Miernictwo i techniki eksperymentu

Kolokwium 2

11 czerwca 2014 r.

1. Czas pracy elementu jest zmienną losową o funkcji gęstości:

f (x) =

αβ x α−1e− β x α

dla x > 0

0

poza

gdzie α jest znanym dodatnim parametrem, zaś β nieznaną dodatnią stałą. Wyznaczyć na podstawie prostej próbki losowej x1, x2, . . . , xn estymator największej wiarygodności dla parametru β.

2. Zmierzono wytrzymałośc n = 12 losowo wybranych elementów walcowanych i otrzymano wyniki: x1, x2, . . . , xn. Zakładając, że wytrzymałość jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N( µ, σ), wyznaczyć przedział ufności dla parametru µ na poziomie ufności 1 − α = 0.98, jeżeli (a) wartość σ jest znana i wynosi σ 0, (b) wartość σ jest nieznana,

(c) jak zmieni się wynik dla przypadku (b), jeżeli estymator wariancji S przy-jąłby wartość σ 0? Odpowiedź uzasadnij, podając odpowiednie granice przedziału ufności.

3. Rozważmy podpunkt (b) zadania 2. Zweryfikować hipotezę statystyczną H0 : µ =

µ 0 przeciwko hipotezie:

(a) H1 : µ 6= µ 0,

(b) H1 : µ < µ 0,

dla poziomu istotności α = 0.02. Podać granice odpowiednich przedziałów kry-tycznych dla obu przypadków.

4. Podać estymator wariancji otrzymany metodą momentów empirycznych. Czy jest to estymator nieobciążony? Odpowiedź uzasadnić.

Na odwrocie znajdowały się kwantyle rozkładu normalnego oraz wartości krytyczne rozkładu t-Studenta.