4. KOSMOLOGICZNE ROZWI
ZANIA RÓWNAC
EINSTEINA
W rozdziale  Podstawy Ogólnej Teorii Względności stwierdzono, że einsteinowskie równania pola
to w ogólności dość skomplikowany układ 10 równań różniczkowych, w których niewiadomymi są
składowe tensora metrycznego. Układ ten udało się analitycznie rozwiązać dla kilku prostych
sytuacji, w tym dla przypadku przestrzeni jednorodnie wypeÅ‚nionej materiÄ… o staÅ‚ej gÄ™stoÅ›ci Á.
Przypadek ten odpowiada właśnie kosmologii, czyli opisowi własności i ewolucji Wszechświata jako
całości.
Prawa strona równań Einsteina opisująca rozkład masy (energii) w przestrzeni  tzw. tensor
energii  pędu T  brana jest z mechaniki ośrodków ciągłych i ma w tym przypadku następującą
postać:

ÁC 0 0 0


0 -P 0 0

[T ] = (1)

0 0 -P 0



0 0 0 -P

gdzie Á to Å›rednia gÄ™stość materii we WszechÅ›wiecie, zaÅ› P to jej ciÅ›nienie (obecnie praktycznie
zaniedbywalne).
Dla określenia lewej strony równań Einsteina startuje się z interwału czasoprzestrzennego w
postaci:

DR


DS = C DT - R (T) · (2)
1 - K · R + R D + R SIN ·D


(patrz uzasadnienie w rozdziale o interwałach w przestrzeniach o różnej krzywiz
nie).
Przypominamy, że to tzw. czynnik skalujący odległości przestrzenne, zaś K charakteryzuje typ
krzywizny przestrzeni: K = 0 odpowiada przestrzeni euklidesowej, K =+1 przestrzeni o geometrii
typu sferycznego, zaÅ› K =-1 geometrii typu hiperbolicznego.
Z formuły (2) mamy więc składowe w postaci:
R
G = 1 G =- G =-RR G =-RR SIN .
1 - K ·R
Podstawową naszą niewiadomą jest jawna postać zależności RT). Lewa strona równań Einsteina to
(
dość skomplikowane funkcje pochodnych tensora Wstawiając tam zapisane powyżej wielkości na
G G G G otrzyma się po dość długich przekształceniach układ dwóch równań w postaci:
1 D R 1 DR K ·C 8Ä„G
2 ++ + P = 0 (3)

R DT R DT R C
1 DR K ·C 8Ä„G
+ - ÁC = 0 (4)

R DT R 3C

(w dalszym ciągu będziemy używali przyjętego powszechnie skrótowego oznaczenia R := DR DT.
Równanie (4) można łatwo przekształcić do postaci:

R 4Ä„R Á K ·C
-G =- (5)
23R 2
Ponieważ jednak 4Ä„R 3 =V to wielkość o wymiarze objÄ™toÅ›ci, zaÅ› ÁV = M ma wymiar masy,
więc (5) można (po wymnożeniu stronami przez dowolną jednostkową masę M = 1) zapisać:

MR G · MM K ·MC
-=-= CONST (6)
22
R
Równanie to przypomina formalnie znany z mechaniki klasycznej bilans energii kinetycznej i
potencjalnej cząstki M w polu grawitacyjnym masy M gdyż pierwszy z lewej wyraz w (6) to jakby
energia kinetyczna, zaÅ› drugi to energia potencjalna.
Skorzystamy też z prawa zachowania masy w ekspandującym obszarze o promieniu R (warunek
ciÄ…gÅ‚oÅ›ci): ÁV = M = CONST lub ÁR = CONST lub:
R
Á(T) = Á (7)
R (T)
gdzie indeks 0 odnosi siÄ™ do dowolnej (np. obecnej) chwili T .
Rozpatrzmy teraz poszczególne przypadki rozwiązania równania (5).
I. K = 0 (przestrzeń globalnie euklidesowa)
Tutaj prawa strona w (5) równa siÄ™ zero, po lewej zaÅ› stronie wielkość Á zastÄ™pujemy zależnoÅ›ciÄ…
(7). Otrzymujemy proste równanie różniczkowe:
AC

R = (8)
R
gdzie
8Ä„G
A = Á R
3C
zawiera wszystkie wielkości stałe. Rozwiązanie równania (7) ma postać
3
RT) = AC ·T = (6Ä„GÁ R ) ·T (9)
(

2
Zależność tempa ekspansji od czasu wyrazi się:
2

RT) = (6Ä„GÁ R ) ·T (10)
(
3
i zmierza do zera gdy T ". Natomiast tzw. parametr Hubble a:

R 2
H(T) = = (11)
R 3T
też zmierza z czasem do zera. Korzystając z otrzymanych powyżej rezultatów można też wyrazić
zależność od czasu średniej gęstości materii:
3H 1
Á(T) = := Á = (12)
8Ä„G 6Ä„GT
Jest to tzw.  gęstość krytyczna charakterystyczna właśnie dla wszechświata o geometrii
euklidesowej. Dla gęstości mamy bowiem przestrzeń o geometrii typu sferycznego z K =+1
zaś dla przestrzeń ma geometrię hiperboliczną z K =-1.
II. K =+1 (geometria typu sferycznego)
W tym przypadku równanie (5) po podstawieniu (7) jest w postaci:

R 4Ä„GÁ R C
-=- (13)
23R 2
W postaci całkowej wygląda to następująco:
R
DR = C DT = CT (14)

A - R
gdzie, jak poprzednio podstawiono
8Ä„G
A = Á R .
3C
Dla rozwiÄ…zania (14) dokonuje siÄ™ podstawienia:

R = A SIN (15)
2
gdzie to bezwymiarowy parametr pomocniczy.
Wówczas zależność RT) otrzymujemy w postaci parametrycznej:
(
4Ä„GÁ R
R( ) = (1 - COS )
3C
(16)
4Ä„GÁ R
T( ) = ( - SIN )
3C
W chwili początkowej, dla = 0 i T = 0 mamy R(0) = 0 (początkowa osobliwość).
Wartości = Ą odpowiada maksymalna wartość czynnika R = R :
8Ä„GÁ R
R ( = Ä„) = (17)
3
Odpowiada to czasowi T:
4Ä„ GÁ R
T( ) = (18)
3C
Następnie, dla 2Ą > > Ą wielkość RT) maleje (Wszechświat kurczy się) i osiąga znów
(
osobliwość dla = 2Ą (ilustruje to rysunek na końcu tego rozdziału).
III. K =-1 (geometria hiperboliczna)
W tym przypadku równanie (4) jest podobne do (13) z drobną (lecz istotną) zmianą znaku po
prawej stronie:

R 4Ä„GÁ R C
-=+ (19)
23R 2
zaś równanie (14) też jest podobne, z drobną różnicą znaku pod pierwiastkiem:
R
DR = C DT = CT (20)

A + R
Tu także dokonuje się podstawienia (lecz z sinusem hiperbolicznym):

R = A SINH (21)
2
i otrzymuje siÄ™ rozwiÄ…zania w postaci:
A
R( ) = [COSH( ) - 1]
2
(22)
A
T( ) = [SINH( ) - ]
2C
Tu także w chwili początkowej = 0 (oraz T = 0) mamy osobliwość w postaci
Natomiast już dalsza ekspansja RT) jest nieodwracalna (narastająca).
(
Graficznie zależność RT) dla wszystkich trzech omówionych przypadków ilustruje poniższy
(
rysunek.
R(t)
0
t
Jak widać, wszystkie trzy rozwiązania zbiegają się w początkowej osobliwości RT = 0) = 0. W
(
jej pobliżu nie można już zaniedbywać ciśnienia ośrodka, który przy tych gęstościach i temperaturach
jest już ultra  relatywistycznym gazem. Prześledzimy więc zachowanie się rozwiązań w tych
warunkach.
Wychodzimy ze znanej postaci I. zasady termodynamiki (dla ekspansji adiabatycznej):
DE + PDV = 0 (23)
gdzie energia oÅ›rodka E = V = ÁC R (zaÅ› = ÁC to gÄ™stość energii). Równanie stanu gazu dla
relatywistycznego przypadku ma postać
1
P = (24)
3
Wstawiając powyższe podstawienia do (23), różniczkując i porządkując otrzymamy:
D DR
=-4 (25)
R
czyli R = CONST. Zamiast równania (7) mamy więc teraz:
Á R
Á = (26)
R
TakÄ… wÅ‚aÅ›nie postać na Á musimy teraz wstawić do równania (4). Otrzymamy wówczas:
8Ä„GÁ R

R + K ·C = (27)
3R
Dla przypadku K = 0 po prostym wycałkowaniu otrzymamy

32Ä„GÁ R T
RT) = (28)
(


3

Dla pozostałych dwóch przypadków podobnie otrzymuje się w pobliżu osobliwości zależność typu:
RT) CONST·T (29)
(
Jest to bardzo ważna zależność, która przyda nam się przy opisie wczesnych etapów ewolucji
wszechświata. Odnotujmy tu jednak, że uwzględnienie ciśnienia gazu nie chroni rozwiązań
kosmologicznych przed osobliwością w chwili T = 0.
prof. Jerzy Sikorski