Stan cząstki o masie m w nieskończenie głębokiej studni potencjału (−l/2, l/2) opisuje funkcja Ψ1 = p2/l cos π x. Obliczyć wartość średnią położenia i pędu cząstki w tym stanie.
l
To zadanie należy rozwiązać tak jak wczoraj na zajęciach – trzeba policzyć odpowiednie całki. Po policzenie jest
Z
l/2
2 Z l/2
π
π
hˆ
xi =
Ψ∗1 (x) ˆxΨ1 (x) dx =
cos
x x cos
x dx,
l
l
l
−l/2
−l/2
Z
l/2
2i~ Z l/2
π
d
π
hˆ
pi =
Ψ∗1 (x) ˆpΨ1 (x) dx = −
cos
x
cos
x dx.
l
l
dx
l
−l/2
−l/2
W obu przypadkach otrzymuje się po kilku przekształceniach całkę z funkcji nieparzystej po przedziale umieszczonym symetrycznie względem 0, więc średni pęd i położenie są zerowe (opuściłem szczegóły rachunku).
Zadanie 2
W widmie elektronowym 1,3-butadienu występuje pasmo przy długości fali 210 nm. Oszacować położenie analogicznego pasma w widmie 1,3,5-heksatrienu.
To zadanie rozwiązuje się zakładając, że elektrony można opisać jako cząstki w nieskończonej studni.
Cząstki podane w zadaniu różnią się długościami, przyjmuję więc, że l1 to długość 1,3-butadienu zaś l2
to długość 1,3,5-heksatrienu. Powtarzając rozumowanie z zajęć można łatwo pokazać, że energie fotonów emitowanych przez te cząstki to
5h2
7h2
∆E1 =
,
∆E
.
8ml2
2 =
1
8ml22
Na podstawie danych w zadaniu wiadomo, że
hc
hc
∆E1 =
,
∆E
.
λ
2 =
1
λ2
gdzie λ1 = 210 nm to długość fali emitowanej przez pierwszą cząstkę zaś λ2 to szukana długość fali dla drugiej cząstki.
Z budowy cząstek wiadomo, że ich długości spełniają warunek l1 : l2 = 4 : 6.
Z powyższych równań można wyliczyć długość fali λ2. Ponieważ zastosowano przybliżenie nieskończonej studni, otrzymany wynik jest tylko oszacowaniem szukanej wielkości.
Zadanie 3
Stan cząstki o masie m w nieskończenie głębokiej studni potencjału (−l/2, l/2) opisuje funkcja Ψ1 = p2/l cos π x. Obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale (0, l/4).
l
Szukane prawdopodobieństwo dane jest wzorem (proszę zwrócić uwagę na granice całkowania!) Z
l/4
2 Z l/4
P =
Ψ∗ (x) Ψ (x) dx =
cos2 π x dx.
0
l 0
l
Powyższa całkę można policzyć przez przekształcenia trygonometryczne, tak jak na zajęciach policzyłem całkę z sin2 x. Otrzymany wynik będzie (oczywiście) niezerowy.
1
Stan cząstki o masie m w nieskończenie głębokiej studni potencjału (−l/2, l/2) opisuje funkcja Ψ1 = p2/l cos π x. Obliczyć najbardziej prawdopodobne położenie cząstki w tym stanie.
l
Rozkład prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x dany jest wzorem 2
ρ (x) = Ψ∗ (x) Ψ (x) =
cos2 π x ,
l
l
dla x ∈ (−l/2, l/2). (Prawdopodobieństwo jest zerowe poza tym obszarem.) Najbardziej prawdopodobne położenie cząstki to maksimum tej funkcji. Można je łatwo odgadnąć (funkcja cosinus ma maksimum dla x = 0) lub obliczyć z warunku
d ρ(x) = 0.
dx
Prawidłowy wynik to x = 0. (Szczegółowe rachunki opuściłem.) Zadanie 5
W widmie oscylacyjnym H35Cl wystąpiło silne pasmo o liczbie falowej 2885 cm 1
−
. Obliczyć wartość
stałej siłowej wiązania (w N/m). Obliczyć położenie analogicznego pasma w widmie 2H35Cl. Podać przyjęte założenia.
Kwantowy oscylator harmoniczny o masie zredukowanej mr i stałej siłowej wiązania k ma poziomy energetyczne dane wzorem
r
k
1
En = ~
n +
,
mr
2
gdzie n = 0, 1, 2, . . . . Ponieważ podczas oddziaływania z promieniowaniem wartość liczby kwantowej n może się zmieniać tylko o 1, dla oscylatora harmonicznego obserwuje się silne promieniowanie o energii r
k
∆E = ~
.
mr
Z drugiej strony
hc
∆E =
,
λ
więc po prostych obliczeniach dla pierwszej cząstki otrzymałem 4π2c2m
k =
r .
λ2
Do tego wzoru trzeba, oprócz tablicowych wartości stałych podstawić 1
1
1
1
1
1
= 2885 cm−1,
=
+
≈
+
.
λ
mr
mCl
mH
35mH
mH
Do rozwiązania tego zadania niezbędna jest znajomość masy wodoru. Dalszy rachunek jest już prosty, więc go pomijam.
Druga cząstka od pierwszej różni się jedynie izotopem wodoru. Tutaj należy przyjąć założenie, że ponieważ deuter nie różni się strukturą elektronową od zwykłego wodoru, siła wiązania jest taka sama jak w poprzedniej cząsteczce (to bardzo często robione w chemii założenie, dość bliskie prawdzie).
W takim wypadku położenie pasma można policzyć ze wzoru
hc
r
k
= ∆E = ~
,
λ
mr
2
gdzie stała siłowa k jest taka sama jak dla pierwszej cząsteczki, a masę zredukowaną trzeba policzyć ze wzoru
1
1
1
1
1
=
+
≈
+
.
mr
mCl
mD
35mH
2mH
Ponownie pomijam przekształcenia wzorów i obliczenie wartości liczbowych.
Zadanie 6
Sprawdzić, czy można równocześnie ostro wyznaczyć pęd i energię kinetyczną cząstki, której ruch jest opisany jedną współrzędną.
W tym zadaniu trzeba obliczyć komutator tych dwóch operatorów, jeżeli wyjdzie on zerowy to można równocześnie wyznaczyć te dwie wielkości. Jeżeli nie to wyznaczenie takie nie jest możliwe. W tym zadaniu odpowiedź brzmi „tak”.
Zadanie 7
W widmie elektronowym 1,3-butadienu występuje pasmo przy długości fali 210 nm. Oszacować długość cząsteczki.
To zadanie jest bardzo podobne do tego liczonego na zajęciach. Jedyna różnica, to że tam dana była długość cząsteczki a szukaliśmy długości fali, a tutaj jest odwrotnie, wystarczy więc odpowiednio przekształcić wzór dla 1,3-butadienu.
Zadanie 8
Sprawdzić, czy można równocześnie ostro określić położenie i energię kinetyczną cząstki, której ruch opisany jest jedną współrzędną położenia.
W tym zadaniu trzeba obliczyć komutator tych dwóch operatorów, jeżeli wyjdzie on zerowy to można równocześnie wyznaczyć te dwie wielkości. Jeżeli nie to wyznaczenie takie nie jest możliwe. W tym zadaniu odpowiedź brzmi „nie”.
Zadanie 9
Oszacować stosunek obsadzenia dwóch najniższych poziomów energetycznych w temperaturze 300 K
dla: a) elektronów π etylenu, b) stanów energetycznych oscylacji cząsteczki 12CO, jeżeli położenia pasm w odpowiednich widmach wynoszą 150 nm i 2143 cm 1
−
.
To zadanie tylko wygląda strasznie. Jak pokazałem na zajęciach stosunek obsadzeń dwóch stanów dany jest wzorem
p
η = 2 = e−∆E/(kBT ),
p1
gdzie η to szukany stosunek obsadzeń, p1 i p2 to prawdopodobieństwa, że cząstka znajduje się odpowiednio w stanie podstawowym i pierwszym wzbudzonym, ∆E to różnica energii między stanami, kB to stała Boltzmanna (oznaczania niekiedy przez k), zaś T to temperatura układu w kelwinach.
Z drugiej strony wiadomo, że jeżeli obserwujemy silne pasmo promieniowania o długości fali λ, to różnica energii między poziomami wynosi
hc
∆E =
.
λ
3
Łącząc te dwa wzory od razu dostaje się wynik. Jedyne, na co trzeba jeszcze uważać to poprawne odczytanie długości fal. W punkcie a) mamy λ = 150 nm zaś w b) 1 = 2143 cm−1.
λ
Życzę powodzenia na kolokwium 25 stycznia!
4