Równania różniczkowe cząstkowe rzędu II Zadanie 1 Określić typ równania różniczkowego:
∂ 2 u
∂ 2 u
∂ 2 u
∂u
a) 3
+ 6
+ 4
+ ( x 2 + y)
= 0 ,
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂x
∂ 2 u
∂ 2 u
b)
− 4
= 0 ,
∂x 2
∂t 2
∂ 2 u
∂ 2 u
∂ 2 u
∂u
c)
+ 2 cos x
− sin2 x
− sin x
= 0 ,
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂x
∂ 2 u
∂ 2 u
∂ 2 u
∂u
d) sin2 x
− 2 y sin x
+ y 2
+ y
+ u( x, y) = 0 ,
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂x
∂ 2 u
∂ 2 u
∂u
e) (1 + x 2)
+ (1 + y 2)
+ x
= 0 , .
∂x 2
∂y 2
∂y
0dp. a), e) typ eliptyczny; b), c) typ hiperboliczny; d) typ paraboliczny.
Zadanie 2 Rozwiązać równanie różniczkowe cząstkowe:
∂ 2 u
a)
= x 2 + y,
∂x∂y
∂ 2 u
b)
= xy 2 − ex,
∂x∂y
∂ 2 u
c)
= 4 z warunkami u( x, 0) = 1 , u(0 , y) = ey
∂x∂y
∂ 2 u
1
d)
+ 4 x 3 − y 2 e− 2 x = 0 z warunkami u( x, 0) = 0 , u(0 , y) = − y 3 .
∂x∂y
6
∂ 2 u
∂ 2 u
Zadanie 3 Podać funkcję spełniającą równanie różniczkowe cząstkowe
− 9
= 0 oraz
∂t 2
∂x 2
warunki u( x, 0) = 0, ut( x, 0) = ψ( x), gdzie ψ jest daną funkcją klasy C 1. Wykonać sprawdzenie, że warunek ut( x, 0) = ψ( x) jest spełniony.
Zadanie 4 Rozwiązać równanie:
∂ 2 u
∂u
a) 4
=
z warunkami u(0 , t) = u(2 , t) = 0 , u( x, 0) = 2 sin 4 πx,
∂x 2
∂t
∂u
∂ 2 u
( x
dla 0 ¬ x ¬ l
b)
= a 2
z warunkami u(0 , t) = u( l, t) = 0 , u( x, 0) = f ( x) =
2 ,
∂t
∂x 2
l − x
dla l < x ¬ l
2
∂ 2 u
∂ 2 u
∂u
c)
=
z warunkami u(0 , t) = u(3 , t) = 0 , u( x, 0) = 3 x − x 2 , ( x, 0) = sin 3 πx
∂x 2
∂t 2
∂t
∂ 2 u
∂u
∂u
∂u
d)
= 4
z warunkami
(0 , t) =
(6 , t) = 0 , u( x, 0) = cos 2 πx.
∂x 2
∂t
∂x
∂x
Odp. a) u( x, t) = 2 e− 64 π 2 t sin 4 πx; n 2 a 2 π 2
(2 k − 1)2 a 2 π 2
∞ 4 l sin nπ −
t
nπx
∞
4 l( − 1) k+1
−
t
(2 k − 1) πx
b) u( x, t) = X
2 e
l 2
sin
= X
e
l 2
sin
;
n 2 π 2
l
(2 k − 1)2 π 2
l
n=1
k=1
1
∞
72
(2 n − 1) πx
(2 n − 1) πt
c) u( x, t) =
sin 3 πx sin 3 πt + X
sin
cos
;
3 π
(2 n − 1)3 π 3
3
3
n=1
d) u( x, t) = e−π 2 t cos 2 πx.
1
Równania różniczkowe cząstkowe rzędu II
∂ 2 u
∂ 2 u
Zadanie 5 Rozwiązać równanie struny
−
= 0 metodą Fouriera oraz d’Alemberta
∂x 2
∂t 2
w obszarze D = {( x, t) : 0 ¬ x ¬ π ∧ t 0 } przy warunkach początkowych u( x, 0) = 0,
∂u ( x, 0) = 4 sin3 x oraz warunkach brzegowych u(0 , t) = u( π, t) = 0.
∂t
Odp. u( x, t) = 3 sin x sin t − 1 sin 3 x sin 3 t 3
2