1
Zadanie
W elemencie R, w czasie t1 = 10 minut, przy napięciu stałym U = 200V, wydzieliła się 1
energia W =
kWh. Należy wyznaczyć; oporność elementu R, natężenie prądu 15
elektrycznego, moc P z jaką energia elektryczna jest rozpraszana w elemencie R.
Rozwiązanie:
3600
W
=
kWs = 240 kJ
15
240000
P A
= ;
P
=
W =
W
400
t
600
1
P
I
=
;
I= 2A
U
U
R
=
= 100 Ω
I
Zadanie
W obwodzie o R = 2 Ω prąd źródła prądu podany jest przepisem j = - 2t2 + 8t A.
a. Narysować funkcję prądu źródłowego.
b. Obliczyć i narysować napięcie źródła prądu.
c. Obliczyć i narysować przebieg funkcji mocy źródła w przedziale czasu -2 ≤ t ≤ 6 s.
d. Obliczyć wartość energii rozproszonej w elemencie R w przedziale czasu 0 ≤ t ≤ 4 s.
j
u
u
j
R
R
Rozwiązanie;
NPK u
u
-
=
u
0,
= u
= R
j
j
R
j
R
uj = -4t2 + 16t V
pj = uj j ; pj = pR = 8 ( -t2 + 8t )2 W; 0 〈 pR = R j2 ; dla - ∞〈 〈+∞
t
t2
4
WR = ∫ pR dt ; WR = ∫ 8 ( - t2 + 8t )2 dt = 4369 J
1
t
0
2
j [A]
5
t [s]
-2
2
4
6
-5
-10
-15
-20
u
[V]
10
t
[s]
-2
2
4
6
-10
-20
-30
-40
P
[W]
300
250
200
150
100
50
t
[s]
-2
2
4
6
Zadanie
Natężenie prądu w elemencie L = 2H podane jest przepisem: i = -t2 +4t A.
a. Narysować zadany przebieg i .
b. Obliczyć i narysować napięcie elementu L, wyznaczyć jego najmniejszą wartość.
c. Obliczyć i narysować moc chwilową p rozważanego elementu.
d. Obliczyć i narysować funkcję energii gromadzonej w elemencie L w przedziale czasu
- 2 ≤ t ≤ 6s.
Rozwiązanie;
di
u = L
; u = -4t + 8 V, dla t = 2s, u(2) = 0.
dt
p = u i = 4t3 - 24t2 + 32t W
1
wL = Li2 = t4 – 8t3 + 16t2 J
2
3
j [A]
2.5
t
[s]
-2
2
4
6
-2.5
-5
-7.5
-10
u
[V]
15
10
5
t
[s]
-2
2
4
6
-5
-10
-15
P
[W]
40
20
t
[s]
-2
2
4
6
-20
-40
W [J]
40
30
20
10
t
[s]
-2
2
4
6
4
Zadanie
1
Napięcie elektryczne na elemencie C = F wynosi u = 2 t e-t V.
2
a. Narysować zadany przebieg napięcia.
b. Obliczyć i narysować funkcję prądu. Dla jakich wartości czasu prąd osiąga wartość zero?
c. Obliczyć i narysować dla 0 ≤ t funkcję mocy elementu C
d. Obliczyć i narysować dla 0 ≤ t funkcję energii gromadzonej w elemencie C. Dla jakiej wartości czasu energia ta jest maksymalna?
Rozwiązanie:
du
i = C
= e-t ( 1 – t ) A; i = 0 dla t = 1s, oraz dla t → ∞
dt
p = u i = 2 e-2t ( t – t2 ) W
1
WC = C u2 = t2 e-2t J
2
i
[A]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
t
[s]
1
2
3
4
u [V]
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
t
[s]
1
2
3
4
P
[W]
0.2
0.15
0.1
0.05
t
[s]
1
2
3
4
-0.05
5
W [J]
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
t
[s]
1
2
3
4
Zadanie
W obwodzie o elementach: R = 2 Ω , L = 0,5 H , prąd źródła prądu podano na wykresie.
a. Obliczyć i narysować napięcie źródła prądu uj.
b. Obliczyć i narysować funkcję mocy źródła; wyznaczyć przedziały czasu w których źródło staje się odbiornikiem energii.
c. Naszkicować wykres energii gromadzonej w elemencie L.
d. Obliczyć wartość energii rozproszonej w elemencie R, w przedziale czasu 0 ≤ t ≤ 6s.
R
uR
j
u
uL
j
L
Rozwiązanie:
NPK uj = uR + uL
dj
uj = R j + L
dt
w przedziale 0 ≤ t ≤ 1
1
j = 2t A; uR = 4t V; uL = 1 V; uj = 4t + 1 V ; pj = uj j = 8t2 + 2t W; wL = Li2; 2
1
1
22
wL = t2 J; WR = ∫ pR dt = ∫ R j2dt = J
3
0
0
w przedziale 1 ≤ t ≤ 2
2
j = 2 A; uR = 4 V; uL = 0 ; uj = 4 V; pj = 8 W; wL = 1 J; wR = ∫ R j2 dt = 8 J
1
w przedziale 2 ≤ t ≤ 5
j = - 2t + 6 A; uR = - 4t + 12 V; uL = - 1 V; uj = - 4t + 11 V; pj = 8t2 -46t +66 W; 5
wL = t2 - 6t + 9 J; WR = ∫ R j2 dt = 24 J
2
w przedziale 5 ≤ t ≤ 6
j = 4t - 24 A; uR = 8t - 48 V; uL = 4 V; uJ = 8t - 44 V; pj = 16 (t2 - 17t + 66) W;
6
6
32
wL = 4t2 - 48t + 144 J; WR = ∫ R j2 dt = J
3
5
WR(0 ÷ 6 ) = 50 J
i
[A]
2
1
t [s]
2
4
6
8
-1
-2
-3
-4
u
[V]
2
1.5
1
0.5
t [s]
2
4
6
8
-0.5
-1
uj
[V]
4
2
t [s]
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
7
W
[J]
17.5
15
12.5
10
7.5
5
2.5
t [s]
2
4
6
8
Zadanie
W obwodzie o elementach R = 4 Ω , C = 0,5 F , przebieg napięcia źródłowego pokazano na wykresie;
i
i
e
i
c
R
e
R
C
a. Obliczyć i narysować prąd źródła napięcia ie.
b. Obliczyć i narysować funkcję mocy elementu R, elementu C oraz źródła napięcia.
Oznaczyć przedziały czasu w których źródło jest odbiornikiem energii .
c. Obliczyć i narysować funkcję energii gromadzonej w elemencie L w przedziale
-1 ≤ t ≤ 5s.
d. Obliczyć wartość energii rozproszonej w elemencie R w przedziale 0 ≤ t ≤ 4s.
Rozwiązanie;
W przedziale 0 ≤ t ≤ 1
e = 4t V;
e
de
e2
iR =
= t A; i
= 2 A; i
= 4t2 W;
R
C = C dt
e = iR + iC = t + 2 A; pR = R
pC = e iC = 8t W; pe = e ie = 4t2 + 8t W; pe = pR + pC = 4t2 + 8t W; 1
1
1
4
wC = C e2 = 4t2 J; W
p
4t2 dt = J.
2
R = ∫
R dt = ∫
3
0
0
W przedziale 1 ≤ t ≤ 3
e = - 4t + 8 V;
iR = - t + 2 A; iC = - 2 A; ie = - t A; pR = 4t2 -16t +16 W; pC = 8t – 16 W pe = 4t2 - 8t W = pR + pc
8
3
8
wC = 4t2 – 16t + 16 J WR = ∫ pR dt = J
3
1
W przedziale 3 ≤ t ≤ 4
e = 4t – 16 V
iR = t - 4 A; iC = 2 A; ie = t –2 A; pR = 4t2 – 32t + 64 W; pC = 8t – 32 W; pe = 4t2 – 24t + 32 W; 4
wC = 4t2 – 32t + 64 J; WR = J.
3
16
WR(0 ÷ 4s) =
J.
3
e [V]
4
2
t
[s]
-1
1
2
3
4
5
6
-2
-4
ie
[A]
3
2
1
t
[s]
-1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
PC
[W]
7.5
5
2.5
t
[s]
-1
1
2
3
4
5
6
-2.5
-5
-7.5
9
WC
[J]
4
3
2
1
t
[s]
-1
1
2
3
4
5
6
Pe
[W]
10
7.5
5
2.5
t
[s]
-1
1
2
3
4
5
6
-2.5
PR
[W]
4
3
2
1
t
[s]
-1
1
2
3
4
5
6
Zadanie
W obwodzie o elementach R = 2 Ω , C = 0,5 F, napięcie na elemencie C ma wartość uC(t = -1) = -2 V, a prąd źródłowy zadany jest wykresem.
u
j A
R
1
R
u
j
j
0.5
uC
C
10
a. Wyznaczyć w przedziale -2 ≤ t ≤ 4 s, napięcia na elementach R, C, j.
b. Wyznaczyć funkcję energii gromadzonej w elemencie C.
c. Obliczyć wartość energii rozproszonej w elemencie R w przedziale -2 ≤ t ≤ 4 s.
Rozwiązanie;
uR ≠ 0 tylko w przedziale 1 ≤ t ≤ 3s, i wynosi uR = R j = 2 V; w przedziale -1 ≤ t ≤ 1s,
j = 0, stąd uC = const, uC = - 2 V; uj = uR + uC = - 2V, (pj = j uj = 0) 1
wC = C 2
u , w
2
C
C = 1 J;
w przedziale 1 ≤ t ≤ 3s
1 t
uC =
∫ j dt + u
C
C(1); uC = 2t – 4 V; (dla t2 = 2, uC = 0); uj = 2t – 2 V
1
wC = t2 - 4t + 4 J; WR = R j2 (t2 – t1), WR = 4 J; w przedziale 3 ≤ t ≤ 4s
j = 0, stąd uC = const, uC = 2 V; uj = 2 V, (pj = 0); wC = 1 J.
j [A]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
t
[s]
-1
1
2
3
4
5
uR
[V
2 ]
1.5
1
0.5
t
[s]
-1
1
2
3
4
5
11
uC
[V]
2
1
t
[s]
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
uj
[V]
4
3
2
1
t
[s]
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
W C [J]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
t
[s]
-1
1
2
3
4
5
Zadanie
Dwa elementy Ra i Rb w połączeniu szeregowym reprezentowane są opornością zastępczą R’ = 9 Ω , a w połączeniu równoległym R’’ = 2 Ω . Wyznaczyć wartości elementów Ra i Rb.
Odp. Ra = 6 Ω , Rb = 3 Ω .