ANALIZA CZSTOTLIWOŚCIOWA
SYGNAAÓW
Spis treści
1. Dyskretne widmo sygnałów okresowych
2. Związek między szeregiem i transformacją Fouriera
3. Warunki istnienia i odwracalności transformacji Fouriera
4. Widma sygnałów
5. Własności transformacji Fouriera
6. Przykład transformat Fouriera
7. Uogólniona transformacja Fouriera
1
Baron Jean Baptiste Joseph
Trochę historii
FOURIER (1768-1830)
Z wyróżnieniem ukończył szkołę wojskową w Auxerre.
Został nauczycielem Ecole Normal a potem
Politechniki w Paryżu.
Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w
wyniku ekspedycji z 1798 roku.
Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble.
Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816 roku
został sekretarzem Akademii Nauk a następnie jej
członkiem w 1817.
W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21
tomowy Opis Egiptu.
Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku pracy
pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do analizy
przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami trygonometrycznymi pracował
do końca życia, rozszerzając tę problematykę na transformację całkową.
2
Dyskretne widmo sygnałów okresowych
Dla sygnałów spełniających dwa warunki:
s(t) = s(t + T)
sC(-Ą,+Ą)
Ą
s(t) = c0 +
można utworzyć szereg
()
c cos 2pnfT t - j n
n
n=1
fT = 1/ T
gdzie oraz
T
2 2
widmo amplitudowe
c0 = fT s(t) dt cn = an + bn
0
j = arc tg(bn an ) widmo fazowe
n
T
T
an = 2 fT s(t) cos(2pnfTt) dt
bn = 2 fT s(t) sin(2pnfTt) dt
0 0
3
Od szeregu do transformacji Fouriera
Ą
s(t) =
s e2pjnt/T
n
n=-Ą +Ą
jnfT t
s(t) =
+
s e2p
n
n=-Ą
T = 1/ fT
+
gdzie
T
1
1 fT
sn = s(t) e-2p j nt/T dt
T
sn = fT s(t)e-2p jnfT tdt
0
0
1
2 fT
Po zmianie granic całkowania sn = fT s(t)e-2p j n fT tdt
1
-
2 fT
nfT f
Niech
fT 0
czyli n(- Ą,Ą)
$
sn = fT s( f )
Dodatkowo niech
4
Od szeregu do transformacji Fouriera
$ nfT = f
sn = fT s( f )
Podstawiając oraz
+Ą
$
s( f ) = s(t)e-2pjft dt
fT 0
otrzymujemy dla
-Ą
+Ą
jn fTt
Ze wzoru $ oznaczając
s(t) = fT fT = df
s(n fT )e2p
n=-Ą
+Ą
otrzymujemy $
s(t) = s( f )e2pjft df
-Ą
5
Bramka prostokątna i jej widmo Fouriera
Sygnał Widmo jest funkcją
rzeczywistą
s (t)
^(f)
1
s
1
0
0
-T 0 T
-2 /T -1 /T 0 -1 /T 2/T
Czas
Obliczyć widmo sygnału Częstotliwość
1 dla - T Ł t ŁT
s(t) =
0 dla t <-T i t > T
Posługując się definicją transformacji Fouriera
T
1 T sin(2p f T)
$
s( f ) = e-2pjftdt = - e-2pjft - T =
2p j f p f
-T
6
Amplituda
Definicja transformacji Fouriera
s(t) %5ń( f )
+Ą
Ogólnie
$
s( f ) = a s(t)e-b j f tdt
-Ą
+Ą
b
$
s(t) = s( f )eb j f tdf
2ap
-Ą
a = 1
Dla nas i b = 2p
a = 1/ 2p b = 1
Często a = 1 i b = 1 lub i
7
Warunki odwracalności transformacji
Fouriera
Twierdzenie 1.
Niech dany będzie sygnał taki, że jego transformata
s L1()
$
Fouriera , wtedy
s L1()
+Ą +Ą
s(t) = e2pjft s(t) e-2pjft dt df
-Ą -Ą
w każdym punkcie t dla którego sygnał s jest ciągły.
Twierdzenie 2.
s L1() L2 ()
Jeżeli sygnał
to wtedy jego transformata
%5ń L2().
8
Widma sygnałów
+Ą
$
s( f ) = s(t)e-2pjft dt
-Ą
jj ( f ) jq ( f )
$ $ $
s( f ) = r( f ) + j i$( f ) = s( f ) e = A( f ) e
$
s( f ) A( f ) - widma amplitudowe,
,
j( f ), q( f ) - widma fazowe,
$
r( f )
- widmo rzeczywiste,
$(
i f ) - widmo urojone.
ć
( f )
$2 q ( f ) = arctg
$ $2
s( f ) = r ( f ) + i ( f )
Ć
r( f )
Ł ł
9
ć
( f )
q ( f ) = arctg
Widma sygnałów
Ć
r( f )
Ł ł
arc tg : -p / 2,p / 2
[ ] zatem -p / 2 Ł q( f ) Ł p / 2
$2
r ( f ) + i$2 ( f )
sin q( f ) dla q( f ) ą 0
()
A( f ) =
i$( f )
r( f )
dla q( f ) = 0
$
A( f ) = %5ń( f )
q ( f ) dla A( f ) ł 0
j( f ) = arg(%5ń( f ))=
q ( f ) ą p dla A( f )<0
-p Ł j(t) Ł p
$
s( f )
Wzajemna jednoznaczność między widmem a widmami
amplitudowymi i fazowymi:
$
s( f ) razem z j( f )
lub
A( f ) razem z
q ( f )
10
Parzystość widma rzeczywistego i amplitudowego
oraz nieparzystość widma urojonego i fazowego
+Ą +Ą
$(
$ $
s( f ) = s(t)e-2pjft dt = s(t) cos(2pft) - j sin(2pft) dt = r( f ) + j i f )
[]
-Ą -Ą
+Ą
gdzie
$
r( f ) = s(t)cos(2pft) dt
-Ą
+Ą
$(
i f ) = - s(t)sin(2pft) dt
-Ą
$ $
r(- f ) = r( f )
$(- $(
i f ) = -i f )
ć
( f )
q ( f ) = arctg
$2
$ $2
s( f ) = r ( f ) + i ( f )
Ć
r( f )
Ł ł
%5ń( f ) = %5ń(- f )
q (- f ) = -q ( f )
11
Własności widm
$2
$ $2
s( f ) = r ( f ) + i ( f )
$
q( f ) = arc tg(i$( f ) r( f ))
+Ą +Ą
$(
$ $
s( f ) = s(t)e-2pjft dt = s(t) cos(2pft) - j sin(2pft) dt = r( f ) + j i f )
[]
-Ą -Ą
s(t) = s(-t)
Dla sygnału
Ą
otrzymujemy
Ć
%5ń( f ) = r( f ) = 2
s(t)cos(2pft)dt
0
s(t) = -s(-t)
Dla sygnału
Ą
%5ń( f ) = j ( f ) = -2 j
otrzymujemy
s(t)sin(2pft)dt
0
12
Transformacja Fouriera jest
przekształceniem liniowym
+Ą
j f t
Addytywność $ $
1
[s (t) + s2 (t)]e-2p dt = s1( f ) + s2 ( f )
-Ą
+Ą
$
as(t)e-2pjft dt = as( f )
Jednorodność
-Ą
+Ą
$ $
as1(t) + bs2 (t) e-2pjft dt = as1( f ) + bs2 ( f )
Zatem []
-Ą
13
Zachowanie iloczynu skalarnego
Twierdzenie Rayleigha
+Ą +Ą
$ $
s1(t) s2 (t) dt = s1( f ) s2 ( f ) df
-Ą -Ą
Wynika stąd
s1, s2 = 0 %5ń1, %5ń2 = 0
14
Zachowanie energii
Twierdzenie Parsevala
22
$
s = s
L2 L2
zatem
+Ą +Ą
2
$
s2 (t) dt = s( f ) df
-Ą -Ą
15
Zachowanie odległości
Skoro
+Ą +Ą
2
2
%5ń( f ) df
s (t)dt =
-Ą -Ą
to przyjmując
s(t) = s1(t) - s2(t)
dzięki liniowości transformacji Fouriera otrzymujemy
+Ą +Ą
2
2
%5ń1( f ) - %5ń2( f ) df
1
(s (t) - s2(t)) dt =
-Ą -Ą
16
Ograniczone nośniki
Niech sygnał ma ograniczony nośnik.
T
T
d%5ń( f )
-2pjft
= -2pj s(t)e-2pjftdt
%5ń( f ) =
t
s(t)e dt
df
0
0
T T
n n
d %5ń( f ) d %5ń( f )
n
n n n n n
= (- 2pj) Ł 2np T s(t) dt = 2np T s
n n
t s(t)e-2pjftdt
L1
df df
0 0
%5ń( f )
Oznacza to, że widmo jest funkcją analityczną.
Analityczna funkcja - funkcja różniczkowalna, której pochodne są
również różniczkowalne. Oznacza to, że funkcja analityczna zmiennej
zespolonej może być lokalnie (tzn. w pewnym otoczeniu dowolnego
f0
punktu ) przedstawiona w postaci szeregu potęgowego
n
Ą
d %5ń ( f - f0)n
%5ń( f ) =
n
df n!
n-0
f = f0
Zasada nieoznaczoności Heinsenberga
Oznacza to, że widmo może być lokalnie, tzn. w pewnym otoczeniu
dowolnego punktu f0, przedstawione w postaci szeregu potęgowego
n
Ą
d %5ń ( f - f0)n Ą
n
%5ń( f ) = =
a f
n
n
df n!
n-0 n=0
f = f0
czyli nośnik widma nie może być ograniczony!
^(f)
s
s (t)
1
1
0
0
-2 /T -1 /T 0 -1 /T 2/T
-T 0 T
Impuls prostokątny i jego widmo amplitudowe.
Postępując podobnie można udowodnić, że jeżeli nośnik widma jest
ograniczony, to nośnik sygnału nie może być ograniczony.
Nieoznaczoność Heinsenberga
Środek rozłożenia energii sygnału
Ą
-2 2
t* = s
t s(t) dt
-Ą
Środek rozłożenia energii widma sygnału
Ą
-2 2
f* = s f %5ń( f ) df
-Ą
Unormowane kwadraty odchyleń standardowych dla rozkładów
energii
Ą
Ą
-2
-2
2 2
Jt2 = s
f
(t - t*)2 s2 (t)dt J = s
( f - f*)2 %5ń( f ) df
-Ą -Ą
J J ł 05
,
Zasada Heinsenberga
t f
19
Dualność transformacji Fouriera
+Ą
$
s( f ) = s(t)e-2p j f t dt
-Ą
+Ą +Ą
-2pjft
$
$
s(t ) = s(t)e-2p j f t dt df
e
-Ą -Ą
Otrzymujemy zależność zwaną dualnością transformacji Fouriera
$
$
s(t ) = s(-t )
+Ą +Ą
$ $
s( f ) = s(t)e-2pjftdt s(- f ) = s(t)e-2pjftdt
-Ą -Ą
20
Zmiana skali czasu sygnału
s(t) %5ń( f )
-1
$
s(at) a s( f / a)
s1(t) = L(t)
s2(t) = L(2 t)
3
2
ć
sin(Ąf )
%5ń1( f ) =
Ąf
Ł ł
2
ć 3 Ą f
ć
sin
3
2
Ł ł
%5ń ( f ) =
2
2 Ą f
Ł ł
21
Przesunięcie w dziedzinie czasu
i częstotliwości
Przesunięcie w dziedzinie czasu
0
$
s(t - t0 ) s( f ) e-2pjft
Ą
s(t - t0)e-2pjftdt
bo po podstawieniu równa się
t = t - t0
-Ą
Ą
s(t ) e-2pjft0 e-2pjft dt
-Ą
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
0
$
s(t) e2pjf t s( f - f0 )
0
$
s(t) e-2pjf t s( f + f0 )
Sumując obustronnie otrzymujemy
$ $
2s(t)cos(2pf0t) s( f - f0 ) + s( f + f0 )
22
sin(Ąf )
ć
-1
Przesunięcie w dziedzinie czasu
sin(Ąf )
Ąf
3
%5ń1( f ) = +
s1(t) = (t + )P(t)
2
Ąf j2Ąf
1
s2(t) = s1(t -1) = (t + )P(t -1)
2
Ł ł
ć sin(Ąf )
ć
-1
sin(Ąf )
Ąf
exp(- j2Ąf )
%5ń2( f ) = %5ń1( f ) exp(- j2Ąf ) = +
Ąf j2Ąf
Ł ł
Ł ł
23
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
Ąf
s1(t) = L(2t +1) + L(2t -1)
2sinć
2
Ł ł
s2(t) = (L(2t +1) + L(2t -1))exp( j2Ąt)
%5ń1( f ) = cos(Ąf )
Ąf
Ą( f -1)
2sinć
2
Ł ł
%5ń2( f ) = %5ń1( f -1) = cos(Ą( f -1))
Ą( f -1)
24
Różniczkowanie w dziedzinie czasu
Jeżeli :
- sygnał s(t) i jego kolejne pochodne aż do rzędu n-1 są ciągłe,
- pochodna rzędu n istnieje prawie wszędzie,
- sygnał i wszystkie jego pochodne aż do rzędu n posiadają
t ąĄ
transformaty Fouriera, czyli dostatecznie szybko dążą do zera dla
to
n
d s(t)
n
$
2pjf s( f )
()
dtn
25
Różniczkowanie w dziedzinie czasu
2
ć
sin(Ąf )
%5ń1( f ) =
s1(t) = L(t)
Ąf
Ł ł
ds1(t)
j2sin2(Ąf )
s2(t) = = P(t +1) - P(t -1)
%5ń2( f ) =
dt
Ąf
26
Różniczkowanie
w dziedzinie częstotliwości
$(
$ $
s( f ) = r( f ) + ji f )
$(- $(
$ $
r(- f ) = r( f ) i f ) = -i f )
Obustronnie różniczkując otrzymujemy
n n n n
$ $
d r(- f ) d r( f ) d i$(- f ) d i$( f )
(-1)n = (-1)n =-
n n
d(- f )n df d(- f )n df
Można udowodnić, że
n
d %5ń( f )
(-2pjt)n s(t)
n
df
Ą
n
Warunek wystarczający
t s(t ) dt < Ą
-Ą
27
Splot w dziedzinie czasu
+Ą
s(t) =
1
s (t ) s2 (t - t ) dt gdy s1, s2 L2 (-Ą,+Ą)
-Ą
s1(t)*s2 (t)
Splot oznaczamy
Przemienność splotu
+Ą +Ą
s1(t)*s2 (t) = s1(t ) s2 (t - t ) dt = s2 (q) s1(t - q) dq =s2 (t)*s1(t)
-Ą -Ą
t
s2 (t) = 0 t < 0 s1(t) * s2 (t) = (t )s2 (t -t )dt
s1(t) = 0
Gdy i dla to
1
s
0
s2 (t - t )
t - t > 0
Musi być aby nie było równe zeru
Ą
1
s (t ) s2 (t -t )dt %5ń1( f )%5ń2 ( f )
-Ą
28
Przykład splotu w dziedzinie czasu
29
Wzory do rysunków
Splatane sygnały
sin(Ąf )
- cos(Ąf )
Ąf
s1(t) = t P(t) %5ń1( f ) =
j2Ąf
sin(Ąf )
s2(t) = P(t) %5ń2( f ) =
Ąf
Splot w dziedzinie czasu i jego widmo
2
ć
sin(Ąf ) sin(2Ąf )
-
ć ć Ąf 2Ąf
t + t2 t - t2
Ł ł
1 1
s1(t)* s2(t) =
2 2
P(t + ) + 2
P(t - ) %5ń1( f ) %5ń1( f ) =
2 j2Ąf
Ł ł Ł ł
30
Splot w dziedzinie częstotliwości
i całkowanie w dziedzinie czasu
Splot w dziedzinie częstotliwości
+Ą
$ $ $ $
s1(t)s2 (t) s1( f )*s2 ( f ) = s1(g)s2 ( f - g) dg
-Ą
Całkowanie w dziedzinie czasu
t
1
$
s(t ) dt s( f )
2pjf
-Ą
Ą
$
s(0) = 0 s(t) dt = 0
Warunek
-Ą
31
Impuls paraboliczny
Dla sygnału
6t 2 6t + 1 dla
- - 1 Ł t Ł 1
s(t) =
dla t < -1 i t > 1
0
znalezć składową parzystą i nieparzystą oraz wyznaczyć ich widma.
32
Rozłożenie na część parzystą i nieparzystą
Każdy sygnał można jednoznacznie rozłożyć na sumę
s = sp + sn
gdzie
1
sygnał parzysty
sp (t) = s(t) + s(-t)
2
1
sygnał nieparzysty sn (t) = s(t) - s(-t)
2
sn (t) = -sn (-t)
tzn.
sp (t) = sp (-t)
Z teoretycznych rozważań wiemy, że sygnał parzysty ma widmo czysto
rzeczywiste a nieparzysty widmo czysto urojone.
2
Dla rozważanego przykładu otrzymujemy
sp (t) = 6t + 1
sn (t) = -6t
33
Widmo części parzystej
1
$p
s ( f ) = (6t2 + 1) e-2pjft dt
-1
Posługując się tożsamością
eat
2
- a = -2p jf
()
t eatdt = a3 a2t2 2at + 2 gdzie
otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste
ć
6cos(2pf ) 1 3
$p
s ( f ) =+2 2sin(2pf )
7 -
2 2
p f p f Ł p f ł
34
Prezentacja części parzystej
Widmo
Sygnał
amplitudowe
^
s (f)
s (t)
p p
6
5
0 0
-1 0 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
Czas
Częstotliwość
35
Widmo części nieparzystej
1
$
sn ( f ) = -6 t e-2pjft dt
-1
Posługując się tożsamością
eat
a = -2p jf
t eat dt = a2 (at -1) gdzie
otrzymujemy widmo czysto urojone
ć
j sin(2p f )
%5ńn ( f ) =
cos(2p f ) -
p f 2p f
Ł ł
36
Prezentacja części nieparzystej
Widmo
Sygnał
amplitudowe
s (t)
^
s (f)
n
n
6
5
0
-5
0
-1 0 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
Czas Częstotliwość
37
Wykresy do powyższego przykładu
Widmo
Sygnał
amplitudowe
s (t)
^(f)
s
6
10
0
0
-1 0 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
Czas Częstotliwość
38
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
Sygnał
amplitudowe
s (t)
^(f)
s
1
6
0
0
0 1 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
Czas Częstotliwość
39
Przykład transformaty Fouriera
t2 dla 0 Ł t Ł 1
s(t) = 1 dla 1 < t Ł 2
Wyznaczyć widmo sygnału
0 dla pozostałych t
Ze wzoru definiującego transformatę Fouriera
1 2
2
$
s( f ) = e-2pjft dt + e-2pjft dt
t
0 1
eat
t2 eatdt = a2t2 - 2at + 2
Posługując się tożsamością
()
a3
otrzymujemy
cos(2pf ) -sin(2pf ) ł
ć
1 1 sin(2pf ) + cos(2pf )
ś
%5ń( f ) = + sin(4pf ) + j 2 2 + cos(4pf ) -
ę
2pf pf 2p f pf
Ł ł
40
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
Sygnał
amplitudowe
^(f)
s (t) s
1
1
0
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 0.5 1 2
Czas Częstotliwość
41
Przykład transformaty Fouriera
Wyznaczyć widmo sygnału
1 dla 0 Ł t Ł 0,5 i 1 Ł t Ł 2
s(t) =
0 dla pozostałych t
Posługując się definicją transformaty Fouriera
0,5 2
$
s( f ) = e-2pjft dt + e-2pjft dt =
0 1
1
= [sin(4pf ) - sin(2pf ) + sin(pf ) + j(cos(4pf ) - cos(2pf ) + cos(pf ) -1)]
2pf
42
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
Sygnał
amplitudowe
^(f)
s
s (t)
1
1
0
0
-1
-5 /T -4 /T -3 /T -2 /T -1 /T 0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T
-T 0 T
Czas Częstotliwość
43
Kolejny przykład transformaty Fouriera
1 dla -T < t < 0
sj (t) =
Obliczyć widmo sygnału -1 dla 0 < t < T
0 dla t > T
Posługując się definicją transformaty Fouriera
0 T
$
sj ( f ) = e-2pjftdt - e-2pjft dt
-T 0
Po całkowaniu
0 T
1 1
$
sj ( f ) = - e-2pjft + e-2pjft
2pjf 2pjf
-T 0
Po podstawieniu granic
2 j
$
sj ( f ) = sin2 (pfT )
pf
44
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo
Sygnał
amplitudowe
^(f)
s
s (t)
1
1
0
0
-T 0 T -3 /T -2 /T -1 /T 0 1/T 2/T 3/T
Czas Częstotliwość
45
Kolejny przykład transformaty Fouriera
t + T dla -T < t < 0
Obliczyć widmo sygnału
sL (t) =
-t + T dla 0 < t < T
0 dla t > T
Korzystając z zależności
t
sL (t) =
j
s (t) dt
-T
i posługując się twierdzeniem o transformacie z całki
$
sj ( f )
$
sD ( f ) =
2p j f
otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste
sin2 (p fT )
$
sL ( f ) =
2 2
p f
46
Wykresy do jeszcze jednego przykładu
Widmo
Sygnał
amplitudowe
^(f)
s (t)
s
1
1
0
0
0 T 2T 3T -3 /T -2 /T -1 /T 0 1/T 2/T 3/T
Czas Częstotliwość
47
Jeszcze jeden przykład dzisiaj
Jakie jest widmo sygnału
e-Tt dla t > 0
s(t) =
0 dla t < 0
Posługując się definicją transformacji Fouriera
Ą
Ą
1 1
$
s( f ) = e-(T +2pjf )tdt = - e-(T +2pjf )t 0 =
T + 2pjf T + 2pjf
0
48
Kolejny pouczający przykład
transformaty Fouriera
Dla sygnału w postaci funkcji Gaussa
a a
ć
s(t) = exp- (t - t )2
Ł ł
2p 2
widmo ma postać
2 2
ć
2p f
$
s( f ) = exp- + 2 jpt
f
a
Ł ł
49
Wykresy do kolejnego pouczającego
przykładu
Widmo
Sygnał amplitudowe
s (t)
^(f)
s
1
= 2
a p
1
= 2
a p
= 0
t
= 0
t
0
0
Czas
-1 0 1 -1 0 1
Częstotliwość
50
Uogólnienie transformacji Fouriera
limsa (t) = s(t) gdzie a > 0
a0
$ $
lim sa ( f ) = s( f )
a0
$
s( f )
uogólniona transformata Fouriera,
czyli transformata w sensie granicznym
51
Widma impulsu Diraca i sygnału stałego
Widmo impulsu Diraca
t + T dla -T < t < 0
sL (t)
sL (t) =
sT (t) =
-t + T dla 0 < t < T
2
T
0 dla t > T
sin2 (p fT )
$
lim sT ( f ) = 1
$
sT ( f ) =
lim sT (t) = d (t)
2 2 2 T 0
p f T
T 0
$
s(t) = d (t) s( f ) = 1
zatem d (t) 1
Transformata Fouriera sygnału stałego
$
s(t) = 1 s( f ) = d( f )
52
Transformaty Fouriera sygnałów
okresowych
Ą
s(t) = a0 + an cos(2p nf0t) + bn sin(2p nf0t)
[]
n=1
Ą
lub
j n f0t
s(t) =
c e2p
n
n=-Ą
sc(t) = cos(2pnf0t)
Widmo
$ $
s(t)cos(2pnf0t) 0,5s( f - nf0 ) + 0,5s( f + nf0 )
cos(2pnf0t) 0,5d( f - nf0) + 0,5d( f + nf0)
sin(2pnf0t) 0,5 jd( f + nf0) - 0,5 jd( f - nf0)
0
0
e2pjnf t = cos(2pnf0t) + j sin(2pnf0t)
e2pjnf t d( f - nf0 )
$
s( f ) = a0d ( f ) + 05 an + jbn d ( f + nf0 ) + an - jbn d ( f - nf0 )
,
( ) ( )
[ ]
n
$
s( f ) =
c d ( f - nf0 )
n
n
53
Różniczkowanie w dziedzinie częstotliwości
sin(Ąt)
%5ń1( f ) = P( f )
s1(t) =
Ąt
1 1
%5ń2( f ) = d ( f + ) -d ( f - )
s2(t) = - j2Ąt s1(t) = - j2sin(Ąt)
2 2
54
Iloczyn w dziedzinie czasu
sin(pf )
s1(t) = P(t) %5ń1( f ) =
pf
1
s2(t) = cos(2Ąt) %5ń2( f ) = (d ( f +1) + d ( f -1))
2
sin(Ą( f +1)) sin(Ą( f -1))
s1(t) s2(t) = cos(2Ąt) P(t) %5ń1(t)* %5ń2(t) = +
2Ą( f +1) 2Ą( f -1)
55
Iloczyn w dziedzinie czasu
56
Transformacja Fouriera sygnału
z niezerową wartościąśrednią
s(t) = s0(t) + s
gdzie s0 (t) ma zerową wartość średnią
T
1
s = lim s(t)dt
TĄ
2T
-T
$ $
s(t) = s0 (t) + s s( f ) = s0 ( f ) + sd( f )
57
Transformacja Fouriera sygnału 2-D
Widmo sygnału dwu-wymiarowego
+Ą+Ą
j( fx x+ f y)
y
%5ń( f , f ) = dxdy
x y
s(x, y)e-2p
-Ą-Ą
+Ą+Ą
y
$
s(x, y) = s( f , f )e2p j( fx x+ f y) df df
x y x y
-Ą-Ą
58
Wielowymiarowe przekształcenia Fouriera
Jeśli x, f n to
+Ą +Ą
T
$
s( f ) = L s(x) e-2p j f x dx1Ldxn
x1=-Ą xn =-Ą
+Ą +Ą
T
$
s(x) = L s( f ) e2p j f x df1Ldfn
f1=-Ą fn =-Ą
59
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
RRCz, Szeregi Fouriera i Przestrzenie Hilberta Jakobczyk p41 pIRXtablice fourierPytania FourierCIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 6 3 Szeregi Fourieraatematycznasf1 zadania na kartkówkę z szeregów fouriera rozwcw8 analiza widmowa metoda szybkiej transformaty fouriera (FFT)Szereg Fouriera 2Plancherel Theorem and Fourier Inversion TheoremPS 5b Przeksztalcenie FourierafourierPractical Analysis Techniques of Polymer Fillers by Fourier Transform Infrared Spectroscopy (FTIR)cz07 Trans FourieraFourier?TTransf fourierFFT algorytm3 Transformata Fourieracf1 całka fouriera zadaniawięcej podobnych podstron