Literatura
A. Palczewski Równania ró»niczkowe zwyczajne"
B. Przeradzki Teoria i praktyka równa« ró»niczkowych
zwyczajnych"
H. Amann Ordinary Dierential Equations"
F. Verhulst Nonlinear Dierential Equations and
Dynamical Systems"
L. Evans Równania ró»niczkowe cz¡stkowe"
H. Marcinkowska Wst¦p do teorii równa« ró»niczkowych
cz¡stkowych"
B. Przeradzki Równania ró»niczkowe cz¡stkowe -
wybrane zagadnienia"
Literatura
A. Palczewski Równania ró»niczkowe zwyczajne"
B. Przeradzki Teoria i praktyka równa« ró»niczkowych
zwyczajnych"
H. Amann Ordinary Dierential Equations"
F. Verhulst Nonlinear Dierential Equations and
Dynamical Systems"
L. Evans Równania ró»niczkowe cz¡stkowe"
H. Marcinkowska Wst¦p do teorii równa« ró»niczkowych
cz¡stkowych"
B. Przeradzki Równania ró»niczkowe cz¡stkowe -
wybrane zagadnienia"
Literatura
A. Palczewski Równania ró»niczkowe zwyczajne"
B. Przeradzki Teoria i praktyka równa« ró»niczkowych
zwyczajnych"
H. Amann Ordinary Dierential Equations"
F. Verhulst Nonlinear Dierential Equations and
Dynamical Systems"
L. Evans Równania ró»niczkowe cz¡stkowe"
H. Marcinkowska Wst¦p do teorii równa« ró»niczkowych
cz¡stkowych"
B. Przeradzki Równania ró»niczkowe cz¡stkowe -
wybrane zagadnienia"
Literatura
A. Palczewski Równania ró»niczkowe zwyczajne"
B. Przeradzki Teoria i praktyka równa« ró»niczkowych
zwyczajnych"
H. Amann Ordinary Dierential Equations"
F. Verhulst Nonlinear Dierential Equations and
Dynamical Systems"
L. Evans Równania ró»niczkowe cz¡stkowe"
H. Marcinkowska Wst¦p do teorii równa« ró»niczkowych
cz¡stkowych"
B. Przeradzki Równania ró»niczkowe cz¡stkowe -
wybrane zagadnienia"
Literatura
A. Palczewski Równania ró»niczkowe zwyczajne"
B. Przeradzki Teoria i praktyka równa« ró»niczkowych
zwyczajnych"
H. Amann Ordinary Dierential Equations"
F. Verhulst Nonlinear Dierential Equations and
Dynamical Systems"
L. Evans Równania ró»niczkowe cz¡stkowe"
H. Marcinkowska Wst¦p do teorii równa« ró»niczkowych
cz¡stkowych"
B. Przeradzki Równania ró»niczkowe cz¡stkowe -
wybrane zagadnienia"
Literatura
A. Palczewski Równania ró»niczkowe zwyczajne"
B. Przeradzki Teoria i praktyka równa« ró»niczkowych
zwyczajnych"
H. Amann Ordinary Dierential Equations"
F. Verhulst Nonlinear Dierential Equations and
Dynamical Systems"
L. Evans Równania ró»niczkowe cz¡stkowe"
H. Marcinkowska Wst¦p do teorii równa« ró»niczkowych
cz¡stkowych"
B. Przeradzki Równania ró»niczkowe cz¡stkowe -
wybrane zagadnienia"
Literatura
A. Palczewski Równania ró»niczkowe zwyczajne"
B. Przeradzki Teoria i praktyka równa« ró»niczkowych
zwyczajnych"
H. Amann Ordinary Dierential Equations"
F. Verhulst Nonlinear Dierential Equations and
Dynamical Systems"
L. Evans Równania ró»niczkowe cz¡stkowe"
H. Marcinkowska Wst¦p do teorii równa« ró»niczkowych
cz¡stkowych"
B. Przeradzki Równania ró»niczkowe cz¡stkowe -
wybrane zagadnienia"
Przypomnienie
Podstawowe RRZw: x 0 = f (t , x) , gdzie f : R × Rk ⊃ U → Rk jest ci¡gªa
Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczno±ci
Je»eli dodatkowo f jest lipschitzowsko ci¡gªa ze wzgl¦du na
drug¡ zmienn¡ tzn. dla ka»dego (t0 , x0) ∈ U istnieje jego otoczenie V i liczba L > 0 takie, »e
| f (t , x) − f (t , y) | ≤ L | x − y |, dla (t , x) , (t , y) ∈ V ,
to istnieje δ > 0 taka, »e zagadnienie pocz¡tkowe x 0 = f (t , x) , x(t0) = x0 , ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie
ϕ : (t0 − δ, t0 + δ) → Rk .
Przypomnienie
Podstawowe RRZw: x 0 = f (t , x) , gdzie f : R × Rk ⊃ U → Rk jest ci¡gªa
Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczno±ci
Je»eli dodatkowo f jest lipschitzowsko ci¡gªa ze wzgl¦du na
drug¡ zmienn¡ tzn. dla ka»dego (t0 , x0) ∈ U istnieje jego otoczenie V i liczba L > 0 takie, »e
| f (t , x) − f (t , y) | ≤ L | x − y |, dla (t , x) , (t , y) ∈ V ,
to istnieje δ > 0 taka, »e zagadnienie pocz¡tkowe x 0 = f (t , x) , x(t0) = x0 , ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie
ϕ : (t0 − δ, t0 + δ) → Rk .
Przypomnienie
Rozwi¡zanie to speªnia równanie caªkowe
Z t
ϕ(t) = x0 +
f (s , ϕ(s)) ds .
t0
Równanie rz¦du wy»szego x(n) = f (t , x , x 0, . . . , x(n − 1)) zamienia si¦ na równanie rz¦du pierwszego w przestrzeni
wi¦kszego wymiaru: x 0 1 = x2 , x 0 2 = x3 , . . . , x 0 n = f (t , x1 , x2 , . . . , xn) .
Warunek pocz¡tkowy dla takiego równania wygl¡da tak:
x(t0) = x1 , 0 , x 0(t0) = x2 , 0 , . . . , x(n − 1)(t0) = xn , 0 .
Przypomnienie
Rozwi¡zanie to speªnia równanie caªkowe
Z t
ϕ(t) = x0 +
f (s , ϕ(s)) ds .
t0
Równanie rz¦du wy»szego x(n) = f (t , x , x 0, . . . , x(n − 1)) zamienia si¦ na równanie rz¦du pierwszego w przestrzeni
wi¦kszego wymiaru: x 0 1 = x2 , x 0 2 = x3 , . . . , x 0 n = f (t , x1 , x2 , . . . , xn) .
Warunek pocz¡tkowy dla takiego równania wygl¡da tak:
x(t0) = x1 , 0 , x 0(t0) = x2 , 0 , . . . , x(n − 1)(t0) = xn , 0 .
Przypomnienie
Rozwi¡zanie to speªnia równanie caªkowe
Z t
ϕ(t) = x0 +
f (s , ϕ(s)) ds .
t0
Równanie rz¦du wy»szego x(n) = f (t , x , x 0, . . . , x(n − 1)) zamienia si¦ na równanie rz¦du pierwszego w przestrzeni
wi¦kszego wymiaru: x 0 1 = x2 , x 0 2 = x3 , . . . , x 0 n = f (t , x1 , x2 , . . . , xn) .
Warunek pocz¡tkowy dla takiego równania wygl¡da tak:
x(t0) = x1 , 0 , x 0(t0) = x2 , 0 , . . . , x(n − 1)(t0) = xn , 0 .
Zale»no±¢ od warunku pocz¡tkowego
Lemat Gronwalla
Niech u , v : [a , b] → R ci¡gªe, u ≥ 0 , c ∈ R , t0 ∈ (a , b) .
Je±li dla ka»dego t
Z t
v(t) ≤ c +
u(s)v(s) ds ,
t0
to
Z t
v(t) ≤ c exp
u(s) ds .
t0
Zale»no±¢ od warunku pocz¡tkowego
Lemat Gronwalla
Niech u , v : [a , b] → R ci¡gªe, u ≥ 0 , c ∈ R , t0 ∈ (a , b) .
Je±li dla ka»dego t
Z t
v(t) ≤ c +
u(s)v(s) ds ,
t0
to
Z t
v(t) ≤ c exp
u(s) ds .
t0
Zale»no±¢ od warunku pocz¡tkowego
Ci¡gªa zale»no±¢ od war. pocz.
Przy zaªo»eniach tw. o istnieniu i jednoznaczno±ci je±li
ϕ n : [a , b] → Rk jest rozwi¡zaniem równania x 0 = f (t , x) z warunkiem x(t0) = xn i xn → x0 , to ci¡g ϕ n ⇒ ϕ, gdzie ϕ jest rozwi¡zaniem dla war. pocz. x(t0) = x0 .
Je±li f jest klasy Cp , to zale»no±¢ x0 7→ ϕ(t) jest dla ka»dego t funkcj¡ klasy Cp . Tak samo przy zast¡pieniu Cp
analityczno±ci¡ funkcji.
Je±li mamy rodzin¦ prawych stron f µ : U → Rk zale»n¡ od parametru µ w sposób ci¡gªy (odp. klasy Cp lub analitycznie), to rozwi¡zanie ϕµ zagadnienia x 0 = f µ(t , x) , x(t0) = x0 , jest tak¡ funkcj¡ µ.
Zale»no±¢ od warunku pocz¡tkowego
Ci¡gªa zale»no±¢ od war. pocz.
Przy zaªo»eniach tw. o istnieniu i jednoznaczno±ci je±li
ϕ n : [a , b] → Rk jest rozwi¡zaniem równania x 0 = f (t , x) z warunkiem x(t0) = xn i xn → x0 , to ci¡g ϕ n ⇒ ϕ, gdzie ϕ jest rozwi¡zaniem dla war. pocz. x(t0) = x0 .
Je±li f jest klasy Cp , to zale»no±¢ x0 7→ ϕ(t) jest dla ka»dego t funkcj¡ klasy Cp . Tak samo przy zast¡pieniu Cp
analityczno±ci¡ funkcji.
Je±li mamy rodzin¦ prawych stron f µ : U → Rk zale»n¡ od parametru µ w sposób ci¡gªy (odp. klasy Cp lub analitycznie), to rozwi¡zanie ϕµ zagadnienia x 0 = f µ(t , x) , x(t0) = x0 , jest tak¡ funkcj¡ µ.
Zale»no±¢ od warunku pocz¡tkowego
Ci¡gªa zale»no±¢ od war. pocz.
Przy zaªo»eniach tw. o istnieniu i jednoznaczno±ci je±li
ϕ n : [a , b] → Rk jest rozwi¡zaniem równania x 0 = f (t , x) z warunkiem x(t0) = xn i xn → x0 , to ci¡g ϕ n ⇒ ϕ, gdzie ϕ jest rozwi¡zaniem dla war. pocz. x(t0) = x0 .
Je±li f jest klasy Cp , to zale»no±¢ x0 7→ ϕ(t) jest dla ka»dego t funkcj¡ klasy Cp . Tak samo przy zast¡pieniu Cp
analityczno±ci¡ funkcji.
Je±li mamy rodzin¦ prawych stron f µ : U → Rk zale»n¡ od parametru µ w sposób ci¡gªy (odp. klasy Cp lub analitycznie), to rozwi¡zanie ϕµ zagadnienia x 0 = f µ(t , x) , x(t0) = x0 , jest tak¡ funkcj¡ µ.
Przedªu»anie rozwi¡za«
Przy zaªo»eniach tw. o istnieniu i jednoznaczno±ci ka»de
rozwi¡zanie mo»na przedªu»y¢ w prawo (w lewo) do przedziaªu
[t0 , β) takiego, »e albo β = + ∞, albo
lim sup |ϕ(t) | = ∞
t →β−
albo
lim inf d( ϕ(t) , ∂ U) = 0
t →β−
d(x , A) oznacza odlegªo±¢ punktu x od zbioru A .
Przedªu»anie rozwi¡za«
Przy zaªo»eniach tw. o istnieniu i jednoznaczno±ci ka»de
rozwi¡zanie mo»na przedªu»y¢ w prawo (w lewo) do przedziaªu
[t0 , β) takiego, »e albo β = + ∞, albo
lim sup |ϕ(t) | = ∞
t →β−
albo
lim inf d( ϕ(t) , ∂ U) = 0
t →β−
d(x , A) oznacza odlegªo±¢ punktu x od zbioru A .
Przedªu»anie rozwi¡za«
Przy zaªo»eniach tw. o istnieniu i jednoznaczno±ci ka»de
rozwi¡zanie mo»na przedªu»y¢ w prawo (w lewo) do przedziaªu
[t0 , β) takiego, »e albo β = + ∞, albo
lim sup |ϕ(t) | = ∞
t →β−
albo
lim inf d( ϕ(t) , ∂ U) = 0
t →β−
d(x , A) oznacza odlegªo±¢ punktu x od zbioru A .
Przedªu»anie rozwi¡za«
Tw. o globalnej rozwi¡zalno±ci
Je»eli f : (a , b) × Rk → Rk speªnia zaªo»enia tw. o istnieniu i jednoznaczno±ci i istniej¡ ci¡gªe funkcje M , N : (a , b) → R
takie, »e dla dowolnych t ∈ (a , b) i x mamy
| f (t , x) | ≤ M(t) | x | + N(t) , to istnieje dokªadnie jedno rozwi¡zanie dowolnego zagadnienia
pocz¡tkowego okre±lone na caªym przedziale (a , b) .
Analogiczne twierdzenia zachodz¡ dla równania rzedu n .
Dowody przez sprowadzenie do równania rz¦du 1.
Przedªu»anie rozwi¡za«
Tw. o globalnej rozwi¡zalno±ci
Je»eli f : (a , b) × Rk → Rk speªnia zaªo»enia tw. o istnieniu i jednoznaczno±ci i istniej¡ ci¡gªe funkcje M , N : (a , b) → R
takie, »e dla dowolnych t ∈ (a , b) i x mamy
| f (t , x) | ≤ M(t) | x | + N(t) , to istnieje dokªadnie jedno rozwi¡zanie dowolnego zagadnienia
pocz¡tkowego okre±lone na caªym przedziale (a , b) .
Analogiczne twierdzenia zachodz¡ dla równania rzedu n .
Dowody przez sprowadzenie do równania rz¦du 1.
Przedªu»anie rozwi¡za«
Tw. o globalnej rozwi¡zalno±ci
Je»eli f : (a , b) × Rk → Rk speªnia zaªo»enia tw. o istnieniu i jednoznaczno±ci i istniej¡ ci¡gªe funkcje M , N : (a , b) → R
takie, »e dla dowolnych t ∈ (a , b) i x mamy
| f (t , x) | ≤ M(t) | x | + N(t) , to istnieje dokªadnie jedno rozwi¡zanie dowolnego zagadnienia
pocz¡tkowego okre±lone na caªym przedziale (a , b) .
Analogiczne twierdzenia zachodz¡ dla równania rzedu n .
Dowody przez sprowadzenie do równania rz¦du 1.