Pole elektryczne fali w dielektryku bezstratnym o εw = 9 wyraża się r r
zależnością:
− j z
E = i E e β
x
0
gdzie: E – stała rzeczywista.
0
Obliczyć chwilowe, średnie w czasie i maksymalne wartości gęstości energii elektrycznej i magnetycznej oraz wartość powierzchniowej gęstości mocy niesionej przez falę.
Zespolony wektor natężenia pola magnetycznego: r
1 r r
1 r
H =
n × E =
i × r
E
Z
z
Z
r r E
Z
r
0
− jβ
− j z
0
0 z
H = i
e
=
0
i H e β
Z =
= 40π
y Z
y
0
ε w
K 04
1
ZADANIE 1 (2)
Wektory rzeczywiste pól:
r r
E = i E cos(ω t − β z) x
0
r
r
H = i H cos(ω t − β z) y
0
Chwilowa gęstość energii pola elektrycznego: r
1 r r
1
J
w ( r, t) = D ⋅ E =
2
2
ε ε E cos (ω t − β z) e
2
0
0
2 w
3
m
Chwilowa gęstość energii pola magnetycznego: w = w
e
m
r
1 r r
1
J
w ( r, t) = B⋅ H =
2
2
µ H cos (ω t − β z) m
2
0
0
2
3
m
2
2
2
µ
E
E
H =
0
ε µ
=
0
2
ε ε µ
= ε ε E
0
0
w
0
2
Z
w 0
0
w 0
0
µ
0
0
K 04
2
1
Jaka jest relacja między powierzchniową gęstością mocy fali a gęstością objętościową energii w przypadku ośrodków bezstratnych?
• Objętościowa gęstość energii pola elektrycznego fali płaskiej: 1
2
1
1
w = ε E ( t) = ε E( t) Z H( t) =
µεE( t)H( t)
e
2
2
2
• Objętościowa gęstość energii pola magnetycznego fali płaskiej: 1
2
1
1
1
w = µH ( t) = µH( t) E( t) =
µεE( t)H( t)
m
2
2
Z
2
• Całkowita gęstość energii pola elektromagnetycznego: w = w + w =
e
m
µεE( t)H( t)
• Powierzchniowa gęstość mocy fali:
r
r r
1
S = E × H = E(t)H(t)=
w = cw
µε
K 04
3
ZADANIE 3
W ośrodku stratnym o znanej impedancji Z = |Z|ejφ rozchodzi się fala o znanym zespolonym wektorze natężenia pola elektrycznego: r r
r
r
V
E( r ) i E exp γ z ji 2 E exp γ z
=
−
+
−
.
x
0
(
)
y
0
(
) m
gdzie:
γ = α jest znane.
+ jβ
Obliczyć:
a) chwilową i średnią wartość powierzchniowej gęstości mocy; b) chwilową i średnią gęstość energii elektrycznej.
K 04
4
2
Zespolony wektor natężenia pola magnetycznego: r
1 r r
1 r
H =
n × E =
i × r
E
Z
z
Z
π
π
j
r
r
r
−β z
E
j
r
r
−β z
E
ϕ
−
−α
− β
E
0
z
j z
0
−α z
2
H
i
e e
i 2
e e
=
−
= 0 −α z
j(−β z ϕ
− )
2
e
i e
− i 2e
y
x
Z
Z
y
x
Z
Wektory rzeczywiste pól:
r r
r
E = i E e−α z cos(ω t − β z) − i 2 E e−α z sin(ω t − β z) x
0
y
0
r
r E −α
r E
0
z
0
H = i 2
e
sin(ω t − β z −ϕ) + i e−α z cos(ω t − β z −ϕ) x
y
Z
Z
K 04
5
ZADANIE 3 (3)
Wektor Poyntinga:
r
r
r
i
i
i
x
y
z
r r r
E e−α z cos(ω t − β z)
−2 E e−α z sin(ω t − β z) 0
S = E × H =
0
0
E −α
E
0
z
0
2
e
sin(ω t − β z −ϕ)
e−α z cos(ω t − β z −ϕ ) 0
Z
Z
2
r E 0 2
= i
e− α z cos(ω t − β z)cos(ω t − β z −ϕ) z Z
2
r E 0 2
+ i 4
e− α z sin(ω t − β z)sin(ω t − β z −ϕ) z
Z
Chwilowa wartość powierzchniowej gęstości mocy: 2
r
E 0 2
S =
e− α z [cos(ω t − β z)cos(ω t − β z −ϕ) + 4sin(ω t − β z)sin(ω t − β z −ϕ )]
Z
K 04
6
3
Zespolony wektor Poyntinga:
r
r
r
i
i
i
x
y
z
r
r
r
π
j
β z
−
S
E H ∗
= ×
=
−α z − jβ z
−α z
2
E e e
2 E e e
0
0
0
π
j +β z
E
ϕ
α
+
−
E
0
z
2
0
−α z j(β z ϕ
+ )
2
e e
e e
0
Z
Z
2
E 0 2
= r i 5
e− α z e jϕ
z
Z
Średnia wartość powierzchniowej gęstości mocy: r
1
{ r
r
r
2
5 E
S } 1
S
Re
Re{ E H ∗
=
=
×
} =
0
2
e− α z cosϕ
2
2
2 Z
K 04
7
ZADANIE 4
Płaszczyzna z = 0 jest granicą dwóch ośrodków – próżni i bezstratnego dielektryka o εw = 4.
Zapisać przykładowo zespolone i rzeczywiste wektory pola elektrycznego i magnetycznego fali padającej, odbitej i przechodzącej.
Rozpatrzyć dwa przypadki:
a) ośrodkiem pierwszym jest próżnia,
b) ośrodkiem pierwszym jest dielektryk.
Narysować obwiednię fali częściowo stojącej pola elektrycznego i magnetycznego w obu przypadkach.
K 04
8
4
• Fala rozchodzi się w kierunku +0z
• Przypadek A: dla z < 0 ośrodek 1: próżnia dla z > 0 ośrodek 2: dielektryk
Impedancje właściwe ośrodków: Z = Z = 120π
Z 0
1
0
Z =
= 60π
2
ε w
Współczynniki fazy w ośrodkach:
β = β
β = ε β = 2β
1
0
2
w
0
0
Z − Z
1
2
1
Współczynnik odbicia dla z = 0: Γ =
= −
Z + Z
3
2
1
Wektory zespolone pól fali padającej:
r+ r
− jβ
r
−
1 z
j 0 z
E = i E e
= i E e β
1
x
0
x
0
r +
1 r
r
r E − β
r E
H
i
E+
=
×
=
0
j
− β
1 z
0
j 0 z
i
e
= i
e
1
z
1
Z
y
y
Z
Z
1
1
0
K 04
9
ZADANIE 4 (3)
Wektory zespolone pól fali odbitej:
r E− = r
jβ z
1 r
1
j 0 z
Γ
= −
1
i E e
i E e β
x
0
x
0
3
r
r
E
jβ z
1 r E
H − = i (−Γ) 0
β
1
0
j 0 z
e
= i
e
1
y
Z
3 y Z
1
0
Wektory zespolone pól fali przechodzącej: r
r
− jβ z
2 r
E = i (1+ Γ)
−
2
j 2 0 z
E e
= i E e β
2
x
0
x
0
3
r
H = r (
E − β
r E
i 1− Γ)
j z
4
0
−
β
2
0
j 2 0 z
2
e
= i
e
y
Z
3 y Z
1
0
K 04
10
5
Wektory rzeczywiste pól:
r +
r+
r
j(ω t−β
r
0 z )
E = Re
j t
E e ω =
1
{ 1 } Re{ i E e
= i E cos ω t − β z x
0
} x 0 (
0 )
r +
r +
r E 0
H = Re
j t
H e ω =
1
{ 1 } i
cos ω t − β z
y
(
0 )
Z 0
r
r
1 r
E− = Re
− j t
E e ω = − i E cos ω t + β z 0
(
0 )
1
{ 1 }
3 x
r
r
1 r E
H− = Re
− j t
H e ω =
0
i
cos(ω t + β z
0 )
1
{ 1 } 3 y Z 0
r
r
r
E
Re
j t
E e ω
=
= 2 i E cos ω t − 2β z 0
(
0 )
2
{ 2 } 3 x
r
r
4 r E
H
Re
j t
H e ω
=
=
0
i
cos(ω t − 2β z
0 )
2
{ 2 } 3 y Z 0
K 04
11
ZADANIE 4 (5)
• Wyrażenie opisujące rozkład amplitudy (obwiednię) pola elektrycznego:
E
2
1 x = 1+ Γ + 2 Γ cos(2β z +ψ
=
j
e ψ
Γ Γ
1
)
E 0
• Wyrażenie opisujące rozkład amplitudy (obwiednię) pola magnetycznego:
H1 y
2
= 1+ Γ − 2 Γ cos(2β z +ψ
1
)
H 0
K 04
12
6