Wykład 7

Równowaga ogólna1

Równowaga ogólna jest kategorią stosowaną do oznaczenia stanu gospodarki, w której na

wszystkich przedmiotowo wyodrębnionych homogenicznych rynkach ustaliły się ceny zapewniające

dostosowanie podaŜy do popytu. Stan równowagi ogólnej rozumiany jest takŜe jako dostosowanie się

globalnego popytu do globalnej podaŜy na rynku danego kraju w przekroju asortymentowym,

przestrzennym i dynamicznym. Brak równowagi w którymkolwiek przekroju rynku oznacza brak

równowagi ogólnej. W realnej gospodarce równowaga jest stanem praktycznie niemoŜliwym do

zaistnienia, jest to jedynie stan docelowy. Na ogół we współczesnej gospodarce rynkowej obserwuje

się stany nierównowagi z nadwyŜką podaŜy, określane mianem rynku nabywcy. Rynek, na którym

występuje nadwyŜka popytu, to rynek sprzedawcy.

Analiza uwarunkowań stanu równowagi, przejawów i skutków jej istnienia, jest bardzo istotnym

problemem teorii ekonomii i praktyki gospodarczej. Stan ten jest równieŜ poŜądany, ze względów politycznych, szczególnie gdy występuje równolegle ze wzrostem, czy szerzej rozwojem

gospodarczym.

Jednym z narzędzi opisu i analizy równowagi w gospodarce są modele matematyczne. PoniewaŜ

pojęcie równowagi ogólnej w gospodarce jest dość rygorystycznie definiowane, modele stanowiąc

jego odzwierciedlenie z konieczności są daleko idącymi abstrakcjami, wymagającymi wielu załoŜeń upraszczających. Podstawowym takim załoŜeniem w przedstawianych przykładowych modelach

równowagi ogólnej jest przyjęcie, Ŝe w gospodarce funkcjonuje doskonały rynek.

W modelach równowagi ogólnej uwzględnione zostają wszystkie rodzaje dóbr wytwarzanych

w gospodarce. Gdy załoŜymy, Ŝe na rynek dostarczanych jest n róŜnych rodzajów dóbr, którym

odpowiada wektor cen

n

p = ( p , p ,..., p )

, wówczas funkcje popytu i

q oraz podaŜy i

q i-tego

1

2

∈ R

n

+

d

s

dobra moŜemy wyrazić w postaci ogólnej jako funkcje wektora cen p odpowiednio:

i

i

q = q ( p , p ,..., p )

d

d

1

2

n

.

i

i

q = q ( p , p ,..., p )

s

s

1

2

n

Układ wszystkich funkcji popytu i podaŜy przyjmuje postać układu 2n równań:

1 Wykład opracowany na podstawie E. Panek: Ekonomia matematyczna, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Poznań 2000, rozdział 3, O. Lange: Ekonometria, Dzieła , t.5, PWE, Warszawa 1976, s.349 i dalsze.

dr Agnieszka Bobrowska

1

Ekonomia matematyczna I

 1

q

q

p p

p

d =

1 ( ,

,...,

)



d

1

2

n

 2

q

q

p p

p

d =

2 ( ,

,...,

)

d

1

2

n

M



 n

q

q

p p

p

d =

n ( ,

,...,

)



d

1

2

n

,

 1

q

q

p p

p

s =

1 ( ,

,...,

)

s

1

2

n

 2

2

 q

q

p p

p

s =

(

,

,...,

)

s

1

2

n

M

 nq q p p p

s =

n ( ,

,...,

)

s

1

2

n

natomiast warunek równowagi składa się z układu n równań:

 1

q

q

d −

1

s = 0

 2 q q

d −

2

s = 0



.

M

 n

q

q

d −

n

s = 0

Model równowagi ogólnej staje się zupełny, gdy rozwaŜamy wszystkie 3n równań łącznie. Po

podstawieniu 2n równań z pierwszego układu do układu drugiego, otrzymujemy uproszony model

w postaci układu n równań zaleŜnych:

 1

q ( p , p ,..., p )

q

p p

p

d

1

2

n

− 1( , ,..., )

s

1

2

n

= 0

 2 q( p , p ,..., p ) q p p

p

d

1

2

n

− 2 ( , ,..., )

s

1

2

n

= 0



M

 n

q ( p , p ,..., p )

n

q

p p

p

d

1

2

n

− ( , ,..., )

s

1

2

n

= 0

7.1. Model Walrasa-Patinkina

Zanim przystąpimy do omówienia modelu Walrasa-Patinkina wprowadźmy następujące oznaczenia:

i

x

~ - n-wymiarowy koszyk (wektor) towarów, który chciałby kupić i-ty konsument,

i

y

~ - k-wymiarowy koszyk (wektor) czynników produkcji, który chciałby sprzedać i-ty konsument,

j

x - n-wymiarowy koszyk (wektor) towarów, który gotowy jest wyprodukować j-ty producent,

j

y - k-wymiarowy koszyk (wektor) czynników produkcji, który chciałby nabyć j-ty producent,

p - wektor cen towarów,

v - wektor cen czynników produkcji.

dr Agnieszka Bobrowska

2

Ekonomia matematyczna I

Model Walrasa-Patinkina jest jednym z wielu modeli równowagi ogólnej. Jest modelem, którego

załoŜenia wywiedzione zostały z neoklasycznej teorii ekonomii. Jest to przede wszystkim model

statyczny, w którym przyjmuje się natychmiastowe dostosowania podaŜy popytu i cen a więc

doskonale działający mechanizm rynkowy. Warte podkreślenia jest przyjęte w tym modelu

rozdzielenie funkcji podmiotów rynkowych, a mianowicie wyodrębnia się konsumentów, którzy są

jednocześnie nabywcami towarów konsumpcyjnych i jedynymi właścicielami czynników wytwórczych.

Drugą grupą podmiotów rynkowych są producenci i jednocześnie sprzedawcy towarów

konsumpcyjnych, o których zakłada się, Ŝe nabywają czynniki wytwórcze od konsumentów. Obie

grupy uczestników rynku mają cechy homo economicus, a celem ich działania jest w przypadku konsumentów jest maksymalizacja poziomu zaspokojenia potrzeb, a producentów maksymalizacja

dochodu osiąganego ze sprzedaŜy wytworzonych towarów. Konsumenci znajdują się w sytuacji

niedosytu, co oznacza, Ŝe chcą wydawać na zakupy dóbr cały swój bieŜący dochód, którego jedynym

źródłem są przychody ze sprzedaŜy lub dzierŜawienia czynników wytwórczych. Model skonstruowany

jest z dwóch segmentów, jeden opisuje tworzenie podaŜy na rynku towarów konsumpcyjnych, drugi opisuje stronę popytową na rynku konsumpcyjnym.

Zakładamy, Ŝe w gospodarce występuje m producentów mających moŜliwość wyprodukowania n

róŜnych rodzajów dóbr oraz l konsumentów, którzy są właścicielami określonych czynników produkcji.

Konsumenci sprzedają posiadane czynniki produkcji po cenach v , by móc następnie nabyć potrzebne im towary dostępne na rynku po cenach p . Aby j-ty producent mógł wyprodukować koszyk dóbr

j

x ,

który następnie mógłby sprzedać po cenie p , potrzebuje nabyć od konsumentów koszyk czynników

produkcji

j

y po cenie v .

W wyniku produkcji koszyka dóbr

j

x , a następnie jego sprzedaŜy po cenie p j-ty producent

uzyskuje dochód wielkości:

j

j

j

j

j

ξ ( x , y ) = p, x − v, y .

p, v

Uwagi:

1. Iloczyn skalarny

j

p, x

oznacza wartość produkcji j-tego producenta wyraŜoną w cenach

rynkowych.

2. Iloczyn skalarny

j

v, y

oznacza wyraŜone wartościowo nakłady, czyli koszt zuŜytych

czynników produkcji j-tego producenta.

Niech funkcja produkcji j-tego producenta

j

n

k

1

F : R+ × R+ → R ,

1

F j ∈ C zadana będzie w postaci

niejawnej:

dr Agnieszka Bobrowska

3

Ekonomia matematyczna I

j

F ( j

x , j

y ) = 0 .

Pamiętamy, Ŝe ma ona cechy klasycznej funkcji produkcji, a więc jest rosnąca względem nakładów, dodatnio jednorodna stopnia 0, ciągła wraz z pochodnymi cząstkowymi stopnia pierwszego i drugiego,

a przy zerowych nakładach efekt produkcyjny jest teŜ zerowy.

Celem j-tego producenta jest maksymalizacja swojego dochodu przy uwzględnieniu ograniczeń

technologicznych. Proces decyzyjny producenta opisuje klasyczny model programowania

matematycznego złoŜony z funkcji celu i warunków ograniczających.

Rozwiązanie zadania decyzyjnego producenta :

max j

ξ ( j

x , j

y ) ,

p, v

z uwzględnieniem procesu produkcyjnego opisywanego przez funkcję produkcji:

j

F ( j

x , j

y ) = 0 .

maksymalizuje dochód j-tego producenta. MoŜemy je znaleźć (o ile istnieje), szukając maksimum

warunkowego przy zastosowaniu funkcji Lagrange’a:

j

L ( j

x , j

y , λ )

j

= ξ ( j

x , j

y )

j

+ λ F ( j

x , j

y ) .

j

p, v

j

Aby wyznaczyć optimum decyzyjne kaŜdego z producentów konieczne jest przyrównanie wszystkich

pochodnych cząstkowych funkcji Lagrange’a do zera, czyli rozwiązanie układu równań:

∂ j

L

∂ j

= +

F

p

λ

j

j

= 0

∂ x

∂ j

x

∂ j

L

∂ j

= − +

F

v

λ

j

j

= 0

∂

∂ j

y

∂ j

L = j

F ( j

x , j

y ) = 0

∂λ

,

j

gdzie:

j - numer producenta i j ∈ { ,

1 ,

2 ..., }

m .

Traktując towary konsumpcyjne oraz czynniki produkcji łącznie, moŜemy mówić o rynku towarów

~ i

~ i ~

z przestrzeni

n

i

ą towarów

k

R +

+

, której elementami są wektory z = ( x , y ) .

W modelu Walrasa-Patinkina preferencje i-tego konsumenta określane są przy pomocy funkcji

u

i

n

k

Ŝyteczności

1

u : R+ × R− → R , określonej na nieujemnych wektorach nabywanych towarów i niedodatnich wektorów sprzedawanych czynników produkcji spełniającej warunek:

dr Agnieszka Bobrowska

4

Ekonomia matematyczna I

i

~1

~1

i

~ 2

~

u ( x ,− y ) ≥ (>) u ( x ,

2

− y ) .

~1

~

Mówimy wówczas,

1

Ŝe koszyk towarów ( x ,− y ) jest przez i-tego konsument słabo (silnie)

~2

~

preferowany nad koszyk towarów ( x ,

2

− y ) .

Znak ujemny wektorów sprzedawanych czynników produkcji tłumaczy się tym, Ŝe konsument

z tytułu sprzedaŜy czynników produkcji otrzymuje wprawdzie dochód, ale pozbywa się alternatywnych

moŜliwości ich wykorzystania co ma negatywny wpływa na ogólną uŜyteczność konsumenta.

Celem kaŜdego konsumenta jest maksymalizacja uŜyteczności konsumpcji przy danym

ograniczeniu budŜetowym. Zakładamy, Ŝe oprócz dochodu ze sprzedaŜy posiadanych czynników

produkcji, konsument otrzymuje równieŜ dochody ze tytułu udziałów w dochodach poszczególnych

producentów. Tytułem do udziału w dochodach producenta jest na przykład bycie akcjonariuszem

spółki.

l

Przez wektor

i

s = ( i

s , i

s ,..., i

s ), ( i

s

s

będziemy oznaczać wektor udziałów i-

m

j ≥

,

0

∑ ij = )1

1

2

i 1

=

tego konsumenta w dochodach poszczególnych producentów, natomiast przez ξ

( x, y) będziemy

p, v

oznacza

1

1

1

2

2

2

m

m

m

ć wektor postaci ξ

( x, y) = (ξ

( x , y ),ξ

( x , y ),...,ξ

( x , y )) , przy czym

p, v

p, v

p, v

p, v

( j

x , j

y ) jest rozwiązaniem zadania maksymalizacji dochodu j-tego producenta.

Zadanie maksymalizacji dla i-tego konsumenta, przy przyjętych wyŜej załoŜeniach, ma postać:

i

~ i

~

max u ( x ,

i

− y )

przy ograniczeniu budŜetowym:

~ i

i

~

v, y

+ s ,ξ ( x, y)

p x

.

p

− , i

v

= 0

,

NaleŜy przypomnieć, Ŝe struktura modelu decyzyjnego konsumenta wynika z załoŜenia o dąŜeniu

konsumenta do zaspokojenia potrzeb w stopniu maksymalny i z istnienia sytuacji niedosytu.

Podobnie jak w przypadku zadania maksymalizacji producenta, do znalezienia rozwiązania

powyŜszego zadania posługujemy się funkcją Lagrange’a:

~

~

~

i

~ i ~ i

i

~ i

~ i

L ( x , y , λ ) = u ( x ,− y ) + λ v y~

,

+ s ,ξ ( x, y) − p x~

,

i

i (

i

i

i

p, v

)

i rozwiązujemy układ równań:

~

∂ Li

∂ ui

~

=

− λ p

i

i

i

= 0

~

~

∂ x

∂ x

dr Agnieszka Bobrowska

5

Ekonomia matematyczna I

~

∂ Li

∂ ui

~

= −

+ λ v

i

i

i

= 0

~

~

∂ y

∂ y

~

∂ i

L

~ i

i

~

= v, y + s ,ξ ( x, y)

p x

,

p

− , i

v

= 0

~

,

∂λ i

gdzie:

i - numer konsumenta i i ∈ { ,

1 ,

2 ..., l}.

Wiemy juŜ zatem, jak szukać koszyków towarów maksymalizujących uŜyteczność konsumentów

oraz koszyków towarów maksymalizujących dochody producentów, nie mamy jednak pewności, czy

konsumenci kupią wszystkie towary oferowane przez producentów albo czy ilości oferowanych przez

producentów towarów nie okaŜą się zbyt małe i tym samym nie zostaną zaspokojone potrzeby

konsumentów. Nie ma równieŜ gwarancji, Ŝe producenci kupią wszystkie znajdujące się na rynku

czynniki produkcji. MoŜe się takŜe zdarzyć, Ŝe ilości czynników, które zechcą sprzedać konsumenci, okaŜą się niewystarczające, aby producenci mogli wykonać swoje plany produkcji.

Producentom i konsumentom uda się zrealizować ich cele, o ile ceny p, v ustalą się na takim poziomie, przy którym popyt konsumentów na towary konsumpcyjne zrówna się z podaŜą tych

towarów (warunek (I)) oraz gdy jednocześnie popyt producentów na czynniki produkcji zrówna się z ich podaŜą (warunek (II)):

l

m

~

(I) ∑ i

x = ∑ j

x ,

i=1

j =1

l

m

~

(II)

∑ iy = ∑ j

y .

i=1

j=1

O wektorach cen towarów

p i cen czynników produkcji v oraz o wektorach

j

j

~ i ~

( x , y ) i

( x , i

y ) będących rozwiązaniem zadań maksymalizacji dochodu przez producentów i maksymalizacji uŜyteczności przez konsumentów spełniających warunki (I) i (II) zwane układem równań bilansowych mówimy, Ŝe tworzą w modelu Walrasa-Patinkina stan równowagi konkurencyjnej.

7.2. Model Walrasa-Walda

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

x - n-wymiarowy wektor całkowitego popytu na towary,

y - n-wymiarowy wektor wszystkich wytwarzanych na rynku towarów,

dr Agnieszka Bobrowska

6

Ekonomia matematyczna I

p - n-wymiarowy wektor cen towarów,

v - k-wymiarowy wektor cen czynników produkcji,

0

z - dany dodatni k-wymiarowy wektor czynników produkcji (zadana podaŜ czynników

produkcji),

n

m

ϕ : R × R \ 0

- funkcja popytu,

*

→

+

{ }

n

R+

n

1

u : R+ → R - społeczna funkcja uŜyteczności.

Model Walrasa-Walda podobnie jak w przypadku modelu Walrasa-Patinkina wyprowadzony jest

z neoklasycznych załoŜeń dotyczących rynku doskonałego.

Zakłada się w nim liniowość niektórych procesów ekonomicznych oraz istnienie globalnych funkcji

uŜyteczności i popytu w skali całej gospodarki, co w znacznym stopniu upraszcza sposób dowodzenia

istnienia równowagi w gospodarce. ZałoŜenie to stanowi podstawową róŜnicę w stosunku do modelu

Walrasa-Walda.

Zakłada się ponadto, Ŝe w gospodarce wytwarza się n róŜnych asortymentów towarów

(konsumpcyjnych) i zuŜywa się k róŜnych czynników produkcji, których podaŜ jest ograniczona. Celem

producentów jest maksymalizacja wartości produkcji, a nie jak dotychczas maksymalizacja dochodu.

Wobec tego producenci podejmują decyzje dotyczące produkowanych ilości i asortymentów. Decyzje

produkcyjne producentów i stosowane przez nich technologie determinują wielkość i strukturę

zapotrzebowania na czynniki wytwórcze.

Producenci mogą nabyć czynniki produkcji od konsumentów, którzy podobnie ja w modelu

Walrasa-Patinkina są ich jedynymi właścicielami, a sprzedaŜ posiadanych czynników produkcji jest źródłem ich dochodów.

O funkcji popytu ϕ zadanej wzorem:

x = ϕ( p, v) = arg max u( x)

0

p, x ≤ v, z

x≥ o

zakładamy, ze jest ciągła i dodania na obszarze określoności. Postać funkcji popytu wynika

z załoŜenia, Ŝe konsumenci maksymalizują uŜyteczności pozyskiwane z rynku i znajdują się w sytuacji

niedosytu.

Zadanie maksymalizacji wielkości produkcji przez producentów przy danym poziomie cen towarów

p moŜemy zapisać w sposób następujący:

Szukamy:

max p, y ,

przy ograniczeniu:

dr Agnieszka Bobrowska

7

Ekonomia matematyczna I

0

By ≤ z ,

y ≥ 0 ,

gdzie:

B = ( b )

jest macierzą nakładów czynników produkcji; przez b rozumiemy niezbędny do

ij

( k , n)

ij

wyprodukowania jednej jednostki j-tego towaru nakład i-tego czynnika produkcji. Iloczyn

By - charakteryzuje popyt na czynniki produkcji zgłaszany przez producentów chcących

wyprodukować wektor towarów y .

Macierz B charakteryzuje bezpośrednio technologie produkcji stosowane w gospodarce.

Nazywana jest teŜ macierzą norm zuŜycia czynników wytwórczych.

O wektorach cen towarów p i cen czynników produkcji v ( p, v - ceny równowagi) oraz o wektorach popytu i podaŜy x, y > 0 spełniających w modelu Walrasa-Walda cztery kolejne warunki:

(I) wektor x jest rozwiązaniem następującego zadania maksymalizacji społecznej funkcji uŜyteczności konsumpcji przy cenach równowagi:

max u( x) ,

przy ograniczeniu budŜetowym:

p, x ≤ v, 0

z ,

x ≥ 0 ,

(II) wektor y jest rozwiązaniem zadania maksymalizacji wartości produkcji przy danych cenach równowagi:

max p, y ,

przy ograniczeniu:

0

By ≤ z ,

y ≥ 0 ,

(III) spełniony jest bilans rzeczowy popytu i podaŜy towarów:

x ≤ y

(IV) spełnione są bilanse finansowe:

p, x = p, y ,

v, By = v, z 0 ,

p = vB ,

mówimy, Ŝe tworzą stan równowagi konkurencyjnej.

dr Agnieszka Bobrowska

8

Ekonomia matematyczna I

Warunki istnienia stanu równowagi w modelu Walrasa-Walda podaje twierdzenie 7.1.

Twierdzenie 7.1. Gdy spełnione są jednocześnie następujące warunki:

(I)

0

B > ,

0

z ,

(II) funkcja uŜyteczności społecznej u jest wklęsła na obszarze określoności, a związana z nią

funkcja popytu ϕ jest ciągła i dodatnia w swojej dziedzinie,

p

∀ > ,

0

v

∀ > ,

0

(

0

p,ϕ( p, v) = v, z )

(III)

∩

∩





p

∀ > ,

0

v

∀ > ,

0

, y

∀ ∈  y': y'= arg max p, y 

p ϕ p v + vBy = p y + v z

0

(

0

, ( , )

,

,

)

(IV)

∩

∩

By≤ z







y≥0



to w modelu Walrasa-Walda istnieje stan równowagi konkurencyjnej.

Stan równowagi konkurencyjnej w rozwaŜanym modelu wyraŜany jest jako dostosowanie

agrestowej podaŜy i agregatowego popytu w gospodarce, w której istnieje konkurencja doskonała, ale

w infrakrótkim okresie podaŜ czynników wytwórczych jest z góry dana (ograniczona).

7.3. Model Leontiefa-Walrasa

Zanim przejdziemy do opisu modelu Leontiefa-Walrasa przedstawimy w postaci tabelarycznej

klasyczne ujęcie w statycznej postaci modelu przepływów międzygałęziowych Leontiefa. Ułatwi to

zrozumienie istoty modelu i wykazanie podstawowych zaleŜności między kategoriami uwzględnianymi

w modelu. W modelu przepływów międzygałęziowych Leontiefa stosuje się kategorie ekonomiczne

właściwe dla systemu ewidencji produktu materialnego, takie jak na przykład: produkcja globalna, przepływ międzygałęziowy, produkt finalny, macierz przepływów międzygałęziowych itd. Model

dotyczy tak zwanej sfery produkcji materialnej i pokazuje relacje jakie powinny wystąpić między produkcją a nakładami, aby w gospodarce globalny popyt, co do ilości i struktury, zrównał się z globalną podaŜą. Zakłada się liniową zaleŜność pomiędzy wielkością produkcji a nakładami

zuŜywanymi w procesie produkcji. Bardzo waŜne w modelu jest uznanie, Ŝe producent oferuje

wytworzone przez siebie towary na rynku i jednocześnie jest nabywcą niezbędnych do produkcji

czynników wytwórczych. Model przepływów międzygałęziowych Leontiefa w pierwotnej wersji był

skonstruowany w jednostkach naturalnych, co uniemoŜliwiało niektóre aspekty analizy. Zatem

przedstawimy jego wersję wartościową.

W gospodarce wyodrębnia się określoną liczbę producentów, z których kaŜdy wytwarza

jednorodny produkt. MoŜna sobie wyobrazić, Ŝe model będzie konstruowany z dokładnością do

pojedynczego wytwórcy, ale praktycznie gospodarkę dzieli się na większe agregaty, którymi są branŜe

czy gałęzie produkcji. KaŜda gałąź wytwarza produkt globalny, który jest częściowo wykorzystywany dr Agnieszka Bobrowska

9

Ekonomia matematyczna I

przez inne gałęzie do wytwarzania ich produktu, a reszta, która nie jest wykorzystywana produkcyjnie

w danym okresie tworzy tak zwany produkt finalny. Produkt finalny dzieli się na część przeznaczaną

na cele konsumpcyjne, część przeznaczaną na inwestycje oraz część eksportowaną. Wielkość

uzyskiwanego produktu finalnego przy danej produkcji globalnej jest tym mniejsza im więcej jest faz przetwarzania w procesie produkcji, czyli im więcej wytwarzanego produktu zuŜywa się w sferze produkcji jako nakłady. Aby powstała produkcja globalna, w gałęzi ponoszone muszą być nakłady towarów pochodzących ze sfery produkcji, nakłady pracy, nakłady kapitału, ziemi, nakłady towarów pochodzących z importu. Jako element nakładów moŜna uwzględniać równieŜ podatki pośrednie.

Podstawowe relacje między występującymi w modelu kategoriami przedstawia tabela 7.1., w której

przyjęto następujące oznaczenia:

i,j =1,2,…,n i jest – indeksem gałęzi produkcji

X, Xj- produkt globalny gałęzi, przy czym j jest indeksem gałęzi traktowanej jako nabywca

czynników wytwórczych, natomiast i stosujemy jako indeks gałęzi traktowanej jako sprzedawca

wytworzonego przez siebie produktu,

xij- określa tzw. przepływ międzygałęziowy, czyli tę część produktu pochodzącego z gałęzi i,

która jest zuŜywana produkcyjnie w gałęzi j,

C- konsumpcja

I- inwestycje

E- eksport,

L-nakłady pracy

K- nakłady kapitału

R- nakłady ziemi,

M- import,

T- podatki pośrednie,

xic- oznacza konsumowaną część produktu pochodzącego z i-tej gałęzi

xiI- oznacza część produktu i-tej gałęzi przeznaczanego na cele inwestycyjne,

xiE- oznacza część produktu tej gałęzi przeznaczana na eksport,

xLj- nakłady pracy wykorzystywane w j-tej gałęzi

Produkcja globalna i-tej gałęzi:

n

X

X

X

X

X

, gdzie i = ,

1 ,

2 ..., n

i = ∑

ij +

iC +

iI +

iE

j =1

Nakłady j-tej gałęzi:

n

X

X

X

X

X

X

X

j = ∑

ij +

Lj +

Kj +

Rj +

Rj +

Rj , gdzie j = ,

1 ,

2 ..., n

i=1

Produkcja globalna i nakłady dla tej samej gałęzi są sobie równe:

dr Agnieszka Bobrowska

10

Ekonomia matematyczna I

X = X , dla i = j ( i, j = ,

1 ,

2 ..., n) .

i

j

Między elementami tablicy przepływów między gałęziowych zachodzą następujące

makroproporcje:

n

n

n

n

n

n

V = ∑ X

X

X

X

X

X

i + ∑

Lj + ∑

Kj + ∑

Rj + ∑

Mj + ∑

Tj

i=1

j =1

j =1

j =1

j =1

j=1

n

n

n

n

V = ∑ X

X

X

X

j + ∑

iC + ∑

iI + ∑

iE

j =1

i=1

i=1

i=1

n

Konsumpcja:

C = ∑ X

iC

i=1

n

Inwestycje:

I = ∑ X

iI

i=1

n

Eksport (netto): E = ∑ X

iE

i=1

n

Płace (brutto):

L = ∑ X

Lj

j =1

n

Zyski (brutto):

K = ∑ X

Kj

j =1

n

Renty gruntowe:

R = ∑ X

Rj

j =1

n

Import (uzupełniający):

M = ∑ X

Mj

j=1

n

Podatki pośrednie (minus subsydia): T = ∑ X .

Tj

j=1

Warunek równowagi rynkowej w modelu przepływów międzygałęziowych ma postać:

L + K + R + M + T = C + I + E

Produkt krajowy brutto w cenach czynników produkcji:

PKB = L + K + R

Produkt krajowy brutto w cenach rynkowych:

PKB = L + K + R + T .

dr Agnieszka Bobrowska

11

Ekonomia matematyczna I

Warunek równowagi moŜna równieŜ przedstawić w następującej postaci:

PKB + M = C + I + E .

dr Agnieszka Bobrowska

12

Ekonomia matematyczna I

Tablica 7.1. Tablica przepływów międzygałęziowych W.W. Leontiefa

Numer

Popyt finalny

)

j

Nakłady

(C

Produkt globalny

ja

i dochody

c

(I)

)

je

K

1

2

3

p

n

c

m

rt (E

u

ty

s

s

o

n

e

ps

i

o

w

k

K

In

E

x

x

x

L

x

x

x

x

X

1

11

12

13

n

1

C

1

1 I

1 E

1

x

x

x

X

2

x x x

L

x

2

21

22

23

2 n

2 C

2 I

2 E

ja

c

kud

X

3

x x x

L

x

x

x

x

31

32

33

3 n

3 C

3 I

3 E

3

roP

M

M

M

M

M

M

M M M M

x

x

x

x

x

x

L

x

nC

nI

nE

n

1

n

n 2

n 3

nn

X

n

Praca (L)

x x

x

L x

n

1

L

L 2

L 3

Ln

∑ x (płace)

Lj

j =1

n

Kapitał (K)

x

x

x

L x

∑ x (zyski)

K 1

K 2

K 3

Kn

Kj

j =1

∑ n x (renty

Rj

Ziemia (R)

x x

x

L x

1

R

R 2

R 3

Rn

j =1

gruntowe)

n

Import (M)

x

x

x

L x

∑ x (import)

M 1

M 2

M 3

Mn

Mj

j =1

n

Podatki

x x

x

L x

∑ x (podatki)

T 1

T 2

T 3

Tn

Tj

j=1

pośrednie (T)

Globalne

nakłady i

X X X

L X

n

n

n

1

2

3

n

popyt finalny

∑ x x x

iC∑ iI ∑ iE

V

i=1

i=1

i=1

dr Agnieszka Bobrowska

13

Ekonomia matematyczna I

Przedstawimy teraz nieco zmodyfikowane ujęcie modelu przepływów międzygałęziowych zwane

modelem Leontiefa-Walrasa w postaci analitycznej.

W modelu Leontiefa-Walrasa zakładamy, Ŝe oprócz nakładów czynników produkcji (dobra

kapitałowe i siła robocza), do prowadzenia działalności produkcyjnej niezbędne są nakłady nietrwałych

czynników wytwórczych takich jak róŜnego rodzaju usługi produkcyjne, surowce, materiały. Dobra

kapitałowe zwane są trwałymi czynnikami wytwórczymi i nie zuŜywają się całkowicie w pojedynczym

procesie wytwórczym, nietrwałe czynniki wytwórcze natomiast zuŜywają się całkowicie.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

x - n-wymiarowy wektor towarów wytwarzanych w gospodarce, które mogą być zuŜywane

w procesie produkcji lub zakupione do celów konsumpcyjnych,

y - k-wymiarowy wektor czynników wytwórczych, który chcą nabyć producenci by móc

wytworzyć wektor towarów x,

p - n-wymiarowy wektor cen towarów,

v - k-wymiarowy wektor cen czynników produkcji,

A = ( a )

- macierz współczynników nakładów bieŜących; element a określa nakład i-tego

ij

( n, n)

ij

towaru niezbędny do wyprodukowania jednej jednostki j-tego towaru,

B = ( b )

- macierz nakładów czynników produkcji (interpretacja taka jak dla modelu

ij

( k , n)

Walrasa-Walda),

n

k

ϕ : R × R \ 0 →

+

+

{ }

n

R+ - funkcja globalnego popytu na towary zadana wzorem:

ϕ( p, v) = (ϕ ( p, v),ϕ ( p, v),...,ϕ ( p, v) , gdzie ϕ ( p, v) - popyt na i-ty towar, 1

2

) T

n

i

n

k

k

ψ : R × R → R

+

+

+ - funkcja globalnej podaŜy czynników produkcji zadana wzorem:

ψ ( p, v) = (ψ ( p, v),ψ ( p, v),...,ψ ( p, v) .

1

2

) T

k

Zakładamy, Ŝe gospodarka jest w stanie wytworzyć więcej towarów niŜ zuŜywa. Warunek ten

zapisujemy następująco:

(I) x

∃ ≥ 0 z = Ax < x ,

gdzie z oznacza nakłady potrzebne do wytworzenia wektora towarów x .

Przyjmujemy ponadto, Ŝe w gospodarce nie moŜna wyodrębnić całkowicie podgospodarki, która

mogłaby funkcjonować jako samodzielna i niezaleŜna gospodarka. Warunek ten moŜna zapisać

w postaci zdania logicznego:





(II) ¬∃ G ⊂ { ,

1 ,

2 ..., }

n  G ≠ ∅ ∧ ∀ i ∉ G, ∀ j ∈ G ( a

ij = 0) 





Warunek (II) czytamy: nie prawda, Ŝe istnieje właściwy, niepusty podzbiór zbioru towarów { ,

1 ,

2 ..., }

n ,

składający się z towarów, które moŜna wytworzyć bez uŜywania towarów do niego nie naleŜących.

dr Agnieszka Bobrowska

14

Ekonomia matematyczna I

Kolejne załoŜenie, które naleŜy poczynić przy omawianiu modelu Leontiefa-Walrasa, to znane ze

wcześniejszych wykładów załoŜenie dodatniej jednorodności stopnia 0 funkcji popytu ϕ oraz funkcji podaŜy ψ . Dodatnia jednorodność stopnia 0 oznacza w tym przypadku, Ŝe popyt i podaŜ nie reagują

na zmianę bezwzględnego poziomu cen towarów i czynników produkcji, a jedynie na zmianę ich

struktury, co zapisujemy w następujący sposób:

(III)

λ

∀ > 0 (ϕ(λ p,λ v) = ϕ( p, v)) oraz λ

∀ > 0 (ψ (λ p,λ v) =ψ ( p, v)).

O funkcjach popytu i podaŜy zakładamy ponadto, Ŝe są ciągłe wraz z ich pierwszymi pochodnymi cząstkowymi. Funkcja popytu spełnia ponadto następujący warunek:

(IV) ϕ( p, v) = 0 ⇒ v = 0 .

Natomiast funkcja podaŜy spełni warunek:

(V) v

ψ

.

i = 0

⇒

( p, v)

i

= 0

Warunek (IV) oznacza, Ŝe zerowy popyt jest przyczyną braku motywacji produkcyjnych, co jest

jednoznaczne z brakiem zainteresowania czynnikami produkcji ze strony producentów, skąd zerowe

ceny czynników produkcji. Warunek (V) mówi natomiast tyle, Ŝe zerowa cena czynnika produkcji nie skłania jego właściciela do jego sprzedaŜy na rynku.

Przypomnijmy, Ŝe macierz B = ( b )

jest nieujemną macierzą nakładów czynników produkcji,

ij

( k , n)

gdzie przez b rozumiemy niezbędny do wyprodukowania jednej jednostki j-tego towaru nakład i-tego ij

czynnika produkcji. Wektor y = Bx charakteryzuje popyt na czynniki produkcji zgłaszany przez producentów chcących wyprodukować wektor towarów x ≥ 0 . O macierzy B zakładamy dodatkowo, Ŝe w kaŜdym jej wierszu istnieje element dodatni, co oznacza, Ŝe kaŜdy czynnik jest wykorzystywany

przy wytwarzaniu przynajmniej jednego towaru.

ZałoŜenia dotyczące macierzy A i macierzy B oznaczają, Ŝe w gospodarce kaŜdy wytworzony towar jest elementem nakładów bieŜących chociaŜby jednego producenta oraz nie istnieje czynnik wytwórczy, który nie jest zuŜywany w procesie produkcyjnym.

Zanim przejdziemy do określenia rozwiązania stanu równowagi w modelu Leontiefa-Walrasa

przypomnijmy jeszcze prawo Walrasa, które stanowi kolejny, ostatni konieczny do przyjęcia warunek:

(VI)

p

∀ , v ≥ 0 ( p,ϕ( p, v) = v,ψ ( p, v) ).

Mówimy, Ŝe trójka wektorów x, p, v > 0 tworzy w modelu Leontiefa-Walrasa stan równowagi, jeŜeli spełnione są warunki równowagi:

dr Agnieszka Bobrowska

15

Ekonomia matematyczna I

(i)

na rynku towarów popyt na towary przy cenach równowagi równa się podaŜy

towarów, czyli:

(ii)

ϕ( p, v) = ( E − A) x ,

gdzie:

E - macierz jednostkowa ( n × n ),

(iii)

na rynku czynników wytwórczych popyt na czynniki wytwórcze przy cenach

równowagi jest równy ich podaŜy, czyli:

Bx = ψ ( p, v ) ,

oraz gdy spełniony jest warunek:

(iv)

ceny towarów w warunkach równowagi kształtują się na poziomie kosztów

wytworzenia, tj. sumy kosztu bieŜącego zuŜycia towarów i kosztu zuŜycia

czynników produkcji:

p = pA + vB .

Twierdzenie 7.2. JeŜeli spełnione są załoŜenia (I)-(VI), to w modelu Leontiefa-Walrasa istnieje przynajmniej jeden stan równowagi konkurencyjnej.

Dzięki przyjętym załoŜeniom (I)-(VI) mamy gwarancję, Ŝe w modelu Leontiefa-Walrasa istnieje co

najmniej jedno rozwiązanie równowagi (nie wiemy dokładnie ile), o czym traktuje twierdzenie 7.2.

(Dowód tego twierdzenia w ksiąŜce: E. Panek, „Elementy ekonomii matematycznej. Statyka” , PWN, Warszawa 1993, str. 130.)

Dla ekonomistów szczególnie interesujący jest przypadek, gdy stan równowagi w modelu jest

określony w sposób jednoznaczny. W tym celu przyjmuje się dodatkowe załoŜenie, które staje się tego

gwarantem. Zanim sformułujemy ten warunek (załoŜenie) wprowadźmy następujące oznaczenia:

ˆ

v = ( v , v ,..., v

,

1

2

k 1

− )

ˆ

ψ ( p, v )

1

,

ˆ

= (ψ ( p, v )

1

,

ˆ

,...,ψ

( p, v )

1

,

ˆ

1

1

−

) T

k









∂ϕ

∂ϕ

ϕ

ϕ

i

∂

∂

ϕ = ϕ( p, v )

1

,

ˆ

,





=

,



i 

=





∂

,

p

 ∂ p

v

v

j 

∂ˆ 



 ∂ j 

( n, n)

( n, k − )

1

∂ ˆ 

ψ

∂ ˆ 

ψ

ψ

ψ

i

∂ ˆ  ∂ ˆ 

ˆ

ψ = ˆ

ψ ( p, v )

1

,

ˆ

,





=

,



i 

=





∂

.

p

 ∂ p

v

v

j 

∂ˆ





 ∂ j 

( k − ,

1 n)

( k − ,

1 k − )

1

dr Agnieszka Bobrowska

16

Ekonomia matematyczna I

Wówczas warunek (VII), który łącznie z przyjętymi wcześniej załoŜeniami (I)-(VI) zapewnia

istnienie dokładnie jednego stanu równowagi konkurencyjnej z wektorami cen towarów i czynników produkcji z dokładnością do struktury brzmi następująco:

(VII) Macierz funkcyjna :

 ∂ϕ

∂ϕ 





∂ p

∂ˆ v

J ( p, ˆ v) = 



∂

ˆ

ψ

∂ ˆ



ψ 

−

−

 ∂ p

∂ˆ v ( n+ k− ,1 n+ k− )1

jest ujemnie półokreślona, tzn.:

n+ k 1

∀λ ∈

−

R

\ { }

0 , ∀ p, ˆ v > 0 (λ J ( p, ˆ v) T

λ < 0).

∩

Porównanie i ustalenie podobieństw między modelem przepływów międzygałęziowych i modelem

Leontiefa-Walrasa pozostawiamy studentowi.

Podsumowanie:

1. Przedstawione modele stanowią próbę uproszczonego z konieczności ujęcia sformalizowanego

kategorii równowagi ogólnej w gospodarce.

2. Omówione modele są modelami statycznymi i zakładają doskonałe dostosowania kategorii

rynkowych , czyli popytu, podaŜy i cen bez opóźnień czasowych.

3. Centralną kategorię omówionych modeli stanowi równowaga konkurencyjna w ujęciu

walrasowskim.

dr Agnieszka Bobrowska

17

Ekonomia matematyczna I

Pytania kontrolne:

1. Przedstaw załoŜenia modeli równowagi ogólnej.

2. Zdefiniuj stan równowagi ogólnej w rozumieniu Walrasa.

3. Postać modelu decyzyjnego producentów w modelu Walrasa-Walda.

4. Co oznacza, Ŝe otrzymujemy w modelu Leontiefa-Walrasa jako rozwiązanie modelu wektor cen

równowagi z dokładnością do struktury?

5. Podaj i zinterpretuj układ równań bilansowych w modelu Walrasa-Patinkina.

6. W jaki sposób w modelu Walrasa-Walda i Walrasa-Leontiefa uwzględniane są technologie

produkcji?

7. Jakie implikacje powoduje uwzględnienie załoŜenia o niedosycie konsumenta w modelu

Walrasa-Patinkina?

dr Agnieszka Bobrowska

18

Ekonomia matematyczna I