Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 22
WZÓR BAYESA. SCHEMAT BERNOULLI’EGO - lista zadań
1. Niech zdarzenie A polega na wyciągnięciu z talii 52 kart kiera, zdarzenie B na wyciągnięciu asa.
Sprawdzić, czy zdarzenia A i B są niezależne.
2. Rzucamy razy kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie, że liczba oczek jest podzielna przez 3, zaś zdarzenie B, że liczba wyrzuconych oczek jest mniejsza od 4, Sprawdzić, czy zdarzenia losowe A i B są niezależne
3. Z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Niech A oznacza zdarzenie:
„za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą”, B - zdarzenie: „iloczyn wylosowanych liczb jest większy od 20”. Sprawdzić, czy zdarzenia A i B są niezależne.
4. Rozpatrzmy rodziny posiadające dwoje dzieci. Czy zdarzenie A: „w rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka” oraz B: „w rodzinie są dzieci obu płci” są niezależne? Rozwiązać to zadanie w przypadku rodzin z trójką dzieci. Przyjąć, że urodzenie się chłopca i dziewczynki jest
jednakowo prawdopodobne.
5. W pudełku znajduje się 120 oporników serii A i 80 oporników serii B. Wybieramy losowo jeden opornik. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to opornik wadliwy, jeżeli w serii A jest 4%
oporników wadliwych, natomiast w serii B jest ich 5%.
6. Partia komputerów została wyprodukowana przez trzy zakłady: Z 1, Z 2, Z 3 odpowiednio w 25%, 25% oraz 50%. Liczba jednostek niesprawnych w poszczególnych zakładach jest równa 1%, 2%,
1%. Zakupiono komputer. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a) jest on niesprawny?
b) pochodzi on z zakładu Z 2, jeżeli okazał się on niesprawny?
7. Prawdopodobieństwo oddania celnego strzału z kolejnych pięciu karabinów przez pewnego
5 3 2 1 1
strzelca wynoszą odpowiednio , , , , . Obliczyć prawdopodobieństwo, że
6 4 3 2 3
a) strzelec wybierając losowo karabin trafi do celu,
b) strzelec wybrał pierwszy karabin. przy założeniu, że oddany strzał był celny.
8. W pierwszym pudełku są trzy losy wygrywające i siedem przegrywających, w drugim cztery
wygrywające i sześć przegrywających, w trzecim pięć wygrywających i pięć przegrywających.
Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie liczba nieparzysta, to losujemy z pierwszego pudełka,
jeśli szóstka – z drugiego pudełka, w pozostałych przypadkach losujemy z trzeciego pudełka.
Znaleźć prawdopodobieństwo, że
a) losowo wybrany los jest przegrany,
b) losowo wybrany los pochodzi z drugiego pudełka, jeśli wiadomo, że jest przegrany,
c) losowo wybrany los pochodzi z trzeciego pudełka, jeśli jest wygrany.
10. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie pięciu orłów w rzucie 10 monetami?
11. Rzucamy 5 razy kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania trzech oczek: a) dokładnie dwa razy, b) dokładnie raz, c) ani razu?
Wzór Bayesa. Schemat Bernoulli’ego – lista zadań
2
12. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba orłów w rzucie 6 monetami?
13. W hali pracuje niezależnie 5 maszyn. Prawdopodobieństwo zepsucia się chociaż raz w ciągu zmiany każdej maszyny jest takie samo i wynosi 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu jednej zmiany:
a) zepsują się dokładnie 2 maszyny,
b) zepsuje się co najwyżej jedna maszyna,
c) zepsują się wszystkie maszyny.
14. Dwie osoby rzucają po 4 razy symetryczną monetę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie
uzyskały tę samą liczbę orłów?
15. Rzucamy 100 razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a) orzeł wypadł dokładnie 55 razy,
b) uzyskaliśmy co najmniej 40, ale nie więcej niż 56 orłów,
c) uzyskaliśmy co najmniej 60 orłów.
16. Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z prawdopodobieństwem 0,8. Strzelec oddał do celu serię 400 strzałów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a) trafił do celu dokładnie 325 razy,
b) liczba trafień mieści się w przedziale 300; 350 ,
c) liczba trafień nie przekracza 310.
17. Rzucamy monetą 100 razy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy więcej niż 54 orły.
Powtórzyć obliczenia i znaleźć prawdopodobieństwo, że otrzymamy więcej niż 540 orłów w
1000 rzutów oraz, że otrzymamy więcej niż 5400 orłów w 10 000 rzutów.
18. W czasie wyborów prezydenckich 51% wyborców oddało głos na kandydata A, 49% na
kandydata B. W dniu wyborów przeprowadzono badania wśród 30 000 losowo wybranych
głosujących pytając o ich preferencje wyborcze. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wynik
sondażu wskazuje na zwycięstwo kandydata A? Z jakim prawdopodobieństwem można
przepowiedzieć wynik wyborów, jeżeli badanie obejmie jedynie 1000 osób?
2