Ćwiczenie 4
Wyznaczanie naprężeń w zagadnieniach dwuwymiarowych. Równanie tarczy (PSN)
1. Wyznaczanie naprężeń w zagadnieniach dwuwymiarowych
Ogólnym (analitycznym) sposobem rozwiązywania zagadnień dwuwymiarowych (przykładowo: tarcz) jest
stosowanie tzw. funkcji naprężeń (funkcji Airy ego).
Przyjmujemy, że naprężenia można przedstawić, jako pochodne pewnej funkcji F x1, x2 ( funkcji naprężeń ):
( )
"2F "2F
Ã11 = , Ã22 =
2 2
"x2 "x1
"2F
Ã12 = Ã21 = - - Ábx2 - Áb2x1
"x1"x2 1
gdzie:
Áb1, Áb2  skÅ‚adowe siÅ‚ objÄ™toÅ›ciowych
kg
îÅ‚ Å‚Å‚
Á  gÄ™stość materiaÅ‚u  staÅ‚a
ïÅ‚ śł
m3
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
kN
b1, b2 ïÅ‚ śł  skÅ‚adowe siÅ‚ masowych (staÅ‚e) w kierunkach osi x1, x2
( )
kg
ðÅ‚ ûÅ‚
Sprawdzamy przede wszystkim, czy wyżej wymienione przyjęcie pochodnych jest zgodne z równaniami
równowagi!
"Ã11 "Ã21
PrzykÅ‚adowo 1-sze równanie równowagi: + + Áb1 = 0
"x1 "x2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
" "2F " "2F
Podstawiamy: + - - Ábx2 - Áb2x1 ÷Å‚ + Áb1
2
"x1 ìÅ‚ "x2 ÷Å‚ "x2 ìÅ‚ "x1"x2 1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"3F "3F
- - Áb1 Å"1- Áb2 Å"0 + Áb1 = 0 , co byÅ‚o do okazania!
22
"x1"x2 "x1"x2
"Ã12 "Ã22
Podobnie dla 2-go równania równowagi: + + Áb2 = 0
"x1 "x2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
" "2F " "2F
Podstawiamy: - - Ábx2 - Áb2x1 ÷Å‚ + + Áb2
2
"x1 ìÅ‚ "x1"x2 1 "x2 ìÅ‚ "x1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"3F "3F
- - Áb1 Å"0 - Áb2 Å"1+ Áb2 = 0 , co byÅ‚o do okazania!
22
"x2"x1 "x2"x1
2. Równanie tarczy  PSN
Równanie różniczkowe tarczy (równanie dla funkcji naprężeń) wyprowadzić można podstawiając równania
konstytutywne do równań nierozdzielności, wykorzystując związki:
"2F "2F "2F
Ã11 = , Ã22 = , Ã12 = Ã21 = - - Ábx2 - Áb2x1
2 2
"x2 "x1 "x1"x2 1
Jest to metoda uogólniająca metodę sił, stosowaną w układach 1-D!
Założenie: ośrodek sprężysty, izotropowy, jednorodny.
Równania konstytutywne (PSN):
1 1
µ11 = Ã11 -½ Å"Ã22 , µ22 = Ã22 -½ Å"Ã11
( ) ( )
E E
11+½ E
µ12 = µ21 = Å"Ã12 = Å"Ã12 , G =
2GE 2 1+½
( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 4 " KMBiM WILiŚ PG 1
Podstawiamy, jak opisano wcześniej:
"2µ11 "2µ22 "2µ12
+ - 2 = 0
2 2
"x2 "x1 "x1"x2
"2 11
îÅ‚
Ã11
( -½ Å"Ã22 śł + Ã22 Å"Ã12 śł = 0
)Å‚Å‚ "2 îÅ‚ E ( -½ Å"Ã11 śł - 2
)Å‚Å‚ "2 îÅ‚1+½ Å‚Å‚
22
"x2 ïÅ‚ E "x1 ïÅ‚ "x1"x2 ïÅ‚ E
ðÅ‚ûÅ‚ ðÅ‚ûÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚
1 "2Ã11 ½ "2Ã22 1 "2Ã22 ½ "2Ã11 1+½ "2Ã12
Å" - Å" + Å" - Å" - 2Å" Å" = 0
22 22
E "x2 E "x2 E "x1 E "x1 E "x1"x2
WykorzystujÄ…c zwiÄ…zki:
"2F "2F "2F
Ã11 = , Ã22 = , Ã12 = Ã21 = - - Ábx2 - Áb2x1
2 2
"x2 "x1 "x1"x2 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"2 "2F "2 "2F "2 "2F "2 "2F "2 "2F
mamy: -½ Å" + -½ Å" + Å" 1+½ Å" - Ábx2 - Áb2x1śł = 0
(-2
) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
"x2 ïÅ‚ "x2 śł "x2 ïÅ‚ "x1 śł "x1 ïÅ‚ "x1 śł "x1 ïÅ‚ "x2 śł "x1"x2 ïÅ‚- "x1"x2 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
PorzÄ…dkujÄ…c, otrzymujemy:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"4F "4F "4F "4F "4F
-½ + -½ + Å" 1+½ Å" - Áb1 Å"0 - Áb2 Å"0śł = 0
(-2
) ( )
ïÅ‚- 2 2
4 2 2 4 2 2
"x2 ïÅ‚"x1 "x2 śł "x1 ïÅ‚"x1 "x2 śł "x1 "x2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚Å‚Å‚
"4F "4F "4F "4F "4F
- 2½ Å" + + Å"1Å" + ½ Å" = 0
(-2
) (-2
)
ïÅ‚- 2 2
4 2 2 4
"x2 ïÅ‚"x1 "x2 śł "x1 "x1 "x2 śł ïÅ‚- 2 2
"x1 "x2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ûÅ‚ ðÅ‚ûÅ‚
PorzÄ…dkujÄ…c dalej:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"4F "4F "4F"4F "4F
- 2½ Å"+ + 2Å"+ 2½ Å"= 0
4 2 2 4 2 2 2 2
"x2 ïÅ‚"x1 "x2 śł "x1 ïÅ‚"x1 "x2 śł ïÅ‚"x1 "x2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Ostatecznie:
"4F "4F "4F
+ 2Å" + = 0
4 2 2 4
"x1 "x1 "x2 "x2
Możemy dla wzoru powyżej wprowadzić zapis operatorowy: "4F x1, x2 = 0 ,
( )
gdzie:
"4 x1, x2 = 0   operator Nabla cztery (operator biharmoniczny)
( )
lub: " îÅ‚"F x1, x2 Å‚Å‚ = 0   podwójny Laplasjan
( )ûÅ‚
ðÅ‚
Wówczas:
ëÅ‚ "2 gð "2 gð "2F x1, x2 "2F x1, x2 öÅ‚
öÅ‚ëÅ‚
( ) ( ) ( ) ( )
+ += 0
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
"x1 "x2 Å‚Å‚íÅ‚ "x1 "x2 Å‚Å‚
íÅ‚
Ćwiczenie: Wyprowadzić równanie dla funkcji naprężeń w PSO.
Wskazówka: z definicji PSO: µ33 = 0 , dostajemy: Ã33 =½ (Ã11 +Ã22)
Rozwiązanie ćwiczenia:
1
µ11 = îÅ‚Ã11 -½ Ã22 +Ã33 Å‚Å‚
( )ûÅ‚
ðÅ‚
E
Podstawiając dane ze wskazówki:
1 1
µ11 = Ã11 -½ îÅ‚Ã22 +½ Ã11 +Ã22 Å‚Å‚ µ11 = îÅ‚Ã11 -½ Ã22 +½ Å"Ã11 +½ Å"Ã22 Å‚Å‚
( )ûÅ‚ E ðÅ‚ ( )ûÅ‚
{ }
ðÅ‚
E
1
22
µ11 = Ã11 -½ Å"Ã22 -½ Å"Ã11 -½ Å"Ã22
( )
E
1 1+½
2
îÅ‚
µ11 = 1-½ Å"Ã11 -½ Å" 1+½ Å"Ã22 Å‚Å‚ = îÅ‚ 1-½ Å"Ã11 -½ Å"Ã22 Å‚Å‚
( ) ( )
( )
ðÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚ûÅ‚
E E
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 4 " KMBiM WILiŚ PG 2
Podobnie:
1
µ22 = îÅ‚Ã22 -½ Ã11 +Ã33 Å‚Å‚
( )ûÅ‚
ðÅ‚
E
Podstawiając dane ze wskazówki:
1 1
µ22 = Ã22 -½ îÅ‚Ã11 +½ Ã11 +Ã22 Å‚Å‚ µ22 = îÅ‚Ã22 -½ Ã11 +½ Å"Ã11 +½ Å"Ã22 Å‚Å‚
( )ûÅ‚( )ûÅ‚
{ }
ðÅ‚ ðÅ‚
E E
1
22
µ22 = Ã22 -½ Å"Ã11 -½ Å"Ã11 -½ Å"Ã22
( )
E
1 1+½
2
îÅ‚
µ22 = 1-½ Å"Ã22 -½ Å" 1+½ Å"Ã11Å‚Å‚ = îÅ‚ 1-½ Å"Ã22 -½ Å"Ã11Å‚Å‚
( ) ( )
( )
ðÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚ûÅ‚
E E
oraz:
Ã12 1 2Å"(1+½ ) 1+½
µ12 = = Ã12 Å" Å" = Å"Ã12
2G 2 EE
3. Warunki brzegowe (w naprężeniach)
Dany jest element:
x2
p
%ð
x1
dx2
dx1
element różniczkowy na brzegu
dx2
×g
dx1
g  grubość tarczy
kN
îÅ‚ Å‚Å‚
Dane jest obciążenie na brzegu: p
ïÅ‚ śł
m2
ðÅ‚ ûÅ‚
dx2 dx1
cosÄ…1 = cosÄ…2 =
x2
ds ds
Ä…2 n p
%ð
p2
n  zewnętrzna jednostkowa normalna
Ã11
Ä…1 %ð
%ð
dx2 x1 elementu powierzchni gds
ds
p1
p1, p2  znane składowe wektora
Ã12
dx1
kN
îÅ‚ Å‚Å‚
obciążenia powierzchni na brzegu,
ïÅ‚ śł
Ã21 Ã22
m2
ðÅ‚ ûÅ‚
Równania równowagi elementu " Px = 0, " Px = 0
12
RozpisujÄ…c:
Ã11gdx2 +Ã21gdx1 = p1gds
Å„Å‚
/ gds
òÅ‚
gdx1 +Ã12gdx2 = p2gds
ółÃ22
Ã11 cosÄ…1 +Ã21 cosÄ…2 = p1
Å„Å‚
òÅ‚
cosÄ…2 +Ã12 cosÄ…1 = p2
ółÃ22
Ã11n1 +Ã21n2 = p1
Å„Å‚
òÅ‚
n1 +Ã22n2 = p2
ółÃ12
Zatem, w postaci macierzowej:
T
à Å"n = p ,
%ð %ð
%ð
gdzie:
Ã11 Ã12 p1 n1 cosÄ…1
îÅ‚Å‚Å‚ Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚
à = , p = =
òÅ‚ żł, n = òÅ‚n żł òÅ‚cosÄ… żł cos.kierunkowe
ïÅ‚Ã Ã22 śłp2 %ð
%ð
%ð
ðÅ‚ 21 ûÅ‚ ół þÅ‚ ół 2 þÅ‚ ół 2 þÅ‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 4 " KMBiM WILiŚ PG 3
4. Funkcje naprężeń w postaci wielomianów
Niektóre proste zagadnienia tarcz mogą być rozwiązane za pomocą funkcji naprężeń w postaci wielomianów.
Z postaci równania biharmonicznego wynika, że wszystkie wielomiany stopnia niższego niż czwarty (dwóch
zmiennych) spełniają to równanie!
Zadanie 1: Dany jest element tarczowy, jak na rysunku:
funkcje liniowe
h
×g
x1
2
M
h
2
Áb1 = 0
üÅ‚
żł
brak sił objętościowych
Áb2 = 0þÅ‚
l
3 2 2 3
Dana jest funkcja naprężeÅ„: F x1, x2 = AÅ" x1 + B Å" x1 x2 + C Å" x1x2 + D Å" x2
( )
Wyznaczyć stałe A, B, C i D tak, aby otrzymać rozkład naprężeń spełniający dane warunki brzegowe.
 Czyste zginanie  tylko moment zginajÄ…cy M
Funkcja ta spełnia równanie biharmoniczne!
Warunki brzegowe:
0 d" x1 d" l
ëÅ‚öÅ‚
1) Ã22 ìÅ‚÷Å‚ = 0
h
ìÅ‚÷Å‚
x2 =
íÅ‚ 2 Å‚Å‚
0 d" x1 d" l
ëÅ‚öÅ‚
2) Ã22 ìÅ‚÷Å‚ = 0
h
ìÅ‚÷Å‚
x2 = -
íÅ‚ 2 Å‚Å‚
0 d" x1 d" l
ëÅ‚öÅ‚
3) Ã12 ìÅ‚÷Å‚ = 0
h
ìÅ‚÷Å‚
x2 = Ä…
íÅ‚ 2 Å‚Å‚
h
2
4) Ã11gx2dx2 = M warunek caÅ‚kowy  w celu porównania z teoriÄ… belek!
+"
-h 2
RozwiÄ…zanie zadania 1:
Wykonajmy następujące podstawienia:
"2F "2 îÅ‚ 3 2 2 3
Å‚Å‚
Ã11 = = x1 + B Å" x1 x2 + C Å" x1x2 + D Å" x2 ûÅ‚
2 2
"x2 "x2 ðÅ‚AÅ"
"
22
îÅ‚Å‚Å‚
Ã11 = + B Å" x1 Å"1+ C Å" x1 Å" 2x2 + D Å"3x2 ûÅ‚
"x2 ðÅ‚0
Ã11 = 0 + C Å" x1 Å" 2 + D Å"3Å" 2x2 = 2C Å" x1 + 6D Å" x2
"2F "2 îÅ‚ 3 2 2 3
Å‚Å‚
oraz: Ã22 = = x1 + B Å" x1 x2 + C Å" x1x2 + D Å" x2 ûÅ‚
2 2
"x1 "x1 ðÅ‚AÅ"
"
22
îÅ‚Å‚Å‚
Ã22 = AÅ"3x1 + B Å" 2x1 Å" x2 + C Å"1Å" x2 + 0ûÅ‚
"x1 ðÅ‚
Ã22 = AÅ"3Å" 2x1 + B Å" 2Å" x2 + 0 = 6AÅ" x1 + 2B Å" x2
"2F "2F
oraz: Ã12 = Ã21 = - - Ábx2 - Áb2x1 = - - 0Å" x2 - 0Å" x1
"x1"x2 1 "x1"x2
" "F " " "
3 2 2 3 2
Å‚Å‚ + B Å" x1 Å"1+ C Å" x1 Å" 2x2 + D Å"3x2 ûÅ‚
Ã12 = - = - îÅ‚ AÅ" x1 + B Å" x1 x2 + C Å" x1x2 + D Å" x2 ûÅ‚ = - îÅ‚2 Å‚Å‚
"x1 "x2 "x1 "x2 ðÅ‚ "x1 ðÅ‚0
Ã12 = -[ ]
B Å"2x1 + C Å"1Å"2x2 + 0 = -2B Å" x1 - 2C Å" x2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 4 " KMBiM WILiŚ PG 4
PodstawiajÄ…c warunki brzegowe:
warunek 2 Ò! B = 0
üÅ‚
warunek 3 Ò! C = 0ôÅ‚ Ã11 = 6D Å" x2
żł
ôÅ‚
warunek 1Ò! A = 0
þÅ‚
h
2
M
warunek 4 Ò! 6D Å" x2 Å"gx2dx2 = 6D Å" I = M D =
( ) }
+"
6Å" I
-h 2
Zatem:
Ã11 = 6D Å" x2
M
D =
6Å" I
więc:
M M
Ã11 = 6Å" Å" x2 = Å" x2
6Å" I I
Wnioski:
wynik jest zgodny z rozwiązaniem Wytrzymałości Materiałów (w póz
niejszych przykładach wystąpią
zasadnicze różnice rozwiązań pomiędzy WM, a Teorią Sprężystości!)
rozkład naprężeń nie zależy od rozpiętości tarczy l
rozwiązanie jest ścisłe w sensie Teorii Sprężystości (spełnia równania równowagi, warunki nierozdzielności,
warunki brzegowe)
Zadanie 2: Dana jest funkcja naprężeń w postaci wielomianu:
22
Funkcja naprężeÅ„: F x1, x2 = AÅ" x1 + B Å" x1x2 + C Å" x2 ,
( )
gdzie: A > 0, B < 0, C > 0 .
Sprawdzić, jaki stan naprężeń może ona opisywać.
RozwiÄ…zanie zadania 2:
Funkcja ta jest wielomianem stopnia niższego niż czwarty (dwóch zmiennych)  spełnia zatem równanie
biharmoniczne!
Obliczamy zatem naprężenia przy braku sił objętościowych:
"2F "2 îÅ‚ 22
Å‚Å‚
Ã11 = = x1 + B Å" x1x2 + C Å" x2 ûÅ‚
2 2
"x2 "x2 ðÅ‚AÅ"
"
Ã11 = 0 + B Å" x1 Å"1+ C Å" 2x2 = 0 + 0 + C Å" 2Å"1 = 2C > 0
[ ]
"x2
oraz:
"2F "2 îÅ‚ 22
Å‚Å‚
Ã22 = = x1 + B Å" x1x2 + C Å" x2 ûÅ‚
2 2
"x1 "x1 ðÅ‚AÅ"
"
Ã22 = AÅ" 2x1 + B Å"1Å" x2 + 0 = AÅ" 2Å"1+ 0 + 0 = 2A > 0
[ ]
"x1
a także:
"2F "2F
Ã12 = Ã21 = - - Ábx2 - Áb2x1 = - - 0Å" x2 - 0Å" x1
"x1"x2 1 "x1"x2
" "F " "
22
Ã12 = - = - îÅ‚Å‚Å‚
AÅ" x1 + B Å" x1x2 + C Å" x2 ûÅ‚
"x1 "x2 "x1 "x2 ðÅ‚
"
B Å"1+ C Å"0 = -B > 0
Ã12 = - [ ] ]
0 + B Å" x1 Å"1+ C Å" 2x2 Ã12 = -[
"x1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 4 " KMBiM WILiŚ PG 5
Interpretacja graficzna:
Ã22
Ã12
Ã11
2A B
x1 x1 x1
2C 2C
2A B
x2 x2 x2
Odpowiedz
: Podana powyżej funkcja naprężeń może opisywać równomierne rozciąganie i ściskanie!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 4 " KMBiM WILiŚ PG 6