Wykład 7

Równowaga ogólna1

Równowaga ogólna jest kategorią stosowaną do oznaczenia stanu gospodarki, w której na

wszystkich przedmiotowo wyodrębnionych homogenicznych rynkach ustaliły się ceny zapewniające

dostosowanie podaży do popytu. Stan równowagi ogólnej rozumiany jest także jako dostosowanie się

globalnego popytu do globalnej podaży na rynku danego kraju w przekroju asortymentowym,

przestrzennym i dynamicznym. Brak równowagi w którymkolwiek przekroju rynku oznacza brak

równowagi ogólnej. W realnej gospodarce równowaga jest stanem praktycznie niemożliwym do

zaistnienia, jest to jedynie stan docelowy. Na ogół we współczesnej gospodarce rynkowej obserwuje

się stany nierównowagi z nadwyżką podaży, określane mianem rynku nabywcy. Rynek, na którym

występuje nadwyżka popytu, to rynek sprzedawcy.

Analiza uwarunkowań stanu równowagi, przejawów i skutków jej istnienia, jest bardzo istotnym

problemem teorii ekonomii i praktyki gospodarczej. Stan ten jest również pożądany, ze względów politycznych, szczególnie gdy występuje równolegle ze wzrostem, czy szerzej rozwojem

gospodarczym.

Jednym z narzędzi opisu i analizy równowagi w gospodarce są modele matematyczne. Ponieważ

pojęcie równowagi ogólnej w gospodarce jest dość rygorystycznie definiowane, modele stanowiąc

jego odzwierciedlenie z konieczności są daleko idącymi abstrakcjami, wymagającymi wielu założeń upraszczających. Podstawowym takim założeniem w przedstawianych przykładowych modelach

równowagi ogólnej jest przyjęcie, że w gospodarce funkcjonuje doskonały rynek.

W modelach równowagi ogólnej uwzględnione zostają wszystkie rodzaje dóbr wytwarzanych

w gospodarce. Gdy założymy, że na rynek dostarczanych jest n różnych rodzajów dóbr, którym

odpowiada wektor cen

n

p = ( p , p ,..., p )

, wówczas funkcje popytu i

q oraz podaży i

q i-tego

1

2

∈ R

n

+

d

s

dobra możemy wyrazić w postaci ogólnej jako funkcje wektora cen p odpowiednio:

i

i

q = q ( p , p ,..., p )

d

d

1

2

n

.

i

i

q = q ( p , p ,..., p )

s

s

1

2

n

Układ wszystkich funkcji popytu i podaży przyjmuje postać układu 2n równań:

1 Wykład opracowany na podstawie E. Panek: Ekonomia matematyczna, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Poznań 2000, rozdział 3, O. Lange: Ekonometria, Dzieła , t.5, PWE, Warszawa 1976, s.349 i dalsze.

dr Agnieszka Bobrowska

1

Ekonomia matematyczna I

 1

q

q

p p

p

d =

1 ( ,

,...,

)



d

1

2

n

 2

q

q

p p

p

d =

2 ( ,

,...,

)

d

1

2

n

M



 n

q

q

p p

p

d =

n ( ,

,...,

)



d

1

2

n

,

 1

q

q

p p

p

s =

1 ( ,

,...,

)

s

1

2

n

 2

2

 q

q

p p

p

s =

(

,

,...,

)

s

1

2

n

M

 nq q p p p

s =

n ( ,

,...,

)

s

1

2

n

natomiast warunek równowagi składa się z układu n równań:

 1

q

q

d −

1

s = 0

 2 q q

d −

2

s = 0



.

M

 n

q

q

d −

n

s = 0

Model równowagi ogólnej staje się zupełny, gdy rozważamy wszystkie 3n równań łącznie. Po

podstawieniu 2n równań z pierwszego układu do układu drugiego, otrzymujemy uproszony model

w postaci układu n równań zależnych:

 1

q ( p , p ,..., p )

q

p p

p

d

1

2

n

− 1( , ,..., )

s

1

2

n

= 0

 2 q( p , p ,..., p ) q p p

p

d

1

2

n

− 2 ( , ,..., )

s

1

2

n

= 0



M

 n

q ( p , p ,..., p )

n

q

p p

p

d

1

2

n

− ( , ,..., )

s

1

2

n

= 0

7.1. Model Walrasa-Patinkina

Zanim przystąpimy do omówienia modelu Walrasa-Patinkina wprowadźmy następujące oznaczenia:

i

x

~ - n-wymiarowy koszyk (wektor) towarów, który chciałby kupić i-ty konsument,

i

y

~ - k-wymiarowy koszyk (wektor) czynników produkcji, który chciałby sprzedać i-ty konsument,

j

x - n-wymiarowy koszyk (wektor) towarów, który gotowy jest wyprodukować j-ty producent,

j

y - k-wymiarowy koszyk (wektor) czynników produkcji, który chciałby nabyć j-ty producent,

p - wektor cen towarów,

v - wektor cen czynników produkcji.

dr Agnieszka Bobrowska

2

Ekonomia matematyczna I

Model Walrasa-Patinkina jest jednym z wielu modeli równowagi ogólnej. Jest modelem, którego

założenia wywiedzione zostały z neoklasycznej teorii ekonomii. Jest to przede wszystkim model

statyczny, w którym przyjmuje się natychmiastowe dostosowania podaży popytu i cen a więc

doskonale działający mechanizm rynkowy. Warte podkreślenia jest przyjęte w tym modelu

rozdzielenie funkcji podmiotów rynkowych, a mianowicie wyodrębnia się konsumentów, którzy są

jednocześnie nabywcami towarów konsumpcyjnych i jedynymi właścicielami czynników wytwórczych.

Drugą grupą podmiotów rynkowych są producenci i jednocześnie sprzedawcy towarów

konsumpcyjnych, o których zakłada się, że nabywają czynniki wytwórcze od konsumentów. Obie

grupy uczestników rynku mają cechy homo economicus, a celem ich działania jest w przypadku konsumentów jest maksymalizacja poziomu zaspokojenia potrzeb, a producentów maksymalizacja

dochodu osiąganego ze sprzedaży wytworzonych towarów. Konsumenci znajdują się w sytuacji

niedosytu, co oznacza, że chcą wydawać na zakupy dóbr cały swój bieżący dochód, którego jedynym

źródłem są przychody ze sprzedaży lub dzierżawienia czynników wytwórczych. Model skonstruowany

jest z dwóch segmentów, jeden opisuje tworzenie podaży na rynku towarów konsumpcyjnych, drugi opisuje stronę popytową na rynku konsumpcyjnym.

Zakładamy, że w gospodarce występuje m producentów mających możliwość wyprodukowania n

różnych rodzajów dóbr oraz l konsumentów, którzy są właścicielami określonych czynników produkcji.

Konsumenci sprzedają posiadane czynniki produkcji po cenach v , by móc następnie nabyć potrzebne im towary dostępne na rynku po cenach p . Aby j-ty producent mógł wyprodukować koszyk dóbr

j

x ,

który następnie mógłby sprzedać po cenie p , potrzebuje nabyć od konsumentów koszyk czynników

produkcji

j

y po cenie v .

W wyniku produkcji koszyka dóbr

j

x , a następnie jego sprzedaży po cenie p j-ty producent

uzyskuje dochód wielkości:

j

j

j

j

j

ξ ( x , y ) = p, x − v, y .

p, v

Uwagi:

1. Iloczyn skalarny

j

p, x

oznacza wartość produkcji j-tego producenta wyrażoną w cenach

rynkowych.

2. Iloczyn skalarny

j

v, y

oznacza wyrażone wartościowo nakłady, czyli koszt zużytych

czynników produkcji j-tego producenta.

Niech funkcja produkcji j-tego producenta

j

n

k

1

F : R+ × R+ → R ,

1

F j ∈ C zadana będzie w postaci

niejawnej:

dr Agnieszka Bobrowska

3

Ekonomia matematyczna I

j

F ( j

x , j

y ) = 0 .

Pamiętamy, że ma ona cechy klasycznej funkcji produkcji, a więc jest rosnąca względem nakładów, dodatnio jednorodna stopnia 0, ciągła wraz z pochodnymi cząstkowymi stopnia pierwszego i drugiego,

a przy zerowych nakładach efekt produkcyjny jest też zerowy.

Celem j-tego producenta jest maksymalizacja swojego dochodu przy uwzględnieniu ograniczeń

technologicznych. Proces decyzyjny producenta opisuje klasyczny model programowania

matematycznego złożony z funkcji celu i warunków ograniczających.

Rozwiązanie zadania decyzyjnego producenta :

max j

ξ ( j

x , j

y ) ,

p, v

z uwzględnieniem procesu produkcyjnego opisywanego przez funkcję produkcji:

j

F ( j

x , j

y ) = 0 .

maksymalizuje dochód j-tego producenta. Możemy je znaleźć (o ile istnieje), szukając maksimum

warunkowego przy zastosowaniu funkcji Lagrange’a:

j

L ( j

x , j

y , λ )

j

= ξ ( j

x , j

y )

j

+ λ F ( j

x , j

y ) .

j

p, v

j

Aby wyznaczyć optimum decyzyjne każdego z producentów konieczne jest przyrównanie wszystkich

pochodnych cząstkowych funkcji Lagrange’a do zera, czyli rozwiązanie układu równań:

∂ j

L

∂ j

= +

F

p

λ

j

j

= 0

∂ x

∂ j

x

∂ j

L

∂ j

= − +

F

v

λ

j

j

= 0

∂

∂ j

y

∂ j

L = j

F ( j

x , j

y ) = 0

∂λ

,

j

gdzie:

j - numer producenta i j ∈ { ,

1 ,

2 ..., }

m .

Traktując towary konsumpcyjne oraz czynniki produkcji łącznie, możemy mówić o rynku towarów

~ i

~ i ~

z przestrzeni

n

i

ą towarów

k

R +

+

, której elementami są wektory z = ( x , y ) .

W modelu Walrasa-Patinkina preferencje i-tego konsumenta określane są przy pomocy funkcji

u

i

n

k

żyteczności

1

u : R+ × R− → R , określonej na nieujemnych wektorach nabywanych towarów i niedodatnich wektorów sprzedawanych czynników produkcji spełniającej warunek:

dr Agnieszka Bobrowska

4

Ekonomia matematyczna I

i

~1

~1

i

~ 2

~

u ( x ,− y ) ≥ (>) u ( x ,

2

− y ) .

~1

~

Mówimy wówczas,

1

że koszyk towarów ( x ,− y ) jest przez i-tego konsument słabo (silnie)

~2

~

preferowany nad koszyk towarów ( x ,

2

− y ) .

Znak ujemny wektorów sprzedawanych czynników produkcji tłumaczy się tym, że konsument

z tytułu sprzedaży czynników produkcji otrzymuje wprawdzie dochód, ale pozbywa się alternatywnych

możliwości ich wykorzystania co ma negatywny wpływa na ogólną użyteczność konsumenta.

Celem każdego konsumenta jest maksymalizacja użyteczności konsumpcji przy danym

ograniczeniu budżetowym. Zakładamy, że oprócz dochodu ze sprzedaży posiadanych czynników

produkcji, konsument otrzymuje również dochody ze tytułu udziałów w dochodach poszczególnych

producentów. Tytułem do udziału w dochodach producenta jest na przykład bycie akcjonariuszem

spółki.

l

Przez wektor

i

s = ( i

s , i

s ,..., i

s ), ( i

s

s

będziemy oznaczać wektor udziałów i-

m

j ≥

,

0

∑ ij = )1

1

2

i 1

=

tego konsumenta w dochodach poszczególnych producentów, natomiast przez ξ

( x, y) będziemy

p, v

oznacza

1

1

1

2

2

2

m

m

m

ć wektor postaci ξ

( x, y) = (ξ

( x , y ),ξ

( x , y ),...,ξ

( x , y )) , przy czym

p, v

p, v

p, v

p, v

( j

x , j

y ) jest rozwiązaniem zadania maksymalizacji dochodu j-tego producenta.

Zadanie maksymalizacji dla i-tego konsumenta, przy przyjętych wyżej założeniach, ma postać:

i

~ i

~

max u ( x ,

i

− y )

przy ograniczeniu budżetowym:

~ i

i

~

v, y

+ s ,ξ ( x, y)

p x

.

p

− , i

v

= 0

,

Należy przypomnieć, że struktura modelu decyzyjnego konsumenta wynika z założenia o dążeniu

konsumenta do zaspokojenia potrzeb w stopniu maksymalny i z istnienia sytuacji niedosytu.

Podobnie jak w przypadku zadania maksymalizacji producenta, do znalezienia rozwiązania

powyższego zadania posługujemy się funkcją Lagrange’a:

~

~

~

i

~ i ~ i

i

~ i

~ i

L ( x , y , λ ) = u ( x ,− y ) + λ v y~

,

+ s ,ξ ( x, y) − p x~

,

i

i (

i

i

i

p, v

)

i rozwiązujemy układ równań:

~

∂ Li

∂ ui

~

=

− λ p

i

i

i

= 0

~

~

∂ x

∂ x

dr Agnieszka Bobrowska

5

Ekonomia matematyczna I

~

∂ Li

∂ ui

~

= −

+ λ v

i

i

i

= 0

~

~

∂ y

∂ y

~

∂ i

L

~ i

i

~

= v, y + s ,ξ ( x, y)

p x

,

p

− , i

v

= 0

~

,

∂λ i

gdzie:

i - numer konsumenta i i ∈ { ,

1 ,

2 ..., l}.

Wiemy już zatem, jak szukać koszyków towarów maksymalizujących użyteczność konsumentów

oraz koszyków towarów maksymalizujących dochody producentów, nie mamy jednak pewności, czy

konsumenci kupią wszystkie towary oferowane przez producentów albo czy ilości oferowanych przez

producentów towarów nie okażą się zbyt małe i tym samym nie zostaną zaspokojone potrzeby

konsumentów. Nie ma również gwarancji, że producenci kupią wszystkie znajdujące się na rynku

czynniki produkcji. Może się także zdarzyć, że ilości czynników, które zechcą sprzedać konsumenci, okażą się niewystarczające, aby producenci mogli wykonać swoje plany produkcji.

Producentom i konsumentom uda się zrealizować ich cele, o ile ceny p, v ustalą się na takim poziomie, przy którym popyt konsumentów na towary konsumpcyjne zrówna się z podażą tych

towarów (warunek (I)) oraz gdy jednocześnie popyt producentów na czynniki produkcji zrówna się z ich podażą (warunek (II)):

l

m

~

(I) ∑ i

x = ∑ j

x ,

i=1

j =1

l

m

~

(II)

∑ iy = ∑ j

y .

i=1

j=1

O wektorach cen towarów

p i cen czynników produkcji v oraz o wektorach

j

j

~ i ~

( x , y ) i

( x , i

y ) będących rozwiązaniem zadań maksymalizacji dochodu przez producentów i maksymalizacji użyteczności przez konsumentów spełniających warunki (I) i (II) zwane układem równań bilansowych mówimy, że tworzą w modelu Walrasa-Patinkina stan równowagi konkurencyjnej.

7.2. Model Walrasa-Walda

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

x - n-wymiarowy wektor całkowitego popytu na towary,

y - n-wymiarowy wektor wszystkich wytwarzanych na rynku towarów,

dr Agnieszka Bobrowska

6

Ekonomia matematyczna I

p - n-wymiarowy wektor cen towarów,

v - k-wymiarowy wektor cen czynników produkcji,

0

z - dany dodatni k-wymiarowy wektor czynników produkcji (zadana podaż czynników

produkcji),

n

m

ϕ : R × R \ 0

- funkcja popytu,

*

→

+

{ }

n

R+

n

1

u : R+ → R - społeczna funkcja użyteczności.

Model Walrasa-Walda podobnie jak w przypadku modelu Walrasa-Patinkina wyprowadzony jest

z neoklasycznych założeń dotyczących rynku doskonałego.

Zakłada się w nim liniowość niektórych procesów ekonomicznych oraz istnienie globalnych funkcji

użyteczności i popytu w skali całej gospodarki, co w znacznym stopniu upraszcza sposób dowodzenia

istnienia równowagi w gospodarce. Założenie to stanowi podstawową różnicę w stosunku do modelu

Walrasa-Walda.

Zakłada się ponadto, że w gospodarce wytwarza się n różnych asortymentów towarów

(konsumpcyjnych) i zużywa się k różnych czynników produkcji, których podaż jest ograniczona. Celem

producentów jest maksymalizacja wartości produkcji, a nie jak dotychczas maksymalizacja dochodu.

Wobec tego producenci podejmują decyzje dotyczące produkowanych ilości i asortymentów. Decyzje

produkcyjne producentów i stosowane przez nich technologie determinują wielkość i strukturę

zapotrzebowania na czynniki wytwórcze.

Producenci mogą nabyć czynniki produkcji od konsumentów, którzy podobnie ja w modelu

Walrasa-Patinkina są ich jedynymi właścicielami, a sprzedaż posiadanych czynników produkcji jest źródłem ich dochodów.

O funkcji popytu ϕ zadanej wzorem:

x = ϕ( p, v) = arg max u( x)

0

p, x ≤ v, z

x≥ o

zakładamy, ze jest ciągła i dodania na obszarze określoności. Postać funkcji popytu wynika

z założenia, że konsumenci maksymalizują użyteczności pozyskiwane z rynku i znajdują się w sytuacji

niedosytu.

Zadanie maksymalizacji wielkości produkcji przez producentów przy danym poziomie cen towarów

p możemy zapisać w sposób następujący:

Szukamy:

max p, y ,

przy ograniczeniu:

dr Agnieszka Bobrowska

7

Ekonomia matematyczna I

0

By ≤ z ,

y ≥ 0 ,

gdzie:

B = ( b )

jest macierzą nakładów czynników produkcji; przez b rozumiemy niezbędny do

ij

( k , n)

ij

wyprodukowania jednej jednostki j-tego towaru nakład i-tego czynnika produkcji. Iloczyn

By - charakteryzuje popyt na czynniki produkcji zgłaszany przez producentów chcących

wyprodukować wektor towarów y .

Macierz B charakteryzuje bezpośrednio technologie produkcji stosowane w gospodarce.

Nazywana jest też macierzą norm zużycia czynników wytwórczych.

O wektorach cen towarów p i cen czynników produkcji v ( p, v - ceny równowagi) oraz o wektorach popytu i podaży x, y > 0 spełniających w modelu Walrasa-Walda cztery kolejne warunki:

(I) wektor x jest rozwiązaniem następującego zadania maksymalizacji społecznej funkcji użyteczności konsumpcji przy cenach równowagi:

max u( x) ,

przy ograniczeniu budżetowym:

p, x ≤ v, 0

z ,

x ≥ 0 ,

(II) wektor y jest rozwiązaniem zadania maksymalizacji wartości produkcji przy danych cenach równowagi:

max p, y ,

przy ograniczeniu:

0

By ≤ z ,

y ≥ 0 ,

(III) spełniony jest bilans rzeczowy popytu i podaży towarów:

x ≤ y

(IV) spełnione są bilanse finansowe:

p, x = p, y ,

v, By = v, z 0 ,

p = vB ,

mówimy, że tworzą stan równowagi konkurencyjnej.

dr Agnieszka Bobrowska

8

Ekonomia matematyczna I

Warunki istnienia stanu równowagi w modelu Walrasa-Walda podaje twierdzenie 7.1.

Twierdzenie 7.1. Gdy spełnione są jednocześnie następujące warunki:

(I)

0

B > ,

0

z ,

(II) funkcja użyteczności społecznej u jest wklęsła na obszarze określoności, a związana z nią

funkcja popytu ϕ jest ciągła i dodatnia w swojej dziedzinie,

p

∀ > ,

0

v

∀ > ,

0

(

0

p,ϕ( p, v) = v, z )

(III)

∩

∩





p

∀ > ,

0

v

∀ > ,

0

, y

∀ ∈  y': y'= arg max p, y 

p ϕ p v + vBy = p y + v z

0

(

0

, ( , )

,

,

)

(IV)

∩

∩

By≤ z







y≥0



to w modelu Walrasa-Walda istnieje stan równowagi konkurencyjnej.

Stan równowagi konkurencyjnej w rozważanym modelu wyrażany jest jako dostosowanie

agrestowej podaży i agregatowego popytu w gospodarce, w której istnieje konkurencja doskonała, ale

w infrakrótkim okresie podaż czynników wytwórczych jest z góry dana (ograniczona).

7.3. Model Leontiefa-Walrasa

Zanim przejdziemy do opisu modelu Leontiefa-Walrasa przedstawimy w postaci tabelarycznej

klasyczne ujęcie w statycznej postaci modelu przepływów międzygałęziowych Leontiefa. Ułatwi to

zrozumienie istoty modelu i wykazanie podstawowych zależności między kategoriami uwzględnianymi

w modelu. W modelu przepływów międzygałęziowych Leontiefa stosuje się kategorie ekonomiczne

właściwe dla systemu ewidencji produktu materialnego, takie jak na przykład: produkcja globalna, przepływ międzygałęziowy, produkt finalny, macierz przepływów międzygałęziowych itd. Model

dotyczy tak zwanej sfery produkcji materialnej i pokazuje relacje jakie powinny wystąpić między produkcją a nakładami, aby w gospodarce globalny popyt, co do ilości i struktury, zrównał się z globalną podażą. Zakłada się liniową zależność pomiędzy wielkością produkcji a nakładami

zużywanymi w procesie produkcji. Bardzo ważne w modelu jest uznanie, że producent oferuje

wytworzone przez siebie towary na rynku i jednocześnie jest nabywcą niezbędnych do produkcji

czynników wytwórczych. Model przepływów międzygałęziowych Leontiefa w pierwotnej wersji był

skonstruowany w jednostkach naturalnych, co uniemożliwiało niektóre aspekty analizy. Zatem

przedstawimy jego wersję wartościową.

W gospodarce wyodrębnia się określoną liczbę producentów, z których każdy wytwarza

jednorodny produkt. Można sobie wyobrazić, że model będzie konstruowany z dokładnością do

pojedynczego wytwórcy, ale praktycznie gospodarkę dzieli się na większe agregaty, którymi są branże

czy gałęzie produkcji. Każda gałąź wytwarza produkt globalny, który jest częściowo wykorzystywany dr Agnieszka Bobrowska

9

Ekonomia matematyczna I

przez inne gałęzie do wytwarzania ich produktu, a reszta, która nie jest wykorzystywana produkcyjnie

w danym okresie tworzy tak zwany produkt finalny. Produkt finalny dzieli się na część przeznaczaną

na cele konsumpcyjne, część przeznaczaną na inwestycje oraz część eksportowaną. Wielkość

uzyskiwanego produktu finalnego przy danej produkcji globalnej jest tym mniejsza im więcej jest faz przetwarzania w procesie produkcji, czyli im więcej wytwarzanego produktu zużywa się w sferze produkcji jako nakłady. Aby powstała produkcja globalna, w gałęzi ponoszone muszą być nakłady towarów pochodzących ze sfery produkcji, nakłady pracy, nakłady kapitału, ziemi, nakłady towarów pochodzących z importu. Jako element nakładów można uwzględniać również podatki pośrednie.

Podstawowe relacje między występującymi w modelu kategoriami przedstawia tabela 7.1., w której

przyjęto następujące oznaczenia:

i,j =1,2,…,n i jest – indeksem gałęzi produkcji

X, Xj- produkt globalny gałęzi, przy czym j jest indeksem gałęzi traktowanej jako nabywca

czynników wytwórczych, natomiast i stosujemy jako indeks gałęzi traktowanej jako sprzedawca

wytworzonego przez siebie produktu,

xij- określa tzw. przepływ międzygałęziowy, czyli tę część produktu pochodzącego z gałęzi i,

która jest zużywana produkcyjnie w gałęzi j,

C- konsumpcja

I- inwestycje

E- eksport,

L-nakłady pracy

K- nakłady kapitału

R- nakłady ziemi,

M- import,

T- podatki pośrednie,

xic- oznacza konsumowaną część produktu pochodzącego z i-tej gałęzi

xiI- oznacza część produktu i-tej gałęzi przeznaczanego na cele inwestycyjne,

xiE- oznacza część produktu tej gałęzi przeznaczana na eksport,

xLj- nakłady pracy wykorzystywane w j-tej gałęzi

Produkcja globalna i-tej gałęzi:

n

X

X

X

X

X

, gdzie i = ,

1 ,

2 ..., n

i = ∑

ij +

iC +

iI +

iE

j =1

Nakłady j-tej gałęzi:

n

X

X

X

X

X

X

X

j = ∑

ij +

Lj +

Kj +

Rj +

Rj +

Rj , gdzie j = ,

1 ,

2 ..., n

i=1

Produkcja globalna i nakłady dla tej samej gałęzi są sobie równe:

dr Agnieszka Bobrowska

10

Ekonomia matematyczna I

X = X , dla i = j ( i, j = ,

1 ,

2 ..., n) .

i

j

Między elementami tablicy przepływów między gałęziowych zachodzą następujące

makroproporcje:

n

n

n

n

n

n

V = ∑ X

X

X

X

X

X

i + ∑

Lj + ∑

Kj + ∑

Rj + ∑

Mj + ∑

Tj

i=1

j =1

j =1

j =1

j =1

j=1

n

n

n

n

V = ∑ X

X

X

X

j + ∑

iC + ∑

iI + ∑

iE

j =1

i=1

i=1

i=1

n

Konsumpcja:

C = ∑ X

iC

i=1

n

Inwestycje:

I = ∑ X

iI

i=1

n

Eksport (netto): E = ∑ X

iE

i=1

n

Płace (brutto):

L = ∑ X

Lj

j =1

n

Zyski (brutto):

K = ∑ X

Kj

j =1

n

Renty gruntowe:

R = ∑ X

Rj

j =1

n

Import (uzupełniający):

M = ∑ X

Mj

j=1

n

Podatki pośrednie (minus subsydia): T = ∑ X .

Tj

j=1

Warunek równowagi rynkowej w modelu przepływów międzygałęziowych ma postać:

L + K + R + M + T = C + I + E

Produkt krajowy brutto w cenach czynników produkcji:

PKB = L + K + R

Produkt krajowy brutto w cenach rynkowych:

PKB = L + K + R + T .

dr Agnieszka Bobrowska

11

Ekonomia matematyczna I

Warunek równowagi można również przedstawić w następującej postaci:

PKB + M = C + I + E .

dr Agnieszka Bobrowska

12

Ekonomia matematyczna I

Tablica 7.1. Tablica przepływów międzygałęziowych W.W. Leontiefa

Numer

Popyt finalny

)

j

Nakłady

(C

Produkt globalny

ja

i dochody

c

(I)

)

je

K

1

2

3

p

n

c

m

rt (E

u

ty

s

s

o

n

e

ps

i

o

w

k

K

In

E

x

x

x

L

x

x

x

x

X

1

11

12

13

n

1

C

1

1 I

1 E

1

x

x

x

X

2

x x x

L

x

2

21

22

23

2 n

2 C

2 I

2 E

ja

c

kud

X

3

x x x

L

x

x

x

x

31

32

33

3 n

3 C

3 I

3 E

3

roP

M

M

M

M

M

M

M M M M

x

x

x

x

x

x

L

x

nC

nI

nE

n

1

n

n 2

n 3

nn

X

n

Praca (L)

x x

x

L x

n

1

L

L 2

L 3

Ln

∑ x (płace)

Lj

j =1

n

Kapitał (K)

x

x

x

L x

∑ x (zyski)

K 1

K 2

K 3

Kn

Kj

j =1

∑ n x (renty

Rj

Ziemia (R)

x x

x

L x

1

R

R 2

R 3

Rn

j =1

gruntowe)

n

Import (M)

x

x

x

L x

∑ x (import)

M 1

M 2

M 3

Mn

Mj

j =1

n

Podatki

x x

x

L x

∑ x (podatki)

T 1

T 2

T 3

Tn

Tj

j=1

pośrednie (T)

Globalne

nakłady i

X X X

L X

n

n

n

1

2

3

n

popyt finalny

∑ x x x

iC∑ iI ∑ iE

V

i=1

i=1

i=1

dr Agnieszka Bobrowska

13

Ekonomia matematyczna I

Przedstawimy teraz nieco zmodyfikowane ujęcie modelu przepływów międzygałęziowych zwane

modelem Leontiefa-Walrasa w postaci analitycznej.

W modelu Leontiefa-Walrasa zakładamy, że oprócz nakładów czynników produkcji (dobra

kapitałowe i siła robocza), do prowadzenia działalności produkcyjnej niezbędne są nakłady nietrwałych

czynników wytwórczych takich jak różnego rodzaju usługi produkcyjne, surowce, materiały. Dobra

kapitałowe zwane są trwałymi czynnikami wytwórczymi i nie zużywają się całkowicie w pojedynczym

procesie wytwórczym, nietrwałe czynniki wytwórcze natomiast zużywają się całkowicie.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

x - n-wymiarowy wektor towarów wytwarzanych w gospodarce, które mogą być zużywane

w procesie produkcji lub zakupione do celów konsumpcyjnych,

y - k-wymiarowy wektor czynników wytwórczych, który chcą nabyć producenci by móc

wytworzyć wektor towarów x,

p - n-wymiarowy wektor cen towarów,

v - k-wymiarowy wektor cen czynników produkcji,

A = ( a )

- macierz współczynników nakładów bieżących; element a określa nakład i-tego

ij

( n, n)

ij

towaru niezbędny do wyprodukowania jednej jednostki j-tego towaru,

B = ( b )

- macierz nakładów czynników produkcji (interpretacja taka jak dla modelu

ij

( k , n)

Walrasa-Walda),

n

k

ϕ : R × R \ 0 →

+

+

{ }

n

R+ - funkcja globalnego popytu na towary zadana wzorem:

ϕ( p, v) = (ϕ ( p, v),ϕ ( p, v),...,ϕ ( p, v) , gdzie ϕ ( p, v) - popyt na i-ty towar, 1

2

) T

n

i

n

k

k

ψ : R × R → R

+

+

+ - funkcja globalnej podaży czynników produkcji zadana wzorem:

ψ ( p, v) = (ψ ( p, v),ψ ( p, v),...,ψ ( p, v) .

1

2

) T

k

Zakładamy, że gospodarka jest w stanie wytworzyć więcej towarów niż zużywa. Warunek ten

zapisujemy następująco:

(I) x

∃ ≥ 0 z = Ax < x ,

gdzie z oznacza nakłady potrzebne do wytworzenia wektora towarów x .

Przyjmujemy ponadto, że w gospodarce nie można wyodrębnić całkowicie podgospodarki, która

mogłaby funkcjonować jako samodzielna i niezależna gospodarka. Warunek ten można zapisać

w postaci zdania logicznego:





(II) ¬∃ G ⊂ { ,

1 ,

2 ..., }

n  G ≠ ∅ ∧ ∀ i ∉ G, ∀ j ∈ G ( a

ij = 0) 





Warunek (II) czytamy: nie prawda, że istnieje właściwy, niepusty podzbiór zbioru towarów { ,

1 ,

2 ..., }

n ,

składający się z towarów, które można wytworzyć bez używania towarów do niego nie należących.

dr Agnieszka Bobrowska

14

Ekonomia matematyczna I

Kolejne założenie, które należy poczynić przy omawianiu modelu Leontiefa-Walrasa, to znane ze

wcześniejszych wykładów założenie dodatniej jednorodności stopnia 0 funkcji popytu ϕ oraz funkcji podaży ψ . Dodatnia jednorodność stopnia 0 oznacza w tym przypadku, że popyt i podaż nie reagują

na zmianę bezwzględnego poziomu cen towarów i czynników produkcji, a jedynie na zmianę ich

struktury, co zapisujemy w następujący sposób:

(III)

λ

∀ > 0 (ϕ(λ p,λ v) = ϕ( p, v)) oraz λ

∀ > 0 (ψ (λ p,λ v) =ψ ( p, v)).

O funkcjach popytu i podaży zakładamy ponadto, że są ciągłe wraz z ich pierwszymi pochodnymi cząstkowymi. Funkcja popytu spełnia ponadto następujący warunek:

(IV) ϕ( p, v) = 0 ⇒ v = 0 .

Natomiast funkcja podaży spełni warunek:

(V) v

ψ

.

i = 0

⇒

( p, v)

i

= 0

Warunek (IV) oznacza, że zerowy popyt jest przyczyną braku motywacji produkcyjnych, co jest

jednoznaczne z brakiem zainteresowania czynnikami produkcji ze strony producentów, skąd zerowe

ceny czynników produkcji. Warunek (V) mówi natomiast tyle, że zerowa cena czynnika produkcji nie skłania jego właściciela do jego sprzedaży na rynku.

Przypomnijmy, że macierz B = ( b )

jest nieujemną macierzą nakładów czynników produkcji,

ij

( k , n)

gdzie przez b rozumiemy niezbędny do wyprodukowania jednej jednostki j-tego towaru nakład i-tego ij

czynnika produkcji. Wektor y = Bx charakteryzuje popyt na czynniki produkcji zgłaszany przez producentów chcących wyprodukować wektor towarów x ≥ 0 . O macierzy B zakładamy dodatkowo, że w każdym jej wierszu istnieje element dodatni, co oznacza, że każdy czynnik jest wykorzystywany

przy wytwarzaniu przynajmniej jednego towaru.

Założenia dotyczące macierzy A i macierzy B oznaczają, że w gospodarce każdy wytworzony towar jest elementem nakładów bieżących chociażby jednego producenta oraz nie istnieje czynnik wytwórczy, który nie jest zużywany w procesie produkcyjnym.

Zanim przejdziemy do określenia rozwiązania stanu równowagi w modelu Leontiefa-Walrasa

przypomnijmy jeszcze prawo Walrasa, które stanowi kolejny, ostatni konieczny do przyjęcia warunek:

(VI)

p

∀ , v ≥ 0 ( p,ϕ( p, v) = v,ψ ( p, v) ).

Mówimy, że trójka wektorów x, p, v > 0 tworzy w modelu Leontiefa-Walrasa stan równowagi, jeżeli spełnione są warunki równowagi:

dr Agnieszka Bobrowska

15

Ekonomia matematyczna I

(i)

na rynku towarów popyt na towary przy cenach równowagi równa się podaży

towarów, czyli:

(ii)

ϕ( p, v) = ( E − A) x ,

gdzie:

E - macierz jednostkowa ( n × n ),

(iii)

na rynku czynników wytwórczych popyt na czynniki wytwórcze przy cenach

równowagi jest równy ich podaży, czyli:

Bx = ψ ( p, v ) ,

oraz gdy spełniony jest warunek:

(iv)

ceny towarów w warunkach równowagi kształtują się na poziomie kosztów

wytworzenia, tj. sumy kosztu bieżącego zużycia towarów i kosztu zużycia

czynników produkcji:

p = pA + vB .

Twierdzenie 7.2. Jeżeli spełnione są założenia (I)-(VI), to w modelu Leontiefa-Walrasa istnieje przynajmniej jeden stan równowagi konkurencyjnej.

Dzięki przyjętym założeniom (I)-(VI) mamy gwarancję, że w modelu Leontiefa-Walrasa istnieje co

najmniej jedno rozwiązanie równowagi (nie wiemy dokładnie ile), o czym traktuje twierdzenie 7.2.

(Dowód tego twierdzenia w książce: E. Panek, „Elementy ekonomii matematycznej. Statyka” , PWN, Warszawa 1993, str. 130.)

Dla ekonomistów szczególnie interesujący jest przypadek, gdy stan równowagi w modelu jest

określony w sposób jednoznaczny. W tym celu przyjmuje się dodatkowe założenie, które staje się tego

gwarantem. Zanim sformułujemy ten warunek (założenie) wprowadźmy następujące oznaczenia:

ˆ

v = ( v , v ,..., v

,

1

2

k 1

− )

ˆ

ψ ( p, v )

1

,

ˆ

= (ψ ( p, v )

1

,

ˆ

,...,ψ

( p, v )

1

,

ˆ

1

1

−

) T

k









∂ϕ

∂ϕ

ϕ

ϕ

i

∂

∂

ϕ = ϕ( p, v )

1

,

ˆ

,





=

,



i 

=





∂

,

p

 ∂ p

v

v

j 

∂ˆ 



 ∂ j 

( n, n)

( n, k − )

1

∂ ˆ 

ψ

∂ ˆ 

ψ

ψ

ψ

i

∂ ˆ  ∂ ˆ 

ˆ

ψ = ˆ

ψ ( p, v )

1

,

ˆ

,





=

,



i 

=





∂

.

p

 ∂ p

v

v

j 

∂ˆ





 ∂ j 

( k − ,

1 n)

( k − ,

1 k − )

1

dr Agnieszka Bobrowska

16

Ekonomia matematyczna I

Wówczas warunek (VII), który łącznie z przyjętymi wcześniej założeniami (I)-(VI) zapewnia

istnienie dokładnie jednego stanu równowagi konkurencyjnej z wektorami cen towarów i czynników produkcji z dokładnością do struktury brzmi następująco:

(VII) Macierz funkcyjna :

 ∂ϕ

∂ϕ 





∂ p

∂ˆ v

J ( p, ˆ v) = 



∂

ˆ

ψ

∂ ˆ



ψ 

−

−

 ∂ p

∂ˆ v ( n+ k− ,1 n+ k− )1

jest ujemnie półokreślona, tzn.:

n+ k 1

∀λ ∈

−

R

\ { }

0 , ∀ p, ˆ v > 0 (λ J ( p, ˆ v) T

λ < 0).

∩

Porównanie i ustalenie podobieństw między modelem przepływów międzygałęziowych i modelem

Leontiefa-Walrasa pozostawiamy studentowi.

Podsumowanie:

1. Przedstawione modele stanowią próbę uproszczonego z konieczności ujęcia sformalizowanego

kategorii równowagi ogólnej w gospodarce.

2. Omówione modele są modelami statycznymi i zakładają doskonałe dostosowania kategorii

rynkowych , czyli popytu, podaży i cen bez opóźnień czasowych.

3. Centralną kategorię omówionych modeli stanowi równowaga konkurencyjna w ujęciu

walrasowskim.

dr Agnieszka Bobrowska

17

Ekonomia matematyczna I

Pytania kontrolne:

1. Przedstaw założenia modeli równowagi ogólnej.

2. Zdefiniuj stan równowagi ogólnej w rozumieniu Walrasa.

3. Postać modelu decyzyjnego producentów w modelu Walrasa-Walda.

4. Co oznacza, że otrzymujemy w modelu Leontiefa-Walrasa jako rozwiązanie modelu wektor cen

równowagi z dokładnością do struktury?

5. Podaj i zinterpretuj układ równań bilansowych w modelu Walrasa-Patinkina.

6. W jaki sposób w modelu Walrasa-Walda i Walrasa-Leontiefa uwzględniane są technologie

produkcji?

7. Jakie implikacje powoduje uwzględnienie założenia o niedosycie konsumenta w modelu

Walrasa-Patinkina?

dr Agnieszka Bobrowska

18

Ekonomia matematyczna I