id5142968 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
...? ÃWICZENIA
Ãwiczenie 1.
Obliczyã iloczyn wektorowy wektorów u , v jeœli:
a) u 3
, 4
,
3 , v 2 k 3 i j
b) u j 2 k 2 i , v AB ,
A 6 , 3 ,
1 , B7 , 4 2
,
c) u p 2 q , v q p
d) u 2 p q , v 4 q 2 p Odpowiedê
a) u v 11 , 15 9
,
b) u v 1 0
, ,
1
c) u v 3 p q
d) u v 10 p q
Ãwiczenie 2.
Obliczyã pole trójk¹ta ABC jeœli:
a)
A 31
, 0
, , B1 2
, 4
, , C 3 , 1
2
,
b)
A 4 0
, ,
1 , B 3 3
, ,
1 , C8 , 2 2
,
Odpowiedê
a) P 57
6
b) P
2
Ãwiczenie 3.
Wyznaczyã pole równolegùoboku zbudowanego na wektorach u , v jeœli:
a) u 2 3
, 4
, , v j 2 k i
b) u j 2 k 2 i , v AB ,
A 6 , 3 ,
1 , B7 , 4 2
,
c)
u 2 q p , v p 3 q , o
p ,
3 q 4 , p q 45
d)
u q p , v 2 p q , o
p 2 , q 5 , p q 30
a) P 5
b) P 2
c) P 30 2
d) P 15
Ãwiczenie 4.
Dla jakiej wartoœci parametru m wektory u m 1 ,m 1 6
, , v 2 3
,
,
3 s¹ równolegùe?
Odpowiedê
m 5
Ãwiczenie 5.
Czy równolegùobok zbudowany na wektorach u , v jest prostok¹tem, jeœli:
a) u 5
, 2
,
1 , v 3 7
, ,
1
b) u 1
, 4
, 4, v 3 0
, 2
,
Odpowiedê
a) Tak
b) Nie
Ãwiczenie 6.
Wyznaczyã a
je
b
œli:
a)
a AB ,
A 3
, 2 2
, ,B31
,
, 2 b 2 j k i
2 k 2 i j
b)
a j 2 k 3 i
j k i , b j 2 k 2 i .
Odpowiedê
a) a
b 12
b) a
b 1
Ãwiczenie 7.
Znaleêã sinus k¹ta miedzy wektorami a i b , gdy
a) a k 2 i 3 j ; b i 3 k j
b)
a j k 2 i , b k 2 i j
Odpowiedê
90
3 385
a) sin
14 11
77
2
b) sin
3
Ãwiczenie 8.
Znaleêã cosinus k¹ta miedzy wektorami a i b , gdy
a)
a k 2 i 3 j ; b i 3 k j
j k i
b)
a 2 i j 4 k
j 2 k i ,
b 2 2 k i j
c)
a
j k
3 k i 2 j , b AB ,
A 11
,
, 2 , B1 4
,
, 7
Odpowiedê
18
3 21
a) cos
14 24
14
0
b)
o
cos
0 90
5 24
12
6 247
c) cos
26 38
247
Ãwiczenie 9.
Znaleêã rzut wektora a na oœ o kierunku wektora b , gdy
a)
a j 2 k i ;
b 3 i k j
j k 2 i
b)
a
k 2 j i
j k 2 i , b AB ,
A 2 , 1 ,
1 , B4 0
,
,
1
Odpowiedê
1
1
a)
a
b
0
,
,
2
2
2 1
2
b)
a
b
,
,
3 3
3
Znaleêã wektor u jeœli:
a)
u a
je
A 2 , 1
,
1 2 1
2
3
3
AB i
œli
,
3
B
, , , a k
j
i
j k i
b)
u a
oraz
4 ,
4
3
2
b j
a j k
i
b
i
k
j
j k
i
Odpowiedê
a) u 7 0
, ,
0
b) u 0 , 2 ,
0
Ãwiczenie 11.
Wyznaczyã pole równolegùoboku zbudowanego na wektorach a , b i sprawdziã czy wektory a , b s¹
prostopadùe jeœli:
a) a j k 3 i , b 2 i k j
b) a k i 2 j , b i j k
c)
a p q , b q p , p 5 , q 2 , o
p q 60
;
d)
a p 2 q , b q 3 p , p 2 , q
6 ,
o
p q 90
Odpowiedê
a) P 5 2 , Nie
b) P 3 2 , Tak
c) P 10 , Nie
d) P 14 6 , Tak
Ãwiczenie 12.
Czy wektory AB, a s¹ prostopadùe jeœli:
a)
A 2
,
,
1
1 , B ,
3 ,
1 2
, a 2 k j i
2 i k j
b)
a
j 2 k i
2 i j 4 k ,
AB
3 j 2 k i
Odpowiedê
a) Nie
b) Tak
Ãwiczenie 13.
Wyznaczyã a b , a
, je
b
œli:
a)
a 2 p q , b p 3 q , p 2 , q 3 , 0
p q 90
;
b)
a 2 p q , b p 3 q , p 2 , q 3 , 0
p q 45
;
c) a 2 k i 2 j , b 3 i k j Odpowiedê
a) a b 42 , a
b 10
b) a b 21 2 , a
b 19 15
2
c) a b 7 2 , a
b 1
Ãwiczenie 14.
Znaleêã tangens k¹ta miêdzy wektorami a , b , jeœli:
a) a 2 j k 5 i , b k j 3 i
b) a 2 i k j , b k 2 j i
c) a p 2 q, b 6 p q , p 2 , q 3 , p q
d)
a p 2 q , b 6 p q , p 2 , q 3 , p q
3
Odpowiedê
2 5
a) tg
5
3
b)
tg
3
6
1
c) tg
13
3
d)
tg
3
6
Wyznaczyã dùugoœã wysokoœci trójk¹ta ABC opuszczonej z wierzchoùka B , jeœli: a)
A 2 , ,
1
1 , B1 2
, 0
, , C4 0
,
,
1
b)
A ,
1 2 , 2 , B3 2
, ,
1 , C4 1
, 0
,
Odpowiedê
a) h 10
19
b) h
7
Ãwiczenie 16.
Wyznaczyã dùugoœã dowolnej wysokoœci trójk¹ta rozpiêtego na wektorach a , b , jeœli:
a) a 3 p q , b p 2 q , p 1, q 4 , p q
b)
a q 3 p , b p q , p 2 , q 3 , p q
3
Odpowiedê
3
a) h 5
5
4
b) h
3
Ãwiczenie 17.
Wyznaczyã dùugoœci obu wysokoœci równolegùoboku zbudowanego na wektorach
a 2 j 3 k i ,
b k j 2 i .
Odpowiedê
5 2
5 42 .
1
h
, h
2
2
14
Ãwiczenie 18.
Wyznaczyã dowolnej dùugoœã wysokoœci równolegùoboku rozpiêtego na wektorach a , b , jeœli:
a p 4 q , b q 2 p , p 1 , q 4 , p q
.
3
Odpowiedê
9
9
h
lub h
7
2
7
Wyznaczyã k¹t miêdzy wektorami p,q oraz a b jeœli:
a) a
,
3
2
, p 2 , q 3
b 16
a p q , b
q
p
b) a
,
3
2 , p 2 , q 1
b 5
a p
q , b q
p
c) a
,
2
,
3 , p 2 , q 3
b 9
a
p q
b q
p
Odpowiedê
a)
o
60 , a b 15 3
b)
o
90 , a b 14
c)
o
0 , a b 0