Energetyka, sem. 2 Szeregi Fouriera
Def. 1. Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny
"
1 nĄx nĄx
S (x) = a0 + an cos + bn sin ,
2 p p
n=1
gdzie p > 0 jest ustalone, {an} , {bn} sa ustalonym ciagami liczbowymi rzeczywistymi, zaÅ› x jest zmienna
rzeczywista. (Uwaga. Szeregi trygonometryczne sa też rozpatrywane w dziedzinie zespolonej.)
Def. 2. Niech f bedzie funkcja bezwzglednie calkowalna na przedziale [-p, p] , gdzie p > 0. Szeregiem
trygonometrycznym funkcji f nazywamy szereg trygonometryczny - i piszemy -
"
1 nĄx nĄx
f (x) a0 + an cos + bn sin ,
2 p p
n=1
w kt rym
p
1 nĄx
an = f (x) cos dx, n = 0, 1, 2, ...
p p
-p
oraz
p
1 nĄx
bn = f (x) sin dx, n = 1, 2, ...
p p
-p
R wność S (x) = f (x) zachodzi, na og l, nie we wszystkich punktach przedzialu. Mamy nastepujace
twierdzenie Dirichleta.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest bezwzglednie calkowalna na przedziale (-p, p) (być może jako calka
niewlaściwa), przedzialami ciagla i monotoniczna, to
Å„Å‚
f (x) ,
ôÅ‚
ôÅ‚
x jest punktem ciaglości funkcji f,
òÅ‚
1
[f (x-) + f (x+)] ,
S (x) = , gdy x jest punktem nieciaglości I rodzaju funkcji f,
2
ôÅ‚
ôÅ‚ 1
x jest końcem przedzialu; -p lub p.
ół
[f (p-) + f (-p+)]
2
Poza przedzialem (-p, p) funkcja S (x) jest okresowa o okresie T = 2p i jeżeli chcemy nadal m wić
o r wności S (x) = f (x) , to i funkcje f (x) musimy potraktować jako okresowa o tym samym okresie T =
2p.W wczas zachodza relacje analogiczne do tych wyrażonych w twierdzeniu Dirichleta.
W praktyce czesto rozpatruje sie przypadek, w kt rym T = 2Ą, tj. p = Ą. Wtedy powyższe wzory
przyjmuja postać:
"
1
f (x) a0 + (an cos nx + bn sin nx) = S (x)
2
n=1
oraz
Ä„
1
an = f (x) cos nx dx, n = 0, 1, 2, ...
Ä„
-Ä„
Ä„
1
bn = f (x) sin nx dx, n = 1, 2, ...
Ä„
-Ä„
Z wlasności calki oznaczonej od razu wynika, że jeśli f (x) jest funkcja parzysta, to wszystkie bn = 0 i wtedy
szereg Fouriera zawiera tylko cosinusy, jeśli natomiast f (x) jest funkcja nieparzysta, to wszystkie an = 0 i wtedy
szereg Fouriera zawiera tylko sinusy.
Przyklady
25. 05. 2007 Strona 1 z 4
Energetyka, sem. 2 Szeregi Fouriera
1. Niech f (x) = |x| , p = Ä„. Mamy
Ä„
1
bn = |x| sin nx dx = 0, n = 1, 2, ...
Ä„
-Ä„
ponieważ funkcja podcalkowa jest nieparzysta, oraz
Ä„ Ä„
1 2
an = |x| cos nx dx = x cos nx dx, n = 0, 1, 2, ...
Ä„ Ä„
-Ä„ 0
ponieważ teraz funkcja podcalkowa jest parzysta. Dalej, przez cześci,
2 2 1 2 1 1
Ä„ Ä„
an = x cos nx dx = x sin nx|Ą - sin nx dx = Ą sin nĄ - 0 + cos nx|Ą =
0 0
0
Ä„ 0 Ä„ n Ä„ n n
2 1 1 2 1 1 2 1
0, n = 2k,
= Ą sin nĄ + (cos nĄ - 1) = [(-1)n - 1] = =
Ä„ n n Ä„ n n Ä„ n2 -2, n = 2k + 1,
Å„Å‚
0, n = 2k,
òÅ‚
0, n = 2k,
4
= 4 =
- , n = 2k + 1,
- , n = 2k + 1, ół
Ä„n2 Ä„ (2k + 1)2
ponieważ
sin nĄ = 0, cos nĄ = (-1)n , n = 0, 1, 2, ...
Powyższy rachunek nie dziala dla n = 0, wiec a0 musimy wyliczyć oddzielnie; mamy
1 2 2 1
Ä„ Ä„
a0 = |x| cos 0x dx = x dx = x2|Ä„ = Ä„. Tak wiec
0
-Ä„ 0
Ä„ Ä„ Ä„ 2
"
Ä„ 4 1
S (x) = - cos (2k + 1) x
2 Ä„
(2k + 1)2
k=0
Ponieważ funkcja f (x) = |x| spelnia warunki Dirichleta i jest ciagla, wiec
"
Ä„ 4 1
|x| = - cos (2k + 1) x, -Ä„ d" x d" Ä„.
2 Ä„
(2k + 1)2
k=0
Szeregi trygonometryczne możemy m.in. wykorzystywać do znajdowania sum zbieżnych szereg w liczbowych,
Ä„ 4 1
"
jeśli np. przyjmiemy w powyższym rozwinieciu x = 0, to otrzymamy 0 = - , skad
k=0
2 Ä„
(2k + 1)2
latwo wyliczamy
"
1 Ä„2
= .
(2k + 1)2 8
k=0
Szeregi trygonometryczne najczesciej jednak wykorzystujemy do aproksymacji funkcji, otrzymujac coraz
lepsze przybliżenia w miare uwzgledniania coraz wiekszej liczby skladnik w szeregu. W powyższym sz-
eregu mamy
Ä„ 4 1 1 1
|x| = - cos x + cos 3x + cos 5x + cos 7x + ..... ,
2 Ä„ 9 25 49
25. 05. 2007 Strona 2 z 4
Energetyka, sem. 2 Szeregi Fouriera
zatem kolejnymi przybliżeniami beda
Ä„ 4
|x| H" - cos x = S1 (x) ,
2 Ä„
Ä„ 4 1
|x| H" - cos x - cos 3x = S2 (x) ,
2 Ä„ 9
Ä„ 4 1 1
|x| H" - cos x - cos 3x - cos 5x = S3 (x) ,
2 Ä„ 9 25
itd. Dobrze to widać na wykresie: S1 (x) - czerwony, S2 (x) - zielony, S3 (x) - niebieski.
y
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
2. Niech f (x) = 1 dla 0 < x < Ą. Chcemy rozwina ć te funkcje w szereg sinus w. Jak wiemy, bedzie tak wt-
edy, gdy funkcja, dla kt rej budujemy szereg, jest nieparzysta. Dlatego funkcje f (x) musimy rozszerzyć na
-f (-x) , -Ä„ < x < 0, -1, -Ä„ < x < 0,
przedzial (-Ą, Ą) nieparzyście przyjmujac fn (x) = =
f (x) , 0 < x < Ä„, 1, 0 < x < Ä„.
1 2 2 2
Ä„ Ä„
Mamy teraz an = 0 oraz bn = f (x) sin nx dx = 1·sin nx dx = - cos nx|Ä„ = [1 - cos nÄ„] =
0
-Ä„ 0
Ä„ Ä„ Ä„n Ä„n
0, n = 2k,
2
= [1 - (-1)n] = 4 W takim razie
Ä„n , n = 2k + 1.
Ä„n
"
4 1
fn (x) <" sin (2k + 1) x = S (x) , -Ä„ < x < Ä„.
Ä„ 2k + 1
k=0
Z Twierdzenia Dirichleta wynika, że fn (x) = S (x) dla x " (-Ą, 0) *" (0, Ą) , a ponieważ f (x) = fn (x) dla
x " (0, Ä„) , wiec
"
4 1
f (x) = 1 = sin (2k + 1) x, 0 < x < Ä„.
Ä„ 2k + 1
k=0
fn (0-) + fn (0+) -1 + 1
Zauważmy jeszcze, że S (x) = = = 0 dla x = 0 oraz podobnie dla x = -Ą i
2 2
x = Ä„.
25. 05. 2007 Strona 3 z 4
Energetyka, sem. 2 Szeregi Fouriera
Dla aproksymacji mamy
4 1 1
1 = sin x + sin 3x + sin 5x + ...
Ä„ 3 5
czyli
4
1 H" sin x = S1 (x) ,
Ä„
4 1
1 H" sin x + sin 3x = S2 (x) ,
Ä„ 3
4 1 1
1 H" sin x + sin 3x + sin 5x = S3 (x) , itd;
Ä„ 3 5
Å„Å‚
1 if x < -Ä„
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
-1 if -Ä„ < x < 0
Na rysunku fn (x) = , S1 (x) - zielone, S2 (x) - niebieskie, S3 (x) - czerwone.
1 if 0 < x < Ä„
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
-1 if Ä„ < x
1.2
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-0.2 x
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2
Zadania
1. Rozwiń w szereg Fouriera funkcje określone wzorami: (a) f (x) = |x| + 2x, |x| d" Ą;
(b) f (x) = |sin x| , x " ; (c) f (x) = 1 + sin 2x - cos 3x, |x| d" Ä„; (d) f (x) = |x| , |x| < 1;
x, -Ä„ < x < 0, -1, -Ä„ < x < 0,
(e) f (x) = (f) f (x) = .
0, 0 d" x < Ä„, 2, 0 d" x < Ä„,
Naszkicuj wykresy funkcji f (x) i sumy szeregu S (x) .
2. Rozwiń w szereg Fouriera wedlug (a) sinus w, (b) cosinus w, funkcje:
(a) f (x) = 1, 0 < x < 2; (b) f (x) = x, 0 < x < Ä„; (c) f (x) = sin 2Ä„x, 0 < x < 1.
Naszkicuj wykresy funkcji f (x) i sumy szeregu S (x) .
25. 05. 2007 Strona 4 z 4