Dla zadanej figury płaskiej o gęstości ρ =1 wyznaczyć główne centralne osie i momenty bezwładności.
D
G
C
O3
F
O1
O2
x
E
A
B
Podział na obszary:
Prostokąt ABCD + ćwiartka koła EAF - ćwiartka koła FGD
Położenia środka masy:
π ⋅ 22
⋅32
M =
π
5 ⋅ 6 +
−
M = 2 ,
6 073
4
4
π ⋅ 22 4 ⋅ 2 π ⋅32
4 ⋅ 3
S
S
xz = 51 3
, 24
xz = 5 ⋅ 6 ⋅
5
,
2 +
⋅
−
⋅5 −
4
3 ⋅ π
4
3 ⋅π
π ⋅ 22 4 ⋅ 2 π ⋅32 4 ⋅3
S
S
yz = 78 3
, 34
yz = 5 ⋅ 6 ⋅ 3 +
⋅−
−
⋅
4
3 ⋅π
4
3 ⋅π
S
x
yz
x = 0
,
3 04
0 = M
0
S
y
xz
y = 9
,
1 68
0 = M
0
Momenty w punkcie A:
ABCD
EAF
FGD
3
4
2
2
4
2
2
5 ⋅ 6
π ⋅ 2
π ⋅3
π ⋅3 4 ⋅3
π ⋅3
4 ⋅ 3
I
I
x = 150 5
, 23
x =
+
−
−
⋅
+
⋅5 −
3
16
16
4
3 ⋅π
4
3 ⋅π
ABCD EAF FGD
63 ⋅ 5
π ⋅ 24 π ⋅34
I
I
y = 34 ,
7 237
y =
+
−
3
16
16
EAF
FGD
2
2
4
5 ⋅ 6
2
34
π ⋅32 4 ⋅3 4 ⋅3 π ⋅32
4 ⋅ 3 4 ⋅ 3
D
D
z = 188 1
, 25
z =
−
− −
−
⋅
⋅ −
+
⋅5 −
⋅
4
8
8
4
3 ⋅π 3⋅π
4
3 ⋅π 3 ⋅π
Momenty w środku masy:
2
I
= I − M ⋅ y x 0
x
0
I
I
x
= 49 5
, 42
x
= 150 5
, 23 − 26 0
, 73 ⋅ ( 9
,
1 68)2
0
0
2
I
= I − M ⋅ x y 0
y
0
I
I
y
= 111 9
, 54
y
= 34 ,
7 237 − 26 0
, 73 ⋅ ( 0
,
3 04)2
0
0
D
= D − M ⋅ x ⋅ y z 0
z
0
0
D
D
z
= 33 9
, 85
z
= 1881,25 − 26 0
, 73 ⋅ 0
,
3 04 ⋅ 9
,
1 68
0
0
Główne centralne momenty bezwładności: 2
I
+ I
I
− I
x 0
y 0
x 0
y 0
2
I =
+
+ D
1
z 0
2
2
2
49 5
, 42 + 111 9
, 54
49 5
, 42 − 111 9
, 54
2
I =
+
+ 3
( 3 9
, 8 )
5
I = 126 8
, 87
2
1
2
2
2
I
+ I
I
− I
x 0
y 0
x 0
y 0
2
I =
−
+ D
2
z 0
2
2
2
49 5
, 42 + 111 9
, 54
49 5
, 42 − 111 9
, 54
2
I =
−
+ 3
( 3 9
, 8 )
5
I = 34 6
, 09
2
2
2
2
Sprawdzenie:
I
+ I = I + I x 0
y 0
1
2
2
I
⋅ I − D
= I ⋅ I
x 0
y 0
z 0
1
2
Główne centralne osie bezwładności: Dz 0
tan α =
1
I
− I
y 0
1
tan α
α
1 = −6 ,
6 2 °
8
1 =
33 9
, 85
⇒
111 9
, 54 − 126 8
, 87
Dz 0
tan α =
2
I
− I
y 0
2
tan α
α
2 = 23 7
,
°
2
2 =
33 9
, 85
⇒
111 9
, 54 − 3 ,
4 609
Sprawdzenie: α + α = 9 °
0
2
1
y0
y
2
x0
a2
a1
0*
x
1