Szeregi funkcyjne Zadanie 1 Wykazać zbieżność jednostajną podanych szeregów funkcyjnych na podanych zbiorach:
∞ 6 n(1 −x 2) a) X
,
A = R ,
n!
n=1
∞
nx
b) X
,
A = R ,
x 2 + n 6
n=1
∞ x 2
x
c) X
sin
,
A = [0 , 2] , n
n
n=1
∞
1
d) X
,
A = [3 , ∞) , 8 + n 3 x 2
n=1
∞ sin nx
e) X
,
A = R .
2 nn!
n=1
∞
1
Zadanie 2 Wykazać, że funkcja f ( x) = X
jest cigła na zbiorze R. Ile
6 n( n + x 2) n=1
początkowych wyrazów szeregu funkcyjnego należy zsumować, aby obliczyć f ( x) z do-kładnością większą niż 10 − 3?
Odp. Wystarczy zsumować trzy pierwsze wyrazy.
Uzupełnienie do ciągów funkcyjnych: A. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym fn( x) = 2 n 2 xe−n 2 x 2, x ∈ [0 , 1]. Sprawdzić, czy zachodzi równość
Z
1
Z 1
lim fn( x) dx = lim fn( x) dx .
0
n→∞
n→∞
0
Czy na tej podstawie można wyciągnąć wniosek o istnieniu lub braku zbieżności jedno-stajnej ciągu {fn} na przedziale [0 , 1]?
1
B. Pokazać, że dla ciągu funkcyjnego o wyrazie ogólnym fn( x) =
arc tg nx nie zachodzi n
w punkcie x = 0 równość d
!
d
lim fn( x) = lim fn( x) .
dx n→∞
n→∞
dx
Zadanie 3 Rozwinąć w szereg Fouriera w przedziale [ −π, π] funkcję f ( x) = ex.
Odp.
sinh π
∞ " 2( − 1) n 2 n( − 1) n+1
#
f ( x) ∼
+ X
sinh π cos nx +
sinh π sin nx ,
π
π(1 + n 2)
π(1 + n 2)
n=1
f ( x) = S( x) dla x ∈ ( −π, π) .
1
Szeregi funkcyjne Zadanie 4 Rozwinąć w przedziale [0 , 1] ([0 , π]) funkcję f ( x) = ex w szereg a) cosinusów; b) sinusów.
Odp. a) W przedziale [0 , 1]:
∞ 2[ e( − 1) n − 1]
f
X
1( x) ∼ e − 1 +
cos nπx,
π 2 n 2 + 1
n=1
f ( x) = S( x) dla x ∈ [0 , 1] .
W przedziale [0 , π]:
eπ − 1
∞ 2[ eπ( − 1) n − 1]
f
X
1( x) ∼
+
cos nx,
π
π(1 + n 2)
n=1
f ( x) = S( x) dla x ∈ [0 , π] .
b) W przedziale [0 , 1]:
∞ 2 πn[1 − e( − 1) n]
f
X
1( x) ∼
sin nπx,
1 + n 2 π 2
n=1
f ( x) = S( x) dla x ∈ (0 , 1) .
W przedziale [0 , π]:
∞ 2 n[1 − eπ( − 1) n]
f
X
1( x) ∼
sin nx,
π(1 + n 2)
n=1
f ( x) = S( x) dla x ∈ (0 , π) .
∞
1
Zadanie 5 Obliczyć sumę szeregu X
korzystając z rozwinęcia:
(2 n − 1)2
n=1
a) funkcji f ( x) = |x|, x ∈ [ −π, π] w trygonometryczny szereg Fouriera
0
dla x ∈ ( −π, 0) b) funkcji f ( x) =
w trygonometryczny szereg Fouriera x
dla x ∈ [0 , π)
c) funkcji f ( x) = 3 − x, x ∈ [0 , 3] w cosinusowy szereg Fouriera.
∞
1
π 2
Odp. X
=
.
(2 n − 1)2
8
n=1
2