Układy nieliniowe
Przykład 1
Określić punkty równowagi podanego układu u +
e
m
1+ s
f( e)
y
2
_
s + 5
,
0 s +1
Rys. 1
Część nieliniowa jest określona za pomocą funkcji: 3
f ( e) = 3 e − e Zakładamy, że wymuszenie jest zerowe: u = 0. Punkty równowagi odpowiadają sytuacji, gdy pochodne części liniowej są zerowe, a więc gdy: s = 0. Wówczas przybiera postać, jak na Rys. 2.
u +
e
m
f( e)
y
1
_
Rys. 2
Zatem:
e = − m
3
m = 3 e − e
3
e = 3
− e + e
4
3
e − e = 0
Punkty równowagi odpowiadają zatem następującym wartościom błędu: e = 0
1
e = 2
2
e = 2
−
3
Następnie dokonujemy linearyzacji układu w poszczególnych punktach równowagi.
Linearyzacja ta polega na zastąpieniu funkcji za pomocą jej pochodnej w danym punkcie równowagi:
⎛ df ⎞
⎜
⎟ = 3
( e − 3 2
e ) | = 3
⎝ de ⎠0
0
⎛ df ⎞
⎜
⎟ = 3
( e − 3 2
e ) | = 9
−
⎝ de ⎠2
2
⎛ df ⎞
⎜
⎟ = 3
( e − 3 2
e ) | = 9
−
⎝ de ⎠−2
−2
e*
⎛ df ⎞
m*
1+ s
⎜
⎟
2
_
⎝ de ⎠
s
e
+ 5
,
0 s +1
r
Rys. 3
Transmitancja W 1( s) układu otwartego przy linearyzacji w poszczególnych punktach wynosi: punkt: e = 0:
1
(
3 + s)
W ( s) =
- układ otwarty
1
2
s + 5
,
0 s +1
1
(
3 + s)
W ( s) =
- układ zamknięty
2
s + 5
,
3 s + 4
punkt: e = 2:
− 1
(
9 + s)
W ( s) =
- układ otwarty
1
2
s + 5
,
0 s +1
− 1
(
9 + s)
W ( s) =
- układ zamknięty
2
s − 5
,
8 s − 8
punkt: e = -2:
− 1
(
9 + s)
W ( s) =
- układ otwarty
1
2
s + 5
,
0 s +1
− 1
(
9 + s)
W ( s) =
- układ zamknięty
2
s − 5
,
8 s − 8
Widać, że tylko dla punktu e = 0 równanie charakterystyczne układu zamkniętego ma pierwiastki z ujemną częścią rzeczywistą (układ stabilny): 2
s + 5
,
3 s + 4 = 0
s = − ,
1 75 +
,
3 75
1
j
s = − ,
1 75 −
,
3 75
1
j
Dla punktów e = 2 i e = -2 równanie charakterystyczne: 2
s − 5
,
8 s − 8 = 0
5
,
8 +
5
,
8 2 + 32
s =
= 35
,
9
1
2
5
,
8 −
5
,
8 2 + 32
s =
= − 85
,
0
2
2
ma jeden pierwiastek o ujemnej części rzeczywistej, a więc układ jest niestabilny.
- 2 -
Określić punkty równowagi podanego układu i zbadać ich stabilność.
+
e
m
1
e - e3
_
s( s + )
1
Rys. 3.
Uwaga: przyjąć, że w punkcie równowagi m = 0.
Metoda funkcji opisującej – linearyzacja harmoniczna
+
e
m
f(e)
W (s)
1
_
Rys. 4
Przyjmuje się założenia, że:
e = A sin(ω t)
m = M + M sin(ω t + ϕ ) + M sin(2ω t + ϕ ) + ...
0
1
1
2
2
Jeśli charakterystyka jest symetryczna to: M 0 = 0.
Gdy pominąć wyższe harmoniczne:
m = M sin( t
ω +ϕ ) = B sin( t
ω ) + C cos( t
ω )
1
1
1
1
Jeżeli zapisać to w postaci zespolonej:
M (ω) = B (ω) + jC (ω) 1
1
Funkcję opisująca definiuje się jako:
M
B + jC
J
1
1
=
=
E
A
gdzie:
B = f ( ,
A ω)
1
1
C = f ( ,
A ω)
1
2
Można zauważyć, że jeśli charakterystyka nieliniowa, nie ma histerezy, to: C = 0
1
- 3 -
Czyli funkcja opisująca jest rzeczywista.
Zlinearyzowany harmonicznie schemat blokowy ma postać:
+
E
M
Y
J
W (s)
1
_
Rys. 5
Y ( jω) = E W
J
( jω)
1
A zatem:
W
J
( jω)
W ( jω)
W ( jω)
1
1
=
=
1+ W
J
( jω)
1
1
+ W ( jω)
1
J
Gdyby J =1, to system byłby liniowy. Wówczas kryterium lewej strony określa stabilność (i dynamikę) w relacji charakterystyki amplitudowo – fazowej W ( jω) do punktu [-1, 1
j 0].
W ( jω)
W ( jω)
1
=
1 + W ( jω)
1
Im W (jω )
1
-1
Re W ( jω)
1
Rys. 6
1
W układzie nieliniowym rolę punktu [-1, j 0] przejmuje odwrotność funkcji opisującej −
J
- 4 -
1
A ,ω
2
2
A ,ω
3
3
Re W ( jω)
1
1
− J( ) A A ,ω
1
1
A - rośnie
W 1 (jω )
ω - rośnie
Rys. 7
1
Punkty przecięcia charakterystyki W ( jω) z charakterystyką −
wyznaczają cykle
1
J ( )
A
graniczne. Cykle te opisują częstotliwość ω (z charakterystyki W ( jω) ), oraz amplituda 1
A (z
1
charakterystyki −
)
J ( )
A
1
Jeśli zwiększenie A powoduje przesunięcie punktu na charakterystyce −
w prawo
J ( )
A
od charakterystyki W ( jω) , to mamy do czynienie z cyklem niestabilnym. Jeśli w lewo – to 1
cykl jest stabilny. Tak więc cykl [ A ,ω ] jest stabilny, zaś cykle [ A ,ω ] oraz [ A ,ω ] są 2
2
1
1
3
3
niestabilne.
Możliwe są trzy charakterystyczne przypadki.
a) układ niestabilny – nie ma cykli granicznych Im W (jω )
1
Re W ( jω)
1
Rys. 8
b) układ stabilny – nie ma cykli granicznych
- 5 -
1
Re W ( jω)
1
Rys. 9
c) układ z cyklami granicznymi, stabilny wewnątrz cyklu niestabilnego Im W (jω )
1
Re W ( jω)
1
A - rośnie
Rys. 10
Przykład 3
Dla podanego układu zbadać istnienie stabilnego punktu równowagi (lub cyklu granicznego).
Jaka jest częstotliwość układu w tym punkcie?
+
e
m
f(e)
W (s)
1
_
Rys. 11
3
f ( e) = e + e 1
W ( s) =
1
2
s( s + )
1
Jeśli:
- 6 -
3
3 3
1
m = f ( e) = A sin(ω t) + A sin (ω t) = A sin(ω t) +
A sin( t
ω )
3
A sin(3 t
ω )
4
4
= B sin( t
ω ) + C cos(ω t)
1
1
3 3
M = A +
A
4
3 3
A +
A
3
4
2
J =
=1+ A
A
4
1
−1
− =
J
3 2
1+ A
4
Wyliczenie amplitudy A 1
−1 = − 5,
0
3
1
2
+ A
4 1
2
A =
1
3
Im W (jω )
1
ω1
A - rośnie
Re W ( jω)
1
−1
A 1 J( )
A
ω - rośnie
Rys. 12
Istnieje zatem cykl graniczny o amplitudzie 2
A =
oraz częstotliwości ω =1. Jest to cykl
1
3
1
niestabilny, a więc dla amplitudy
2
A <
układ będzie stabilny.
3
Przykład 4
W podanym układzie nieliniowość ma charakter funkcji przekaźnikowej bez histerezy (Rys.
14). Określić stabilny cykl graniczny i częstotliwość układu w tym cyklu.
- 7 -
e
m
f(e)
W (s)
1
_
Rys. 13
m
B
e
- B
Rys. 14
Funkcja opisująca dla tego elementu ma postać: 4 B
J =
; w zadaniu przyjąć B = 0,5.
A
π
1
Transmitancja części liniowej: W ( s) =
1
2
s( s + )
1
Przykład 5
Rozpatrzeć układ z Przykładu 4, w którym element nieliniowy jest reprezentowany za pomocą rzeczywistej charakterystyki przekaźnikowej (z histerezą), jak na Rys. 25.
m
B
e
- a
a
- B
Rys. 15
Funkcja opisująca dla tego elementu jest następująca:
⎛
2
⎞
4 B ⎜
⎛ a ⎞
a ⎟
J =
⎜ 1− ⎜ ⎟ − j ⎟
A
π ⎝
⎝ A ⎠
A ⎠
Przyjąć: B = 0,5, a = 0,1.
Przeprowadzić analizę dla dwóch różnych transmitancji:
- 8 -
10
a) W ( s) =
oraz b) W ( s) =
.
1
2
1
s( s + )
1
2
s + 5 s +10
Przykład 6
Określić warunki stabilności podanego układu. Element nieliniowy ma charakterystykę statyczną jak na Rys. 17.
+
e
m
f(e)
W (s)
1
_
Rys. 16
1
W ( s) =
1
2
s( s + )
1
m
B
e
- a
a
- B
Rys. 17
Funkcja opisująca :
2
4 B
⎛ a ⎞
J =
1− ⎜ ⎟
A
π
⎝ A ⎠
Przebieg funkcji opisującej:
J
⎛ 2 ⎛
⎞ B ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
J
⎝ π ⎝
⎠ a ⎠
m x
1
A
a
Rys. 18
Niech: B = 1; a = 0,1
⎛ 2 ⎛
⎞ B ⎞
2
J
mx = ⎜
⎜
⎟
⎟ =10⋅ = 35
,
6
⎝ π ⎝
⎠ a ⎠
π
- 9 -
Występują dwa cykle graniczne dla ω1 = 1
Im W (jω )
1
A ,
1 A 2
A - rośnie
Re W ( jω)
1
A - rośnie -1
ω = 1
1
1
1
−
= −
≅ − 15
,
0
J ( )
A
35
,
6
ω - rośnie
Rys. 19
−1 = − 5,
0
J ( )
A
1
= 5
,
0
4
2
⎛ B ⎛
⎞ a ⎞
⎛ a ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟ 1− ⎜ ⎟
π ⎝ a ⎝
⎠ A ⎠
⎝ A ⎠
2
π
1
⎛ a ⎞
=
1− ⎜ ⎟
2
A
⎝ A ⎠
1
A <
2
A
A zatem: układ będzie asymptotycznie stabilny gdy amplituda możliwych oscylacji będzie mniejsza niż A 1.
e'
A ω
2
1
A ω
1
1
e
A
A
1
2
cykl
cykl
niestabilny
stabilny
Rys. 20
- 10 -
,
0
Jeśli wzmocnienie części liniowej zmniejszy się z wartości 1 do wartości poniżej
= 3
,
0 ,
5
,
0
to układ będzie zawsze asymptotycznie stabilny.
Im W (jω )
1
Re W ( jω)
-0,15
1
3
,
0
2
jω( ω
j
+ )
1
Rys. 21
- 11 -