Wykład 6. Działania na macierzach. Rz ˛

ad ma-

cierzy, macierz odwrotna.

6.1. Działania na macierzach

Definicja 6.1.1. W wyniku sumy (różnicy) macie-h

i

h

i

rzy A = aij i B = bij o rozmiarach m × n po-h

i

wstaje macierz C = cij

, której elementy

m×n

określone są wzorem

cij = aij ± bij

dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Wynik oznaczamy przez C = A ± B.

Definicja 6.1.2. W wyniku pomnożenia macierzy h

i

A = aij

przez liczb ę α ∈ K powstaje ma-

m×n

h

i

cierz C = cij

, której elementy określone

m×n

są wzorem

cij = αaij

dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Wynik oznaczamy przez C = αA.

Dygresja: Zobacz wykład 5 - własnoś ´

c 5.2.1.

Własnoś ć 6.1.1. ( liniowoś ć działa ń na macierzach) Je żeli macierze A, B, C b ędą macierzami tego samego wymiaru, których elementy na-le żą do tego samego ciała oraz niech α, β ∈ K

to zachodzą nast ępujące zale żności: 1. A ± B = B ± A

2. A ± 0 = 0 ± A = A

3. α (A ± B) = αA ± αB

4. 1 · A = A

5. A ± (B ± C) = (A ± B) ± C

6. A + (−A) = 0

7. (α ± β) A = αA ± βA

8. (αβ) A = α (βA)

Definicja 6.1.3. W wyniku pomnożenia dwóch h

i

macierzy A = aij

(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)

m×n

h

i

i B = bjk

(1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ o) po-

n×o

wstaje macierz C = [cik]m×o , której elementy określone są wzorem

n

X

cik =

aijbjk.

j=1

Dygresja: Mnożenie macierzy jest antyprzemienne.

Aby pomnoży ć dwie macierze przez siebie to liczba kolumn w pierwszej macierzy musi by ć równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.

Własnoś ć 6.1.2. Najwygodniej wykonuje si ę mno-

żenie macierzy przy pomocy schematu Falka: k − kolumna





b1k



..





.







 . . .

b





jk

. . . 



...







bnk



..







.

..

i − wiersz  a



 . . . c





i1

. . . aij . . . ain

ik

. . .

.







.

...

Własnoś ć 6.1.3. Działania z uwzgl ędnieniem ilo-czynu macierzy są nast ępujące:

h

i

h

i

1. dla macierzy A = aij

, B = b

i

m×n

jk n×o

h

i

C = cjk

zachodzi

n×o

A (B ± C) = AB ± AC

h

i

h

i

2. dla macierzy A = aij

, B = b

i

m×n

ij m×n

h

i

C = cjk

zachodzi

n×o

(A ± B) C = AC ± BC

h

i

h

i

3. dla macierzy A = aij

i B = b

,

m×n

jk n×o

i α ∈ K zachodzi

A (αB) = (αA) B = α (AB)

h

i

h

i

4. dla macierzy A = aij

, B = b

i

m×n

jk n×o

C = [ckl]o×p zachodzi

(AB) C = A (BC)

h

i

h

i

5. dla macierzy A = aij

, In = δ

,

m×n

jk n×o

h

i

Im = δkj

zachodzi

o×m

AIn = ImA = A

h

i

6. dla macierzy A = aij

i p ∈ N zachodzi

n×n

(A)p = A . . . A

|

{z

}

p−razy

Własnoś ć 6.1.4. Działania z uwzgl ędnieniem trans-pozycji macierzy (zobacz wykład 5 - definicja 5.1.2. pkt. 9):

h

i

1. dla macierzy A = aij

zachodzi

m×n

ATT = A

h

i

h

i

2. dla macierzy A = aij

, B = bij

m×n

m×n

zachodzi

(A + B)T = AT + BT

h

i

3. dla macierzy A = aij

i α ∈ K zacho-

m×n

dzi

(αA)T = αAT

h

i

h

i

4. dla macierzy A = aij

, B = b

m×n

jk n×o

zachodzi

(AB)T = BT AT

h

i

5. dla macierzy A = aij

i p ∈ N zachodzi

m×n

(Ap)T = AT p

Własnoś ć 6.1.5. ( dla macierzy symetrycznych i skośnosymetrycznych)

h

i

1. dla macierzy kwadratowej A = aij otrzy-n×n

mujemy

A + AT − macierz symetryczną

A − AT − macierz skośnosymetryczną h

i

2. dla macierzy A = aij

otrzymujemy

m×n

AAT

lub

AT A

które są symetryczne

h

i

3. dla macierzy kwadratowej A = aij otrzy-n×n

mujemy

1

1

A =

A + AT +

A − AT .

2

2

Inaczej mówiąc, każdą macierz kwadratową można przedstawi ć jako sum ę jej macierzy symetrycznej i skośnosymetrycznej.

Twierdzenie 6.1.1. ( Cauchy’ego) Dla macierzy h

i

h

i

kwadratowych A = aij

, B = b

za-

n×n

ij n×n

chodzi

det (AB) = det A det B

6.2. Rząd macierzy, macierz odwrotna.

h

i

Definicja 6.2.1. Rz ędem macierzy A = aij m×n nazywamy maksymalny stopie ń wyznacznika tej macierzy różny od zera, a je żeli jest równy zero to rząd określa maksymalny stopie ń podwyznacz-nika dowolnej macierzy minorów, który jest różny od zera. Rząd macierzy oznaczamy przez rzA lub rankA.

Przykład: Rząd macierzy





1 −1 0 0

A =  0

1

1 0 





1

2

2 0

jest równy rankA = 2 ponieważ

1 −1 0

−1 0 0

0

1

1 = 0 oraz 1

1 0 = 0

,

1

1

2

2

2 0

ale już np.

1 −1

1 1

6= 0

lub

6= 0

lub

0

1

1

2

1 0

1 0

= 0

6= 0

itd. chociaż

.

1

2

2

0

Definicja 6.2.2. Dla macierzy kwadratowej h

i

A =

aij

, która jest nieosobliwa, określa

n×n

si ę macierz odwrotn ˛

a A−1 spełniającą nast ę-

pujący warunek

AA−1 = A−1A = I.

Dygresja: Aby można było dowolną macierz A odwróci ć to musi by ć ona kwadratowa i det A 6= 0.

... ci ˛

ag dalszy na kolejnym wykładzie.

Literatura

• Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.

• Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ę-

stochowa 2001.

• Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000.

• Kiełbasi ński A., Schetlick H., Numeryczna algebra liniowa, PWN, Warszawa 1992.

• Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.

• Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1975.

• Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.