicznych o określonych częstotliwościach w sygnale oryginalnym [1]. Ciągłe
przekształcenia Fouriera wyrażone jest za pomocą wzoru:
" "
1
f (t) = F(É)eiÉtdÉ, F(É) = f (t)e-iÉtdt. (1)
+" +"
2Ä„
-" -"
Współczynnik Fouriera F(É) wyraża korelacjÄ™ funkcji (sygnaÅ‚u) z falÄ… sinusoidalnÄ… eiÉt.
Dziedzina funkcji bazowych eiÉt obejmuje caÅ‚Ä… oÅ› rzeczywistÄ…, wiÄ™c F(É) zależy od wartoÅ›ci
f(t) dla wszystkich t"R (oś liczb rzeczywistych). Wynika z tego, że w zasadzie za pomocą
przekształcenia Fouriera można analizować własności sygnałó w odnoszące się do całej osi
rzeczywistej. Można więc stwierdzić, że w zagadnieniach dynamiki konstrukcji transformacja
ta umożliwia ścisłą analizę w odniesieniu do bardzo długich sygnałó w związanych z
dynamicznymi stanami ustalonymi. Natomiast analiza własności lokalnych w dziedzinie
czasu (stany nieustalone) z wykorzystaniem przekształcenia Fouriera jest obarczona błędami.
Przekształcenie to charakteryzuje się więc [1] nieskończenie ostrą lokalizacją częstotliwości,
ale nie daje żadnej lokalizacji czasowej. Stąd potrzeba dekompozycji sygnału względem
zbioru funkcji dobrze zlokalizowanych w dziedzinie czasu i częstotliwości.
W związku z ogólnymi ograniczeniami dotyczącymi rozdzielczości w dziedzinie czasu i
częstotliwości analiza akcelerogramów opisujących drgania powierzchni ziemi wywołanych
przez wstrząsy górnicze wymaga zastosowania innego narzędzia niż transformata Fouriera.
Dotyczy to także charakterystyk bazujących na tej transformacie. Dlatego podjęto niniejszą
próbę wykorzystania transformaty falkowej w odniesieniu do zagadnienia parasejsmicznego.
Ciągłe przekształcenie falkowe określone jest [1] dla funkcji f(t)"L2(R)
(przestrzeÅ„ Hilberta) i dopuszczalnej falki podstawowej È(t) znormalizowanej tak, że
ma jednostkowÄ… energiÄ™, za pomocÄ… wzoru
"
Wf (a,b) = f (t)È (t)" dt. (2)
ab
+"
-"
 127
Natomiast transformata odwrotna ma postać
" "
1 dadb
f (t) = Wf (a,b)È (t) , (3)
ab
+" +"
CÈ
a2
-" -"
gdzie:
" - funkcja zespoloną, sprzężoną,
a, b  parametry funkcji falkowej,
" 2
¨(É)
CÈ = dÉ , (4)
+"
É
0
¨(É)  transformata Fouriera funkcji È(t).
Funkcja falki ma ogólną postać [1]
1 t - b
ëÅ‚ öÅ‚, a , b
È (t) = È " R+ " R, (5)
ìÅ‚ ÷Å‚
ab
a
a íÅ‚ Å‚Å‚
W szczególności można przyjąć a0 = 2 i b0 =1. Otrzymuje się wtedy falki w postaci zwanej
diadyczną, dla której przekształcenie falkowe ma postać
"
1 t - b
ëÅ‚ öÅ‚
Wf (2m ,b) = f (t) È dt. (6)
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
2m íÅ‚ 2m Å‚Å‚
-"
Można jÄ… interpretować [1] w nastÄ™pujÄ…cy sposób: falka È(t) przesuwana jest w czasie z
krokiem 2m , co odbywa się na poziomie skali m, kolejne potęgi 2m wyznaczają próbkowanie
na osi skali. Można przy tym oś skali interpretować jako oś częstości (częstotliwości). Jeśli
bowiem widmo falki podstawowej ma czÄ™stość Å›rodkowÄ… É0 to czÄ™stość Å›rodkowa widma
falki Èmn ma czÄ™stość Å›rodkowÄ… É0/2m .
3. Zasady analizy akcelerogramów
W niniejszej pracy wykorzystano do analiz akcelerogramów związanych ze wstrząsami
górniczymi środowisko obliczeniowe Matlab. Dostępny jest w nim toolbox przystosowany
wykorzystania transformaty falkowej sygnałó w. Możliwe są różne operacje na sygnałach:
- detekcja nieciągłości i skoków,
- detekcja składowych długookresowych (trendów),
- analiza częstotliwościowo  czasowa gęstości mocy,
- usuwanie (filtracja) szumów i zakłó ceń,
- dekompozycja i rekonstrukcja sygnałó w jednowymiarowych,
- kompresja danych polegająca na ograniczeniu liczby współczynników w rozwinięciu
falkowym.
Dostępne są następujące typy falek: Haara, Daubechies, Meyera, Morleta, symlet, coiflet,
typu meksykański kapelusz i splinowe falki biortogonalne. Wykazują one różne własności.
128
Najważniejszymi z punktu widzenia analizy akcelerogramów są: symetryczność, regularność,
szybka zbieżność do zera dla czasu lub częstotliwości zmierzających do nieskończoności. Istnieją
dwie drogi syntezy falek: bezpośrednia i pośrednia. Bezpośrednia polega na przesuwaniu w
dziedzinie czasu i skalowaniu ciągłej falki podstawowej. Falkę podstawową otrzymuje się z funkcji
skalującej spełniającej pewne założenia, za pomocą sprzężonego filtra lustrzanego. Natomiast
podejście pośrednie realizowane jest za pomocą dyskretnych filtrów o skończonej długości.
4. Analiza falkowa akcelerogramów
Wykorzystując możliwości obliczeniowe pakietu Matlab wykonano analizę wybranych
akcelerogramów zarejestrowanych dla wstrząsów górniczych.
-2,0 0 2,0
Skala
Rys. 1. Współczynniki transformaty falkowej akcelerogramu
zarejestrowanego 25.02.2000, składowa pozioma
Ä™
ść
 129
PochodÄ… one ze stacji pomiarowych zlokalizowanych na powierzchni ziemi w
Legnicko- Głogowskim Okręgu Miedziowym. Akcelerogramy te stanowią składowe poziome
przyspieszenia wywołanego przez 9 różnych wstrząsów górniczych. Mapy współczynników
transformaty falkowej dla dwóch wybranych akcelerogramów przedstawiono na rys. 1 i 2.
-3,6 0 3,3
Skala
Rys. 2. Współczynniki transformaty falkowej akcelerogramu
zarejestrowanego 18.07.2000, składowa pozioma
Zarejestrowano je w Polkowicach w okresie 1998 do 2001 roku i zwiÄ…zane sÄ… z
najintensywniejszymi wstrząsami z tego okresu. Były one wcześniej wykorzystywane jako
Ä™
ść
130
wymuszenia kinematyczne w trakcie szczegółowej analizy numerycznej [4] budynków
jednorodzinnych.
Spośród dostępnych funkcji do obliczeń stosowano falki typu symlet rzędu 6, które ze
względu na kształt były najbardziej odpowiednie dla prowadzonej analizy. Okres
dyskretyzacji oryginalnego sygnału wynosił 0,002 s. Stosowano liczbę poziomów w
granicach 1 do 200 przy skoku co 2, które odpowiadają częstotliwościom od 2 do 360 Hz. Na
podstawie wykresu analizowanego sygnału (przyspieszenie) naniesiono oś czasu jego
trwania, która jest także osią czasu mapy współczynników transformaty falkowej . Wartości
współczynników przedstawiono w skali szarości od minimum do maksimum.
5. Podsumowanie
Celem przedstawionej próby analizy akcelerogramów traktowanych jako wymuszenie
kinematyczne z zastosowaniem transformacji falkowej było przede wszystkim rozpoznanie
problemów z nią związanych oraz sprawdzenie przydatności w dynamice budowli.
Otrzymane wykresy czasowo  widmowe współczynników transformat falkowych pozwalają
na sformułowanie ogólnych uwag.
- Na wykresach wyraz
nie widoczna jest ewolucja w czasie własności widmowych
akcelerogramów. W większości przypadków zmiany własności w czasie następują
stosunkowo wolno. Sporadycznie pojawiają się jednak gwałtowne zmiany widma
sugerujÄ…ce pojawienie siÄ™ w chwili czasu tn nowego typu fal sejsmicznych. Na wykresach
widoczne to jest jako trójkątna smuga rozciągnięta wzdłuż osi częstotliwości a skupiona
na chwili tn . Można więc, w granicach rozdzielczości w czasie i częstotliwości
transformaty falkowej, ocenić niestacjonarności charakterystyk widmowych
analizowanego sygnału.
- Wyraz
nie czytelne są na wykresach zależności pomiędzy wartością chwilową amplitudy
przyspieszenia a wartością współczynników transformaty falkowej.
- Mając na względzie charakterystyczny wykres (mapę) współczynników transformaty
falkowej dla krótkoczasowego sygnału harmonicznego można wyróżnić w
akcelerogramach krótkoczasowe przebiegi harmoniczne.
Dostosowanie przedstawionej analizy falkowej akcelerogramów do potrzeb dynamiki
budowli narażonych na obciążenia typu parasejsmicznego wymaga dalszych analiz i badań.
Najważniejszym z tego punktu widzenia będzie określenie związku pomiędzy typem wykresu
(mapy) współczynników transformaty falkowej a odpowiedzią dynamiczną obiektu
budowlanego. Własności dynamiczne obiektu charakteryzowane są przez częstotliwości
drgań własnych i postacie modalne. Określenie przybliżonych związków pomiędzy mapą
współczynników transformat falkowych a charakterystyką dynamiczną budynku pozwoliłoby
na ograniczenie zakresu obliczeń numerycznych obiektu, w których wykorzystane byłyby
tylko niezbędne wymuszenia kinematyczne.
Literatura
[1] BIAA
ASIEWICZ J., Falki i aproksymacje. Wyd. Nauk.-Techniczne, Warszawa, 2000.
[2] SMUTNY J., PAZDERA L., Analysis of signals using the wavelet transformation.
Stavebni Obzor, no 7, p. 214-219, Praga, 1998.
[3] LIND R., SNYDER K., BRENNER M., Wavelet analysis to characterise non-linearities
and predict limit cycles of an aeroelastic system. Mechanical Systems and Signal
Processing, 2001, Vol. 15, no.2, Academic Press, s.337 -356.
 131
[4] LIPSKI Z., WAWRZYNEK A., Numerical effort analysis of buildings with paraseismic
loading supported with measurements. I International Scient. Seminar  New Trends in
Statics and Dynamics of Buildings, Seminar proceedings, Bratislava, 2001, p. 155 
160.
TIME-SPECTRAL CHARACTERISTICS
OF PARASEISMIC, KINEMATIC EXCITATION
Summary
This paper presents test analysis of horizontal, ground acceleration of mining tremors, which
were carried out at seismological station in Legnicko  Głogowski Okręg Miedziowy. in the
years 1998  2001. The analysis of nine accelerograms was carried out using the wavelet
transformation instead traditionally used short  time Fourier transformation. The wavelet
transformations are used in analysis of nonstationary signals because they exactly presented
spectral characteristics of signals evolved in time. The presented analysis of accelerograms of
mining tremors shows that wavelet transformation may be useful in the investigations of
buildings with paraseismic loading.