XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Piotr IWICKI1
ANALIZA WPA
YWU NAPR
ŻEC
POWALCOWNICZYCH
I POSPAWALNICZYCH NA SIA

KRYTYCZN
WYBOCZENIA
SKR
TNEGO PR
TA DWUTEOWEGO
1. Wstęp
Po procesie walcowania belek dwuteowych oraz po spawaniu blachownic stalowych
pozostają naprężenia własne. Przyjmuje się różne rozkłady tych naprężeń w przekroju
poprzecznym pręta. W pracy rozpatrzono trzy modele rozkładu naprężeń w przekroju
poprzecznym pręta. Zbadano wpływ tych naprężeń na siłę krytyczną wyboczenia skrętnego
pręta o przekroju dwuteowym. Przyjęto klasyczne założenia teorii prętów cienkościennych
[1]. Za pomocą metod analizy wrażliwości [2] wyznaczono wariację siły krytycznej na skutek
zmian wartości naprężeń pospawalniczych i powalcowniczych. Uzyskano linie wpływu zmian
siły krytycznej przy wariacji naprężeń wzdłuż długości pręta.
2. Wariacja siły krytycznej przy uwzględnieniu naprężeń pospawalniczych
i powalcowniczych
2.1. Wpływ naprężeń na siłę krytyczną wyboczenia skrętnego
Rozpatrzmy pręt o przekroju dwuteowym osiowo ściskany siłą P (rys. 1). Po walcowaniu lub
spawaniu w przekroju poprzecznym pręta występuje samo równoważący się stan naprężeń.
W literaturze dotyczącej tego zagadnienia oraz w przepisach normowych można znalez
ć
różne rozkłady tych naprężeń [3], [4] (rys. 2, 4, 5).
Rys. 1. Pręt cienkościenny
1
Dr inż., Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Gdańska
62
Wpływ naprężęń w różniczkowym ró wnaniu ró wnowagi pręta opisać można za pomocą stałej
Rw [1]:
2
ëÅ‚ J öÅ‚
öÅ‚
ìÅ‚ëÅ‚ 0
ìÅ‚
2 2
(EJÉ Åš )3 + Pkr - G J - Rw ÷Å‚Åš2 ÷Å‚ = 0 , (1)
s
ìÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
Å‚Å‚
íÅ‚íÅ‚ A Å‚Å‚
gdzie stała Rw opisana jest zależnością:
2 2
Rw = + y ) Ã dA , (2)
xw
+"(z
A
natomiast EJÉ jest sztywnoÅ›ciÄ… bimomentowÄ… prÄ™ta, oznacza siÅ‚Ä™ krytycznÄ…, J jest
0
biegunowym momentem bezwładności, GJ sztywnością czystego skręcania, à są
S xw
naprężeniami normalnymi a Ś oznacza kąt skręcenia przekroju poprzecznego pręta.
/ /
à Ã
2 2
/ / / + /
Ã1 Ã1
Ã1 Ã1
+
/ /
à Ã
2 2
+ +
h/4
/
Ã
3
h /
Ã
3
h/2
tf tw
h/4
+
+
a) b b)
Rys. 2. Rozkład naprężeń powalcowniczych lub pospawalniczych
w przekroju poprzecznym pręta
Rozważono trzy rozkłady naprężeń własnych w przekroju poprzecznym pręta. Dla
pierwszego z analizowanych rozkładów naprężeń (rys. 2.a) wykorzystując zależność (2)
możemy obliczyć stałą Rw :
3
Å„Å‚1 ëÅ‚ h öÅ‚2 Ã1 îÅ‚1 ëÅ‚ h öÅ‚2 Å‚Å‚
t t
îÅ‚ Å‚Å‚üÅ‚
1 1 h tw 2 Ã1 b b
ôÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ f f ôÅ‚
Rw = à t b3 × + - ïÅ‚ + śł + - (3)
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
òÅ‚ żł
2 f ïÅ‚1 + śł
4
íÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ śł íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚6 b Ã2 ðÅ‚ 2 b ûÅ‚ 4 b t 3 Ã2 h tw h tw þÅ‚
f ðÅ‚ ûÅ‚ôÅ‚
ół
Znak stałej Rw zależy jednak od relacji wymiarów przekroju poprzecznego i wartości
przyjmowanych naprężeń. Na przykład dla b = h,tw = t otrzymamy zależność:
f
ëÅ‚ Ã1 öÅ‚
ìÅ‚
Rw = 0.29167Ã t b3 × , (4)
2 f
ìÅ‚1-1.1439 à ÷Å‚
÷Å‚
íÅ‚ 2 Å‚Å‚
 63
w której dla:
Ã1
> 0.875 Rw < 0,
Ã
2
. (5)
Ã1
< 0.875 Rw > 0
Ã
2
Analogiczne rozumowanie można przedstawić dla rozkładu naprężeń przedstawionych na
rys. 2b. Stała Rw opisana jest wzorem:
1
Rw = t b3Ã ×
f 2
4
(6)
2 3
Å„Å‚1 ëÅ‚ h öÅ‚2 Ã1 ëÅ‚ öÅ‚ üÅ‚
îÅ‚ t Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 h 1 tw h 5 b Ã1 ÷łśłôÅ‚
ôÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ f
ìÅ‚ ÷Å‚
+ - + + ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ -
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
òÅ‚ ïÅ‚1
ìÅ‚1 ôÅ‚
3 tw h Ã2 ÷łśłżł
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚6 b Ã2 ìÅ‚ 2 b ÷Å‚ 8 t b ïÅ‚
f íÅ‚ Å‚Å‚ûÅ‚þÅ‚
ðÅ‚
ół íÅ‚ Å‚Å‚
ZakÅ‚adajÄ…c, że b = h,tw = t znak Rw zależy również od proporcji naprężeÅ„ Ã1 à :
f 2
ëÅ‚ Ã1 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Rw = 0.27083Ã t b3 × -1.1923 (7)
2 f
ìÅ‚1 ÷Å‚
Ã
íÅ‚ 2 Å‚Å‚
Ã1
> 0.8387 Rw < 0,
Ã
2
(8)
Ã1
< 0.8387 Rw > 0
Ã
2
Zależność stałej Rw od przyjętych proporcji naprężeń w przekroju poprzecznym pręta
przedstawiono graficznie na rys.3 przyjmując, że: b = h,tw = t . Rozkład naprężeń
f
pospawalniczych lub powalcowniczych powinien być ściśle określony, tak aby nie budził
wątpliwości co do wpływu tych naprężeń na siłę krytyczną wyboczenia skrętnego pręta. Dla
dodatnich wartości Rw otrzymalibyśmy bowiem wzrost siły krytycznej co świadczyłoby o
korzystnym wpływie naprężeń na stateczność konstrukcji. Polska norma [5] w ogóle nie
precyzuje zalecanych rozkładów naprężeń pospawalniczych lub powalcowniczych co należy
uznać za pewien mankament tej normy.
Ã1 Ã1
0.4
Rw1
à Ã
2 2
Ã1
0.2
Ã2
1.1
0.7 0.8 0.9
-0.2
Rw2
Rys. 3. Zależnść staÅ‚ej Rw od Ã1 à dla powyższych wariantów rozkÅ‚adu naprężeÅ„
2
64
Natomiast w szwedzkiej normie dotyczącej konstrukcji stalowych [4] nie tylko określa się
rozkłady naprężeń powalcowniczych (rys. 4) i pospawalniczych (rys. 5) ale również
precyzuje się wartości tych naprężeń w różnych typach prętów dwuteowych. Rozkład
naprężeń powalcowniczych odpowiada wcześniej przedstawionemu na rys. 2a z tym, że
określenie wartości naprężeń nie powoduje wątpliwości co do znaku stałej Rw .
Rys. 4. Rozkład naprężeń powalcowniczych według normy [4]
Rys. 5. Rozkład naprężeń pospawalniczych według normy [4]
Dla rozkładu naprężeń pospawalniczych z rys. 5 wykorzystując zależność (2) można obliczyć
współczynnik Rw :
4 3 4 2 2
ëÅ‚
f ×(405 t -1008 htw +1620 tw + 216 h2(t + tw))+öÅ‚
yk f f
ìÅ‚ ÷Å‚
1
ìÅ‚
2 2 2 4
Rw = ëÅ‚ , (9)
- 32 b3t - 96 bh t + 216 h2t + 405 t +öÅ‚ ÷Å‚
f f f f
ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚
192
à ×ìÅ‚
c
ìÅ‚
ìÅ‚ 2 3 4
-16 h3tw + 216 h2tw -1008 htw +1620 tw ÷Å‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie à oznacza naprężenia Å›ciskajÄ…ce w przekroju poprzecznym prÄ™ta wynikajÄ…ce z warunku
c
równowagi sił normalnych a f oznacza wytrzymałość charakterystyczną materiału pręta.
yk
 65
Przy zaÅ‚ożeniu Ã1 = à = f = 210MPa oraz dla wymiarów przekroju poprzecznego prÄ™ta
2 yk
z przykładu numerycznego (rys. 6) porównano wartości stałej Rw dla trzech
przedstawionych rozkładów naprężeń (tab. 1). Najbardziej niekorzystne zmniejszenie siły
krytycznej wyboczenia skrętnego pręta wystąpiłoby w przypadku rozkładu nr 2.
Tablica 1. Porównanie stałej Rw dla różnych schematów naprężeń
Rozkład 1 (rys.2a) Rozkład 2 (rys.2b) Rozkład 3 (rys.5)
Rw [kNm2]
-0.7 -0.875 -0.233
2.2. Wariacja siły krytycznej pręta
Pierwsza wariacja siły krytycznej wyboczenia skrętnego pręta w zależności od wariacji
zmiennych projektowych dana jest wzorem [6]:
l
2 2 2 d 2 2 2 2
((EJÉ ),u Åš + (GJ ),u Åš - Pcr(r0 2),u Åš ) ´udx
+" l
0
´Pkr = = (x)´udx , (10)
u
l +"›
2
0
0
+"r Åš2 2dx
0
gdzie u oznacza zmienną projektową a (..), oznacza różniczkowanie względem zmiennej
projektowej. Uwzględniając równanie (1) można wyznaczyć pierwszą wariację siły
krytycznej wyboczenia skrętnego pręta w zależności od wariacji zmiennych opisujących
naprężenia pospawalnicze lub powalcownicze w następującej formie:
l
2 2
((Rw),u Åš ) ´udx
+" l
0
´Pkr = = (x)´udx . (11)
Pkru
l +"›
2
0
0
+"r Åš2 2dx
0
Funkcja ›P u(x) jest liniÄ… wpÅ‚ywu wariacji siÅ‚y krytycznej przy jednostkowych zmianach
kr
parametrów określających wartości naprężeń pospawalniczych lub powalcowniczych wzdłuż
długości pręta co wyjaś niono na poniższym przykładzie.
3. Przykład numeryczny
Dla pręta cienkościennego ściskanego siłami P1, P2 (rys. 6) wyznaczono pierwszą wariację
siły krytycznej wyboczenia skrętnego w zależności od wariacji naprężeń powalcowniczych
Ã1 , przyjmujÄ…c rozkÅ‚ad naprężeÅ„ zgodny z modelem przedstawionym na rys. 2a. PrzyjÄ™to
również, że naprężenia powalcownicze Ã1 =100MPa. W analizie uwzglÄ™dniono różne relacje
sił ściskających w poszczególnych częściach pręta, oznaczając przez k stosunek sił
66
ściskających ( k = (P1 + P2) P1 ). Przy uwzględnieniu naprężeń powalcowniczych siła
krytyczna wyboczenia skrętnego pręta wynosi Pkr0 =1295.2 kN (dla k = 2), podczas gdy przy
pominięciu wpływu naprężeń powalcowniczych siła krytyczna jest większa tylko o około
1.59% i wynosi 1315.8 kN. Z przytoczonego przykładu wynika, że wpływ naprężeń
powalcowniczych na siłę krytyczną wyboczenia skrętnego pręta jest w tym przypadku
nieduży, ale nie jest on wcale jednakowy w poszczególnych częściach pręta.
Rys. 6. Pręt cienkościenny ściskany siłami P1 i P2
Zilustrowane to zostało na rys.7. Przedstawiono tutaj linie wpływu względnej wariacji siły
krytycznej przy jednostkowych zmianach naprężeń powalcowniczych wzdłuż długości pręta.
Jak widać bezwzględne wartości na wykresie wzrastają w pobliżu podpór pręta dla
określonej proporcji sił ściskających, natomiast wraz ze wzrostem współczynnika k wpływ
naprężeń w bardziej obciążonej części pręta zaczyna dominować. Wszystkie wartości
odniesiono do poczÄ…tkowej wartoÅ›ci siÅ‚y krytycznej (dla k=2 i Ã1 =100MPa).
x [m]
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
0.0E+0
-2.0E-7
k=1
k=2
-4.0E-7
k=5
›P Ã 1 kr m ]
/P [1/
k=8
kr
-6.0E-7
Rys. 7. Linia wpływu względnej wariacji siły krytycznej wyboczenia skrętnego pręta
przy jednostkowych wariacjach naprężeń powalcowniczych wzdłuż długości pręta
Wykres z rys. 7 ma jeszcze inne praktyczne znaczenie polegające na tym, że przy
założeniu pewnych wariacji naprężeń wzdłuż długości pręta i scałkowaniu wykresu uzyskać
można liniową aproksymację ścisłej zależności względnej siły krytycznej wyboczenia
skrętnego od względnych naprężeń powalcowniczych (rys. 8). Jak widać przebieg
rzeczywistej funkcji względnej siły krytycznej wyboczenia skrętnego od względnych
 67
naprężeń powalcowniczych jest też prostoliniowy a więc analiza wrażliwości pozwala łatwo
określić funkcję rzeczywistą.
1.1 Pkr0
/
P kr
analiza wrażliwości k=2
rozwiązanie ścisłe
1.0
0.9
0.8
Ã1
/Ã 10
0.7
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
Rys. 8. Aproksymacji liniowa ścisłej zależności względniej siły krytycznej wyboczenia
skrętnego przy stałej wariacji naprężeń powalcowniczych wzdłuż długości pręta ( k =2)
4. Wnioski końcowe
Z przeprowadzonej analizy wynika, że naprężenia pospawalnicze i powalcownicze mają
niekorzystny wpływ na pracę pręta, gdyż powodują one spadek siły krytycznej. Wpływ ten
jest największy w strefach przypodporowych oraz tam gdzie występują większe siły
ściskające.
Z porównania liniowego rozkładu naprężeń z rozkładem zmieniającym się skokowo,
zakładającym pewną lokalizację stref plastycznych w pobliżu spoin (3tw ,3tf ) wynika, że przy
tych samych wartościach naprężeń, większy wpływ na siłę krytyczną mają naprężenia o
rozkładzie liniowym.
Analiza wrażliwości pozwala na przybliżone wyznaczenie wariacji siły krytycznej pręta
cienkościennego przy wariacji naprężeń powalcowniczych lub pospawalniczych bez potrzeby
dokonywania ponownej analizy konstrukcji.
Literatura
[1] VLASOV, V. Z., Thin walled elastic beams. Israel Program for Scientific Translations.
Jerusalem, Israel, 1961.
[2] HAUG E. J., CHOI K. K., KOMKOV V., Design sensitivity analysis of structural
system. Academic Press, Orlando, (1986).
[3] RYKALUK K., Pozostające naprężenia spawalnicze w wybranych stanach
granicznych nośności. Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, (1981).
[4] Boverkets handbok om stalkonstruktioner. Boverket, Byggavdelningen. Stockholm,
Sverige 1994.
[5] PN-90/B-03200 Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.
[6] SZYMCZAK Cz., Analiza wrażliwości obciążeń krytycznych prętów cienkościennych.
XLII Konferencja Naukowa KILiW PAN i KN PZITB, Kraków-Krynica,t.2, (1996),
169-176.
68
INFLUENCE OF INITIAL WELDING AND ROLLING STRESSES
ON THE CRITICAL TORSIONAL LOAD OF THIN-WALLED
COLUMNS WITH BISYMMETRIC CROSS-SECTION
Summary
The influence of initial welding and rolling stresses on the critical torsional load of the thin-
walled column with bisymmetric open cross-section has been investigated. The
considerations are based on the classical assumptions of the theory of thin-walled beams
with nondeformable cross-section. The first variation of the critical torsional load of the
column due to a variation of welding and rolling stresses derived. Three stress distribution
models are taken into account. The graphs of influence lines of the critical torsional load
variation due to some variations of the design variables are presented.