Ćwiczenie 5
Rozwiązania tarcz we współrzędnych biegunowych
Związki między składowymi stanu naprężeń w układzie prostokątnym i biegunowym
1. Rozwiązania tarcz we współrzędnych biegunowych
x2
dÕ
2 2
Å„Å‚
r = x1 + x2
ôÅ‚
x1 = r Å"cosÕ
Å„Å‚
r Å" dÕ
òÅ‚x = r Å"sinÕ Ò! òÅ‚ arctg ëÅ‚ x2 öÅ‚
ôÅ‚Õ = ìÅ‚ ÷Å‚
ół 2
x1
íÅ‚ Å‚Å‚
ół
dr Õ
x1
r
Współrzędne biegunowe  współrzędne krzywoliniowe, ortogonalne, na płaszczyz
nie
W celu wyprowadzenia wzorów transformacyjnych dla operatora biharmonicznego "4F z układu
prostokątnego do biegunowego obliczamy pochodne cząstkowe funkcji złożonej:
F x1, x2 Ò! F r,Õ = F r(x ,x2 ),Õ(x ,x2 )
( ) ( )
( )
1 1
Obliczenia pomocnicze:
"r 2x1 x1
= = = cosÕ
2 2
"x1 2 x1 + x2 r
"r 2x2 x2
= = = sinÕ
2 2
"x2 2 x1 + x2 r
x2
-
2
"Õ x1 x2 x2 sinÕ
= = - = - = -
2 2 2
"x1
ëÅ‚ öÅ‚
x2 x1 + x2 r2 r
1+
ìÅ‚ ÷Å‚
x1
íÅ‚ Å‚Å‚
-1
"Õ x1 x1 x1 cosÕ
= = = =
2 2 2
"x2
ëÅ‚ öÅ‚
x2 x1 + x2 r2 r
1+
ìÅ‚ ÷Å‚
x1
íÅ‚ Å‚Å‚
Pochodne funkcji naprężeń:
"F "F "r "F "Õ "F "F sinÕ
öÅ‚
= Å" + Å" = Å"cosÕ + Å"ëÅ‚ -
ìÅ‚÷Å‚
"x1 "r "x1 "Õ "x1 "r "Õ r
íÅ‚Å‚Å‚
"F "F "r "F "Õ "F "F cosÕ
= Å" + Å" = Å"sinÕ + Å"ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x2 "r "x2 "Õ "x2 "r "Õ r
íÅ‚ Å‚Å‚
Następnie:
ëÅ‚ öÅ‚
"2F " "F ëÅ‚ "gð "gð sinÕ öÅ‚ëÅ‚ "F "F sinÕ öÅ‚
= = cosÕ - cosÕ -
÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
2
"x1 "x1 ìÅ‚ "x1 ÷Å‚ ìÅ‚ "r "Õ r "r "Õ r
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"2F "2F sinÕ "F 1 1 "2F "F 1 "2F 1 "F 1
= Å"cos2 Õ - Å" Å"cosÕ + Å" Å"sinÕ Å"cosÕ - Å" Å"sinÕ Å"cosÕ + Å" Å"sin2 Õ + Å" sin2 Õ - Å" Å"sinÕ Å"cosÕ
"r2 "r"Õ r "Õ r2 r "r"Õ "r r "Õ2 r2 "Õ r2
"2F 2 "2F 2 "F "F sin2 Õ 1 "2F
= Å"cos2 Õ - Å" Å"sinÕ Å"cosÕ + Å" Å"sinÕ Å"cosÕ + Å" + Å" Å"sin2 Õ
"r2 r "r"Õ r2 "Õ "r r r2 "Õ2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 5 " KMBiM WILiŚ PG 1
Podobnie:
ëÅ‚ öÅ‚
"2F " "F ëÅ‚ "gð "gð cosÕ öÅ‚ëÅ‚ "F "F cosÕ öÅ‚
= = sinÕ + sinÕ += ...
( )
÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
2
"x2 "x2 ìÅ‚ "x2 ÷Å‚ ìÅ‚ "r "Õ r "r "Õ r
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"2F 2 "2F 2 "F"F cos2 Õ 1 "2F
= Å"sin2 Õ + Å" Å"sinÕ Å"cosÕ - Å" Å"sinÕ Å"cosÕ + Å" + Å" Å"cos2 Õ
"r2 r "r"Õ r2 "Õ "r r r2 "Õ2
Zatem operator Laplace a we współrzędnych biegunowych:
"2F "2F "2F 1 "F 1 "2F
"2F = + = + Å" + Å"
2 2
"x1 "x2 "r2 r "r r2 "Õ2
Równanie tarczy we współrzędnych biegunowych:
F = F r,Õ
( )  funkcja naprężeń
"4F = "2 "2F = 0
( )
ëÅ‚ "2 gð " gð "2 gð "2F r,Õ "F r,Õ "2F r,Õ öÅ‚
öÅ‚ëÅ‚
( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )
+ Å" + Å" + Å" + Å" = 0
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
"r2 r "r r2 "Õ2 Å‚Å‚íÅ‚ "r2 r "r r2 "Õ2 Å‚Å‚
íÅ‚
Uwaga: Do wyznaczenia naprężeń stycznych w ukł. biegunowym potrzebna jest również pochodna mieszana!
ëÅ‚ öÅ‚
"2F " "F ëÅ‚ "gð "gð cosÕ öÅ‚ëÅ‚ "F "F sinÕ öÅ‚
= = sinÕ + cosÕ -= ...
( )
÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
"x1"x2 "x1 ìÅ‚ "x2 ÷Å‚ ìÅ‚ "r "Õ r "r "Õ r
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"2F 1 "2F 1 "F 1 "F 1 "2F
= Å"sinÕ Å"cosÕ + Å" Å"cos 2Õ - Å" Å"cos 2Õ - Å" Å"sinÕ Å"cosÕ - Å" Å"sinÕ Å"cosÕ
"r2 r "r"Õ r2 "Õ r "r r2 "Õ2
PSN w układzie biegunowym:
Ãrr
x2
ÃÕÕ ÃÕr dÕ
naprężenia:
Ãrr  naprężenia promieniowe (radialne)
ÃrÕ
ÃÕÕ  naprężenia obwodowe (pierÅ›cieniowe)
ÃrÕ = ÃÕr  naprężenia styczne
Õ
dr
r
x1
2. Związki między składowymi stanu naprężeń w układzie prostokątnym i biegunowym
Elementarne wyprowadzenie (z równań równowagi):
Dane: Ã11, Ã22, Ã12 = Ã21
Szukane: Ãrr , ÃÕÕ , ÃrÕ = ÃÕr
x2
 powierzchnie ścianek:
ds1 = g Å" dx1 oraz: ds2 = g Å" dx2
ÃrÕ
Ãrr r
ds  powierzchnia ścianki ukośnej,
Ã11 Õ
Õ
ds2 ds1
stÄ…d:
cosÕ = sinÕ =
ds2
ds ds
Rzut na oÅ› w kierunku r :
Ã12 ds
Ãrrds = Ã11ds2 cosÕ +Ã22ds1 sinÕ +Ã21ds1 cosÕ +Ã12ds2 sinÕ
x1
Ã21ds1 Ã22
Ãrr = Ã11 cos2 Õ +Ã22 sin2 Õ +Ã21 sin 2Õ
Rzut na oś prostopadłą do kierunku r :
ÃrÕ = -Ã11 sinÕ Å"cosÕ +Ã22 sinÕ Å"cosÕ +Ã21 cos 2Õ
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 5 " KMBiM WILiŚ PG 2
Analogiczne wyprowadzenie (z równań równowagi):
x2
Dane: Ã11, Ã22, Ã12 = Ã21
r
ÃÕÕ Õ
Szukane: Ãrr , ÃÕÕ , ÃrÕ = ÃÕr
Ã12
ds2
 powierzchnie ścianek:
ÃÕr ds
ds1 = g Å" dx1 oraz: ds2 = g Å" dx2
Ã11
Õ
ds  powierzchnia ścianki ukośnej,
Ã21
ds2 ds1
stÄ…d:
cosÕ = sinÕ =
Ã22 ds ds
x1
ds1
Rzut na oś prostopadłą do kierunku r :
ÃÕÕ = Ã11 sin2 Õ +Ã22 cos2 Õ -Ã21 sin 2Õ
Niezmiennik: Ãrr +ÃÕÕ = Ã11 +Ã22 !
Rozwiązując poniższy układ trzech równań równowagi:
Å„Å‚
Ãrr = Ã11 cos2 Õ +Ã22 sin2 Õ +Ã21 sin 2Õ
ôÅ‚
1
ôÅ‚
ÃrÕ = Ã22 -Ã11 sin 2Õ +Ã21 cos 2Õ
( )
òÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚
ółÃÕÕ = Ã11 sin2 Õ +Ã22 cos2 Õ -Ã21 sin 2Õ
otrzymamy tzw. zwiÄ…zki odwrotne:
Å„Å‚
Ã11 = Ãrr cos2 Õ +ÃÕÕ sin2 Õ -ÃrÕ sin 2Õ
ôÅ‚
1
ôÅ‚
Ã12 = Ãrr -ÃÕÕ sin 2Õ +ÃrÕ cos 2Õ
( )
òÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚
ółÃ22 = Ãrr sin2 Õ +ÃÕÕ cos2 Õ +ÃrÕ sin 2Õ
Naprężenia w tarczy (w układzie biegunowym) wyznaczymy z funkcji naprężeń (jako odpowiednie pochodne
funkcji naprężeÅ„), przyjmujÄ…c element różniczkowy leżący na osi x1 , tzn. dla Õ = 0 !
x2
ÃÕÕ
ÃÕr
ÃrÕ Ãrr
dÕ x1
r
dr
"2F 1 "F 1 "2F
Ãrr = Ã11 Õ =0 = = Å" + Å"
2
"x2 Õ =0 r "r r2 "Õ2
Gdy: dÕ 0
"2F "2F
ÃÕÕ = Ã22 Õ =0 = = to: ÃÕÕ = Ã22 itd.
2
"x1 Õ =0 "r2
"2F 1 "2F 1 "F " ëÅ‚ 1 "F öÅ‚
ÃrÕ = Ã12 Õ =0 = - = - Å" + Å" = - Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
"x1"x2 Õ =0 r "r"Õ r2 "Õ "r r "Õ
íÅ‚ Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 5 " KMBiM WILiŚ PG 3