Algebra liniowa z geometri¸ analityczn¸
a a
Lista 1: Dzia wewn¸
lania etrzne. Grupy. Permutacje.
1. Narysować tabelk¸ dzia w zbiorze A = {0, 1, 2, 3, 4}, zdefiniowanego wzorem:
e lania
a · b = reszta z dzielenia liczby 2a - 3b przez 4 (dla dowolnych a, b " A).
2. Sprawdzić, czy dzia · w zbiorze A (1) jest przemienne, (2) ma element neutralny, (3)
lanie
jest laczne, jeśli:
¸

0 gdy a + b jest liczb¸ parzyst¸
a a,
a) A = Z, a · b = dla dowolnych a, b " A.
1 gdy a + b jest liczb¸ nieparzyst¸
a a
b) A = R2, (x1, x2) · (y1, y2) = (x1 + y1, x2 - y2) dla dowolnych (x1, x2), (y1, y2) " R2.
3. Ile różnych dzia można określić w zbiorze zawierajacym:
laÅ„ ¸
a) jeden element, b) n elementów?
Ile jest takich dzia które dodatkowo s¸ przemienne?
lań, a
4. Podać przyk dzia w zbiorze A = {a, b, c}, które
lad lania
a) jest przemienne ale nie jest laczne,
¸
b) jest laczne ale nie jest przemienne,
¸
c) jest przemienne i laczne,
¸
d) nie jest przemienne i nie jest laczne,
¸
e) ma element neutralny i jest przemienne,
f) ma element neutralny i nie jest przemienne,
g) ma element neutralny i każdy element posiada odwrotność.
5. Niech G bedzie zbiorem wszystkich funkcji f : R R postaci f(x) = ax+b, gdzie a, b " R

i a = 0.

a) Udowodnić, że G ze sk laniem
ladaniem funkcji jako dzia tworzy grupe.

b) W grupie G obliczyć (5x + 3)-1 ć% (3x + 2).
6. W zbiorze G = {r " R : 0 d" r < 1} określono dzia
lanie

r1 + r2 jeżeli r1 + r2 < 1
r1 · r2 =
r1 + r2 - 1 jeżeli r1 + r2 e" 1
a) Udowodnić, że G z dzia · tworzy grupe.
laniem

3
b) W grupie G obliczyć · (5)-1.
4 9
7. Dla permutacji à = (1 2 3 4 5 6) i Ä = (1 2 3 4 5 6) obliczyć:
3 4 2 5 6 1 2 6 5 4 3 1
a) ÃÄ, b) ÄÃ, c) Ã4, d) Ä-1, e) Ã-3Ä2Ã2, f) Ä2008.
8. Poniższe permutacje zapisać w postaci iloczynu (1) cykli roz acznych, (2) transpozycji:
l¸
a) (1 2 3 4 5 6 7), b) (1 2 3 4 5 6 7 8), c) (1 2 3 4 5 6 7), d) (1 2 3 4 5 6 7 8 9).
3 5 6 7 4 1 2 1 8 7 6 3 4 5 2 6 5 7 2 1 3 4 4 7 2 8 9 1 6 3 5
9. Niech à = (1 2 3 4 5 6 7 8 9). Wyznaczyć permutacje Ä zbioru {1, 2, . . . , 8, 9} taka, że
4 7 6 5 1 9 2 3 8

Ã-26ÄÃ = (1 2 3 4 5 6 7 8 9).
9 1 4 2 6 5 3 8 7
10. Określić parzystość permutacji:
a) (1 2 3 4 5 6 7), b) (1 2 3 4 5 6 7 8), c) (1 2 3 4 5 6 7),
5 6 4 7 2 1 3 3 5 2 1 6 4 8 7 2 4 1 7 6 5 3
d) (1 2 3 ... n-2 n-1 n), e) (1 2 3 4 ... n-1 n).
n n-1 n-2 ... 3 2 1 n 1 n-1 2 ... ... ...
11. Niech (G, ·) b¸ grup¸ z elementem neutralnym e tak¸ że a2 = e dla każdego a " G.
edzie a a,
Pokazać, że G jest grup¸ abelow¸
a a.
12. Niech · b¸ dzia w zbiorze liczb rzeczywistych R takim, że
edzie laniem
(a · b) · c = a + b + c dla dowolnych liczb a, b, c " R.
Udowodnić, że dzia · jest zwyk dodawaniem, tzn. a·b = a+b dla dowolnych a, b " R.
lanie lym