Powtórzenie i uzupełnienie wiadomości o funkcjach ( na 3 ćwiczenia)
2.1. Wyznaczyć dziedziny naturalne funkcji.
x + 3
x
√
x − 13
(a) f ( x) =
,
(b) f ( x) =
,
(c) f ( x) =
3 x − x 3,
(d) f ( x) = √
.
x 2 + 9
6 x 2 − x − 1
3 x 2 − 1
2.2. Przekształcając wykres odpowiedniej funkcji liniowej narysowć wykres podanej funkcji. Odczytać z wykresu zbiór wartości.
(a) f ( x) = | 4 − 2 x|, (b) f ( x) = 4 − 2 |x|,
√
x + 2 dla
|x| ¬ 1
(c) f ( x) =
x 2 + 4 x + 4,
(d) f ( x) =
.
1
dla
|x| > 1
2.3. Związek między temperaturą C wyrażoną w ◦ C, a temperaturą F w ◦ F opisuje funkcja li-niowa F = aC + b. Wyznaczyć współczynniki a, b, jeśli 0 ◦ C to 32 ◦ F, a 100 ◦ C to 212 ◦ F. Jaką temperaturę wskaże termometr wyskalowany w ◦ F, jeśli mamy 37 ◦ C?
2.4. Przekształcając wykres funkcji y = ax 2 narysować wykres funkcji y = f ( x). Odczytać z wykresu zbiór wartości.
(a) f ( x) = x 2 − 4 x + 5, (b) f ( x) = x 2 − 2 |x| + 1 , (c) f ( x) = − 4 − 4 x − 2 x 2, (d) f ( x) = sgn( x 2 − 3 x).
a
a
2.5. Przekształcając wykres funkcji y =
lub y =
narysować wykres funkcji y = f ( x).
x
x 2
Odczytać z wykresu zbiór wartości.
x
x − 1
1
x 2 + 4 x + 3
(a) f ( x) =
,
(b) f ( x) =
,
(c) f ( x) =
,
(d) f ( x) =
.
x − 1
x + 1
( x − 2)2
x 2 + 4 x + 4
2.6. Napisać wzory określające funkcje złożone f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g dla podanych funkcji f i g.
√
(a) f ( x) = x 2 , g( x) = x − 2,
(b) f ( x) =
x,
g( x) = 1 + x 4 , 1
(c) f ( x) = |x| ,
g( x) =
,
(d) f ( x) = x 2 − 2 , g( x) = sgn x.
x + 1
Do przykładów (a), (c), (d) naszkicować wykresy funkcji y = f ( g( x)) oraz y = g( f ( x)).
2.7. Zaproponować przedstawienie funkcji złożonych w postaci g ◦ h. Czy jest tylko jedna para funkcji g, h takich, że f = g ◦ h?
√
1
(a) f ( x) =
x 2 + 16 ,
(b) f ( x) =
,
(c) f ( x) = 4 x 2 + 12 x.
x 4 + 3
√
π
log 2 2 ,
log 0 , 01 ,
log 2 − log 18 ,
3 log 5 + 0 , 5 log 64 ,
log tg
,
2
3
3
3
6
1 log
√
3 5
6
ln e 3 ,
2log2 3 ,
,
3log √ 3 2 ,
e 2 ln 10 ,
e 1 − ln 10 ,
log 3 · log 8 .
3
2
3
2.9. Narysować wykresy funkcji
1 x
1
(a) f ( x) = 2 |x|,
(b) f ( x) =
− 1 ,
(c) f ( x) = 1 +
,
(d) f ( x) = −e−|x|,
2
ex
(e) f ( x) = log ( x − 1) , (f) f ( x) = log
x ,
(g) f ( x) = ln |x|,
(h) f ( x) = ln x 2 .
2
0 , 5
2.10. Rozwiązać równania i nierówności
1 ( x− 2)2 − 5 x
1 5
(a)
=
,
(b) 4 x + 24 = 5 · 2 x+1 , (c) | 2 x − 5 | < 2 , 2
4
(d) | 3 log x − 1 | = 2 , (e) log ( x + 1) − log x > 1 , (f) ln2 x + ln x 2 .
2
2
2.11. Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór punktów, których współrzędne ( x, y) spełniają podany warunek
(a) log y = log x + log 3 , (b) log
y = 2 log
( x + 1) ,
(c) log |y| = log |x| + log 0 , 5 .
2
2
2
0 , 5
0 , 5
2.12. Wyprowadzić wzór określający funkcję odwrotną do funkcji f . Narysować w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y = f ( x) i y = f − 1( x).
√
(a) f ( x) = 2 −
x,
(b) f ( x) = 1 − 2 x, (c) f ( x) = log ( x + 1) , 2
(d) f ( x) = x 2 − 2 x + 2
dla
x 1 ,
(e) f ( x) = x 2 − 2 x + 2
dla
x ¬ 1 .
2.13. Wykorzystując okresowość funkcji i koło trygonometryczne obliczyć wartości wyrażeń π
4
13
11
14
25
(a) cos
+ sin π,
(b) sin
π + sin
π,
(c) cos
π + cos
π,
3
3
6
3
3
6
9
13
17
17
20
19
(d) sin − π + cos −
π ,
(e) sin
π + cos
π,
(f) tg
π + ctg
π.
4
4
2
2
3
3
2.14. Udowodnić tożsamości. Podać niezbędne założenia.
1 − tg2 x
2tg x
1
tg2 x
(a) cos x =
2 , (b) sin x =
2
,
(c) cos2 x =
,
(d) sin2 x =
,
1 + tg2 x
1 + tg2 x
1 + tg2 x
1 + tg2 x
2
2
sin x + cos x
(e) 1 + tg x + tg2 x + tg3 x =
,
(f) sin4 x + cos4 x = 1 − 0 , 5 sin2 2 x.
cos3 x
2.15. Krzywą daną równaniem y = a sin( bx+ c)+ d dla ustalonych parametrów a, b, c, d nazywamy sinusoidą. Uzasadnić, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą i narysować ją.
(a) y = sin x cos x,
(b) y = (sin x + cos x)2 , (c) y = cos2 x.
2.16. Narysować wykres funkcji y = f ( x). Odczytać z wykresu okres podstawowy oraz zbiór wartości funkcji.
π
x
(a) f ( x) = cos x +
,
(b) f ( x) = sin x + | sin x|, (c) f ( x) = tg ,
(d) f ( x) = | ctg πx|.
3
2
2.17. Rozwiązać równania i nierówności.
π
x
(a) cos 2 x = 0 ,
(b) sin 3 x +
= − 1 ,
(c) tg
= 1 ,
3
2
π
x
(d) sin x +
¬ 0 ,
(e) cos
> 0 ,
(f) ctg2 x < 1 .
4
3
2.18. Obliczyć wartości wyrażeń
x
x
1
π
(a) w = arcsin
− arccos
+ arctg , jeśli arcctg x =
;
2
2
x
6
2 π
(b) w = arcsin( −x) + arccos 2 x + arctg2 x, jeśli arccos x =
;
3
1
3
8
(c) tg arccos
;
(d) sin arcsin
+ arcsin
.
3
5
17
2.19. Rozwiązać równania wykorzystując funkcje cyklometryczne
√
1
1
π
3
3
(a) sin x =
, (b) sin x = − ,
(c) cos x +
=
,
(d) cos x = − ,
(e) tg2 x = 5 .
3
4
5
3
4
Wszystkie wiadomości szkolne można powtórzyć i uzupełnić korzystając z podręcznika: M.Gewert, Z.Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydaw-nicza GiS, Wrocław 2009.
Jolanta Sulkowska