Opracowanie danych pomiarowych
1. Pomiar wartości serii oporników
Do wykonania pomiaru potrzebny jest omomierz cyfrowy, mierzący oporność z dokładnością do czterech lub więcej cyfr po przecinku. Do dyspozycji są przemysłowo wytwarzane oporniki o wartościach znamionowych 5 i 10 kiloomów i tolerancji 1%, połączone w listki po 10 sztuk Do zbadania statystyki wartości oporności należy wykonać pomiar min. 20 sztuk oporników i zapisać wartości ich oporności. Wyniki zapisujemy w poniższej tabeli: I
Ri
(Ri - <R>)2
1
9.889
0.000676
2
9.912
0.000009
...
...
...
...
...
...
19
9.936
0.000441
20
9.886
0.000841
SUMA:
198.30
0.073036
Parametry:
<R>=9.915 kΩ
UR=0.062 kΩ
Wzory wykorzystane do obliczenia parametrów rozkładu mają postać:
∑ R
〈 R〉=
i
U =∑ Ri−〈 R〉2
N
R
N −1
Obliczone parametry charakteryzujące średnią wartość i rozrzut serii można wykorzystać do sprawdzenia czy oporniki mieszczą się w normie. Różnica między otrzymaną średnią serii a wartością nominalną (10 kΩ) powinna być mniejsza niż deklarowana tolerancja czyli 1%. W
naszym przypadku oznacza to, że dopuszczalne jest odstępstwo mniejsze niż 0.1 kΩ , co jest spełnione dla badanej serii, gdyż otrzymane w pomiarze ∆R=0.085 kΩ spełnia tą relację. Również otrzymany rozrzut wartości oporności (niepewność pomiaru) jest mniejszy niż deklarowana tolerancja, gdyż UR = 0.062 kΩ odpowiada 0.6% i jest mniejsze niż 1%.
Jest to jedyna analiza jaką można wykonać dla tego pomiaru, gdyż kolejność otrzymywania poszczególnych wartości w żaden dodatkowy sposób nie charakteryzuje badanej serii wyników.
Do wykonania tego eksperymentu wystarcza jakikolwiek stoper mierzący czas z dokładnością do 0.05 sekundy. Pomiary polegają na dwudziestokrotnym zmierzeniu czasu odliczania od jeden do dwudziestu na ślepo, tzn. bez patrzenia na zegarek. Ćwiczenie można wykonywać z zamkniętymi lub skupiając wzrok na jakimkolwiek przedmiocie innym niż zegarek. Należy się starać aby utrzymywać jednakowe tempo odliczania w czasie każdego pomiaru. Każda bardziej lub mniej świadoma decyzja o zmianie sposobu liczenia (szybciej, wolniej, co sekundę itp.) zakłóca jednorodność próbki statystycznej. Pomiary zapisujemy w tabeli podobnej do tej z punktu 1: I
ti
(ti - <t>)2
1
14.85
0.16
2
16.95
2.89
...
...
...
...
...
...
19
16.25
1.00
20
15.05
0.04
SUMA:
305.00
8.027
Parametry:
<t>=15.25 s
Ut=0.65 s
Tak jak w poprzednim przypadku parametry rozkładu obliczamy ze wzorów:
∑ t
〈 t 〉=
i
U =∑ ti−〈 t〉2
N
t
N −1
W przypadku tego eksperymentu nie ma żadnej „wartości nominalnej” czy „dokładnej”, która powinna odpowiadać centrum rozkładu. Otrzymana średnia zależy nie tylko od wybranej osoby, ale nawet od jej chwilowego nastawienia, stanu zdrowia nastroju itp. Z tego właśnie powodu te pomiary wykonywane są osobno dla każdego z członków zespołu.
Dużo więcej informacji niesie w tym przypadku rozrzut, czyli niepewność wartości tego czasu gdyż jest to parametr dużo bardziej powtarzalny dla danej osoby. Stwierdzenie umiejętności powtarzalnego odliczania czasu dostarcza cennej informacji o stabilności zegara biologicznego.
Znaczy to, że objawami pozytywnymi będą mała wartość stosunku niepewności standardowej do wartości średniej i charakterystyki zbliżone do rozkładu normalnego (około 67% pomiarów w przedziale o odchyleniu jednej niepewności wokół wartości średniej).
W tak otrzymanej serii wyników dużo informacji niesie również sekwencja otrzymanych wyników, gdyż stwierdzenie systematycznego wzrostu czy spadku wartości (trendu) może dać dodatkowe informacje o reakcji na zniecierpliwienie, niemożność dłuższego utrzymania skupienia uwagi itp. Dlatego też w przypadku tego pomiaru warto zrobić wykres wartości ti od numeru pomiaru. Przykład takiego wykresu zamieszczony poniżej zawiera serię pomiarów, tzw. linię trendu oraz cztery dodatkowe linie na poziomach: dwie linie <t> ± ut i dwie linie <t> ± 3ut.. Można zauważyć, że w przedziale o odchyleniu jednej niepewności (linie niebieskie) mieści się ok połowy pomiarów, co jest już dość bliskie rozkładowi normalnemu. Dodatkową zaletą jest to, że żaden z wyników nie wyskakuje poza przedział o odchyleniu potrojonej niepewności (linie czerwone) Linia trendu też nie wykazuje jakichś systematycznych zmian w trakcie trwania pomiaru, wystawiając dobre świadectwo zegarowi biologicznemu osoby mierzącej.
18
17
16
15
14
13
y = -0.0027x + 15.116
12
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3. Rzuty kostkami
Zestaw eksperymentalny składa się z kubka i pięciu kostek do gry. Po wykonaniu każdego rzutu pięcioma kostkami sumujemy liczbę oczek na wszystkich kostkach i zapisujemy w postaci tzw.
histogramu. Jest to zapis 25 wierszy oznaczonych możliwymi wartościami sumy oczek, tzn od 5 do 30. Po wypadnięciu danej liczby oczek w odpowiednim wierszu w pierwszej wolnej kratce stawiamy krzyżyk, w ten sposób ilość kratek zaznaczonych w danym wierszu oznacza ilość wystąpień danej sumy oczek n(Xi) . Dla uzyskania sensownej próbki statystycznej należy wykonać minimum 80 – 100 rzutów. Po zakończeniu rzucania uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli: Xi
n(Xi)
Xi n(Xi)
n(Xi) (Xi - <X>)2
5
0
0
0
6
2
12
268.19
...
...
...
...
...
...
...
...
29
1
29
130.42
30
1
20
154.26
SUMA:
N=100
1758
1490.38
Parametry:
<X>=17.58
Ux=3.88
Wzory wykorzystane do obliczenia parametrów rozkładu mają postać:
〈 X 〉=
i X i
U =∑ n Xi Xi−〈 X 〉2
N
x
N −1
Rozkład Gaussa (normalny)
Opis teoretyczny pokazuje, że wygenerowany przez nas rozkład powinien być zbliżony do tzw. rozkładu normalnego, nazywanego też rozkładem Gaussa.
−2
N
n X = A exp[− Xi
] A=
i
22
2
Wzór ten przewiduje jaka jest oczekiwana ilość wystąpień danej sumy oczek, przy założeniu że cała statystyka zachowuje się jak rozkład normalny o zadanych dwóch wymaganych parametrach. Jeden z nich µ stanowi informację o położeniu centrum rozkładu (wartości najbardziej prawdopodobnych) zaś drugi σ stanowi informacje o rozrzucie oczekiwanych wartości wokół wartości centralnej.
Jak łatwo zauważyć parametry te są prawie dokładnymi odpowiednikami parametrów, którymi charakteryzowane były serie pomiarów w ćwiczeniach 1 i 2. Oznacza to, że otrzymywana wcześniej wartość <X> powinna być pewnym oszacowaniem (estymatorem) wartości µ , zaś wartość niepewności Ux , oddająca szerokość rozkładu, powinna być przybliżeniem σ . Można wyliczyć, żę dla idealnie wyważonych kości odpowiednie wartości teoretyczne powinny wynosić:
=3.5
=3.8
Jak widać z tabeli otrzymane wartości rzeczywiste nie odbiegają szczególnie od oczekiwanych. W
szczególności otrzymane odchylenie średniej <X> od wartości oczekiwanej µ mieści się przedziale o szerokości równej niepewności podzielonej przez pierwiastek z liczby pomiarów N, jak to przewiduje statystyka.
Obliczenia ilości wystąpień n(Xi) , oczekiwanych z faktycznego rozkładu (dla danych konkretnych kości) można wykonać obliczając odpowiednie n(Xi) z rozkładu Gaussa o parametrach µ = <X> oraz σ = Ux. Przykład takiego obliczenia pokazany jest w tabeli na następnej stronie. Wartości n(Xi) można wyliczyć na dwa sposoby:
●
dodając do używanej tabeli dwie dodatkowe kolumny: jedną zawierającą kwadrat odchylenia Xi od wartości średniej: DX = Xi - <X> , podzielony przez podwojony kwadrat niepewności Ux i drugą zawierającą odpowiednią eksponentę z tej wartości pomnożoną przez stałą normalizacyjną A
●
używając zdefiniowanej funkcji bibliotecznej arkusza kalkulacyjnego MS Excel: N*ROZKŁAD.NORMALNY (Xi , <X>, Ux, FAŁSZ), gdzie ostatnia zmienna określa rodzaj prezentacji rozkładu normalnego (kumulatywny bądź nie)
Poniższa tabelka i wykres zostały wytworzone z użyciem MS Excel i pokazuje oba te sposoby.
n(Xi)
Xi*n(Xi)
n*DX^2
0.5*(DX/Ux)^2
Gauss
R.NORM.
5
0
0
0
5.214722947 0.27941276
0.282342
6
1
6
132.7104 4.414967797 0.62169228
0.626341
7
1
7
110.6704 3.681748017 1.29422201
1.302326
8
3
24
271.8912 3.015063608
2.520845
2.533844
9
4
36
290.3616 2.414914569 4.59396369
4.613091
10
7
70
395.8528
1.8813009 7.83308844
7.85879
11
14
154
595.1456 1.414222601 12.4963321
12.52769
12
18
216
548.4672 1.013679672
18.652461
18.68694
13
31
403
633.3424 0.679672114 26.0491635
26.08295
14
36
504
446.0544 0.412199925 34.0373293
34.06647
15
36
540
228.6144 0.211263107 41.6122528
41.63409
16
45
720
103.968
0.07686166 47.5982554
47.61269
17
55
935
14.872 0.008995582 50.9406988
50.95045
18
49
882
11.2896 0.007664875 51.0085311
51.01819
19
46
874
100.7584 0.072869537 47.7886532
47.80283
20
38
760
233.7152
0.20460957 41.8900445
41.91157
21
34
714
411.7536 0.402884974 34.3558667
34.38475
22
34
748
682.3936 0.667695747 26.3630134
26.39669
23
17
391
510.5168 0.999041891 18.9274998
18.96203
24
12
288
503.8848 1.396923404 12.7143893
12.74593
25
12
300
671.4048 1.861340288 7.99101256
8.016969
26
3
78
215.7312 2.392292543 4.69907286
4.718462
27
3
81
269.6112 2.989780167 2.58539319
2.598617
28
0
0
0
3.653803162 1.33089894
1.33917
29
1
29
131.7904 4.384361527 0.64101414
0.645775
30
0
0
0
5.181455262 0.28886452
0.291392
500
17.52
7514.8
499.113971
499.6104
<X>=
17.52
Ux =
3.88
3.877
Oczekiwane ilości wystąpień sumy oczek
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
35