Ćwiczenie 3
Płaski stan naprężeń (PSN) i płaski stan odkształceń (PSO)
Nowe oznaczenia osi układu współrzędnych: x1, x2, x3
(odrzucamy oznaczenia x, y, z ze względu na notację tensorową  indeksy 1,2,3!)
Ã22
PSN PSO
x2 x2
µ22
Ã12
dx2
Ã11
µ12,µ21
µ11
x3 x3
dx1 x1 x1
Płaski stan naprężeń:
Macierz naprężeń:
Ã11 Ã12 0 Ã11 0 Ã13 0 0 0
îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚Ã ïłśł ïÅ‚0
à = Ã22 0śł lub à = 0 0 0 lub à = Ã22 Ã23 śł
21
ïłśł ïłśł ïłśł
%ð %ð %ð
ïłśł ïłśł ïÅ‚ûÅ‚
0 0 0ûÅ‚ 0 Ã33 ûÅ‚
ðÅ‚ ðÅ‚Ã31 ðÅ‚0 Ã32 Ã33 śł
przy czym kolejno: Ã12 = Ã21 lub Ã13 = Ã31 lub Ã23 = Ã32
zależnie od oznaczenia osi
Płaski stan odkształceń:
Macierz małych odkształceń:
µ11 µ12 0 µ11 0 µ13 0 0 0
îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚µ ïłśł ïÅ‚0
µ = µ22 0śł lub µ = 0 0 0 lub µ = µ22 µ23 śł
21
ïłśł ïłśł ïłśł
%ð %ð %ð
ïłśł ïłśł ïÅ‚ûÅ‚
0 0 0ûÅ‚ 0 µ33 ûÅ‚
ðÅ‚ ðÅ‚µ31 ðÅ‚0 µ32 µ33 śł
przy czym kolejno: µ12 = µ21 lub µ13 = µ31 lub µ23 = µ32
zależnie od oznaczenia osi
Uogólnione prawo Hooke a
zależność µ à zapisana na podstawie  myÅ›lowych doÅ›wiadczeÅ„
( )
%ð %ð
dla materiału izotropowego opisanego stałymi:
E [MPa]  moduł Younga
½ [ ]  współczynnik Poissona
E
G = [MPa]
2 1+½
( )
Uogólnione prawo Hooke a:
1
µ11 = îÅ‚Ã11 -½ Ã22 +Ã33 Å‚Å‚
( )ûÅ‚
ðÅ‚
E
1
µ22 = îÅ‚Ã22 -½ Ã11 +Ã33 Å‚Å‚
( )ûÅ‚
ðÅ‚
E
1
µ33 = îÅ‚Ã33 -½ Ã11 +Ã22 Å‚Å‚
( )ûÅ‚
ðÅ‚
E
Ã12 Ã13 Ã23
µ12 = µ21 = , µ13 = µ31 = , µ23 = µ32 =
2G 2G 2G
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 2 " KMBiM WILiŚ PG 1
 zwiÄ…zki odwrotne µ à uzyskamy rozwiÄ…zujÄ…c powyższy ukÅ‚ad równaÅ„ wzglÄ™dem skÅ‚adowych naprężeÅ„:
( )
%ð %ð
E ½
îÅ‚
Ã11 =
( )Å‚Å‚
ïÅ‚µ11 + µ11 + µ22 + µ33 śł , Ã12 = Ã21 = 2Gµ12 = 2Gµ21
1+½ 1- 2½
ðÅ‚ûÅ‚
E ½
îÅ‚
Ã22 =
( )Å‚Å‚
ïÅ‚µ22 + µ11 + µ22 + µ33 śł , Ã13 = Ã31 = 2Gµ13 = 2Gµ31
1+½ 1- 2½
ðÅ‚ûÅ‚
E ½
îÅ‚
Ã33 =
( )Å‚Å‚
ïÅ‚µ33 + µ11 + µ22 + µ33 śł , Ã23 = Ã32 = 2Gµ23 = 2Gµ32
1+½ 1- 2½
ðÅ‚ûÅ‚
½
Z definicji PSN, Ã33 = 0 , dostajemy: µ33 = - (Ã11 +Ã22)
E
to oznacza, iż istnieje odkształcenie w kierunku prostopadłym do płaszczyzny naprężeń
Z definicji PSO, µ33 = 0 , dostajemy: Ã33 =½ (Ã11 +Ã22)
to oznacza, iż istnieje składowa naprężenia w kierunku prostopadłym do płaszczyzny odkształceń
Elementarne wyprowadzenie równań równowagi w PSN
zagadnienia teorii sprężystości i plastyczności są na ogół statycznie niewyznaczalne
równania równowagi stanowią ważną grupę w pełnym układzie równań
"Ã22
Ã22 + dx2
x2
"x2
"Ã21
Ã21 + dx2
"x2
Ã11 Áb2
"Ã11
Ã11 + dx1
dx2
Áb1
×g
"x1
Ã12
Ã21 Ã22
"Ã12
Ã12 + dx1
x3
x1
"x1 różniczka funkcji
dx1
 jej przyrost
gdzie: g  grubość elementu,
Áb1, Áb2  skÅ‚adowe siÅ‚ objÄ™toÅ›ciowych,
Á [kN / m3]  gÄ™stość, b1, b2 [kN / kg]  siÅ‚y masowe
3 równania równowagi płaskiego układu sił:
" Px = 0, " Px = 0, " Mo = 0
12
RozpisujÄ…c:
"Ã11 "Ã21
1) " Px = 0 dx1dx2g + dx2dx1g + Áb1dx1dx2g = 0
1
"x1 "x2
"Ã11 "Ã21
stÄ…d: + + Áb1 = 0
"x1 "x2
"Ã22 "Ã12
2) " Px = 0 dx2dx1g + dx1dx2g + Áb2dx2dx1g = 0
2
"x2 "x1
"Ã12 "Ã22
stÄ…d: + + Áb2 = 0
"x1 "x2
3) " Mo = 0 Ã12 = Ã21
(po pominięciu nieskończenie małych składników wyższego rzędu)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 2 " KMBiM WILiŚ PG 2
Ćwiczenie 3
Dwuwymiarowe zagadnienia teorii sprężystości
Obok równań równowagi i związków konstytutywnych ważną rolę w teorii sprężystości odgrywają równania
nierozdzielności!
Równanie zgodności odkształceń (nierozdzielności)w zagadnieniach dwuwymiarowych
przypomnienie: układy jednowymiarowe (pręty):
postać odkształcona
 krzywa klasy C1 (belka ciągła)
"Õ `" 0
postać odkształcona
 krzywa nie jest klasy C1
stÄ…d: "Õ = 0 warunek nierozdzielnoÅ›ci dla belki ciÄ…gÅ‚ej!
układy dwuwymiarowe (powierzchnie):
linie wyobrażonego podziału   myślowego
brak ciągłości odkształceń  pęknięcia
ciągłość odkształceń zachowana  składowe wektora odkształceń:
µ11,µ12,µ21,µ22 nie mogÄ… być przyjmowane niezależnie (dowolnie)
Warunek analityczny ciągłości odkształceń w obszarach dwuwymiarowych (równanie nierozdzielności):
"2µ11 "2µ22 "2µ12
+ - 2 = 0
2 2
"x2 "x1 "x1"x2
Dowód (rachunkowy):
x2
"u
µ11 =
"x1
v
"v
q(x1, x2)
µ22 =
%ð
"x2
x1
u
ëÅ‚öÅ‚
1 "u "v
dx2 µ12 = µ21 = +
ìÅ‚
2 "x2 "x1 ÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
dx1
gdzie: q(x1, x2) wektor przemieszczeń
%ð
u,v współrzędne wektora przemieszczeń
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 2 " KMBiM WILiŚ PG 3
Podstawiając uzyskane wartości do wzoru:
"2µ11 "2µ22 "2µ12
+ - 2 = 0
2 2
"x2 "x1 "x1"x2
otrzymujemy:
Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 "u "2 "v "2 îÅ‚1 "u "v
+ - 2 + = 0
ïłśł
ìÅ‚
22
"x2 ìÅ‚ "x1 ÷Å‚ "x1 ìÅ‚ "x2 ÷Å‚ "x1"x2 ðÅ‚ 2 "x2 "x1 ÷Å‚ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
To daje:
"3u "3v "3u "3v
+ - - = 0
2 2 2 2
"x1"x2 "x1 "x2 "x1"x2 "x1 "x2
a więc:
0 = 0
co było do okazania!
Głębsze uzasadnienie równania podane będzie w ramach wykładu!
Zadanie 1: Czy podane poniżej funkcje mogą być współrzędnymi tensora małych odkształceń w PSO?
Odpowiedz
uzasadnić.
2 2
îÅ‚Å‚Å‚
x2 2x1
10-4
µ a" µij = Å" , l - const [m]
ïÅ‚2x2 x1x2 śł
%ð l2
ðÅ‚ 1 ûÅ‚
RozwiÄ…zanie zadania 1:
Aby podane powyżej funkcje mogły być współrzędnymi tensora małych odkształceń w PSO musi zostać spełnione
równanie:
"2µ11 "2µ22 "2µ12
+ - 2 = 0
2 2
"x2 "x1 "x1"x2
Zatem obliczamy:
"2µ11 "2 2 "
= x2 = (2x2) = 2
( )
2 2
"x2 "x2 "x2
"2µ22 "2 "
= x1x2 = x2 = 0
( ) ( )
2 2
"x1 "x1 "x1
oraz:
"2µ12 "2 2 "
2 = 2 2x1 = 2 0 = 2Å"0 = 0
( )
( )
"x1"x2 "x1"x2 "x1
"2µ12 "2 2 "
lub też: 2 = 2 2x1 = 2 4x1 = 2Å"0 = 0
( )
( )
"x1"x2 "x1"x2 "x2
Podstawiając obliczone wartości do równania:
"2µ11 "2µ22 "2µ12
+ - 2 = 0
2 2
"x2 "x1 "x1"x2
otrzymujemy: 2 + 0 - 0 = 2 `" 0 (sprzeczność)
Odpowiedz
: Zatem, podane powyżej funkcje nie mogą być współrzędnymi tensora małych odkształceń w PSO!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 2 " KMBiM WILiŚ PG 4