Wytrzymałość
Wytrzymałość
materiałów
materiałów
Hipotezy wytrzymałościowe
Hipotezy wytrzymałościowe
1
1
Podstawy wymiarowania
Podstawy wymiarowania
w stanie granicznym nośności
w stanie granicznym nośności
Wymiarowanie konstrukcji polega na doborze wymiarów i kształtu
przekrojów elementów.
Podstawą doboru jest porównanie:
wytrzymałość materiału - naprężenie zredukowane
lub
nośność przekroju - sił wewnętrzne
W stanie granicznym korzystamy z wielkości obliczeniowych.
Rk
Obliczeniowa wytrzymałość materiału
R =
łm
gdzie: Rk - wytrzymałość charakterystyczna,
łm - współczynnik bezpieczeństwa (łme"1.0) a R d" Rk
Podstawy wymiarowania
Podstawy wymiarowania
w stanie granicznym nośności
w stanie granicznym nośności
Wymiarowanie konstrukcji polega na doborze wymiarów i kształtu
przekrojów elementów.
Podstawą doboru jest porównanie:
wytrzymałość materiału - naprężenie zredukowane
lub
nośność przekroju - sił wewnętrzne
Naprężenia (lub siły wewnętrzne) są wywołane zewnętrznymi
obciążeniami obliczeniowymi
Obciążenie obliczeniowe F = ł Fk
f
gdzie: Fk  obciążenie charakterystyczne,
łf - współczynnik bezpieczeństwa (łfe"1.0) a F e" Fk
Naprężenia zredukowane
Naprężenia zredukowane
Naprężenie zredukowane jest to naprężenie normalne zastępcze, które
może być porównywane z wytrzymałością materiału w stanie
jednoosiowego rozciągania. Naprężenie zredukowane zależy od
wszystkich składowych tensora naprężeń:
(
�red = f �xx,�yy,�zz, �xy,�xz, �zy )
lub
�red = f (�11,�22,�33)
�11,�22,�33 - naprężenia główne.
Naprężenia zredukowane (zastępcze) są wyznaczane na podstawie
hipotez, nazywanych hipotezami wytrzymałościowymi.
Hipotezy wytrzymałościowe
Hipotezy wytrzymałościowe
Naprężenia mogą tworzyć osie układu współrzędnych.
Hipotezy wytrzymałościowe, opisują funkcje powierzchni granicznych,
ograniczających obszary, w których nie występuje przekroczenie
wytrzymałości materiału.
wytrzymałości materiału.
�11,�22,�33
- naprężenia główne.
Hipoteza największego naprężenia
Hipoteza największego naprężenia
normalnego
normalnego
Hipoteza największego naprężenia rozciągającego jest pierwszą
hipotezą podaną przez Galileusza.
Hipoteza największego naprężenia normalnego
Według tej hipotezy, opracowanej przez Lamego i Rankine a, naprężenia
Według tej hipotezy, opracowanej przez Lamego i Rankine a, naprężenia
nie niszczące muszą spełniać następujące warunki:
Rc < �11 < Rr
Rc < �22 < Rr
Rc < �33 < Rr
Hipoteza największego naprężenia
Hipoteza największego naprężenia
normalnego
normalnego
Powierzchnie graniczne:
Stan płaski naprężenia
Przestrzenny
stan naprężenia
Wadą hipotezy jest zaniedbanie sytuacji, gdy naprężenia normalne są
mniejsze niż styczne, które przyjmują wartość maksymalną i są
większe od wytrzymałości materiału na ścinanie.
Hipoteza największego naprężenia
Hipoteza największego naprężenia
stycznego (Coulomba-Treski)
stycznego (Coulomba-Treski)
Według tej hipotezy, opracowanej przez Coulomba i Treskę, o
zniszczeniu materiału decyduje przekroczenie wytrzymałości materiału
przez naprężenia styczne, wytrzymałości materiału na rozciąganie i
ściskanie są sobie równe.
Rr = Rs = R
Maksymalne naprężenia styczne przy jednoosiowym rozciąganiu
wynoszą:
�11
�max =
2
natomiast według hipotezy powinny spełniać warunek:
R R
- < �max <
2 2
Hipoteza największego naprężenia
Hipoteza największego naprężenia
stycznego (Coulomba-Treski)
stycznego (Coulomba-Treski)
W przestrzennym stanie naprężeń hipoteza opisana jest zależnościami:
- R < �11 - �22 < R
- R < �22 - �33 < R
- R < �11 - �33 < R
W płaskim stanie naprężeń hipoteza opisana jest zależnościami:
- R < �11 - �22 < R
- R < �22 < R
- R < �11 < R
Hipoteza największej energii
Hipoteza największej energii
odkształcenia postaciowego
odkształcenia postaciowego
Hipoteza ta została opracowana przez Hubera i Misesa. Według tej
hipotezy wytężenia w przypadku złożonego stanu naprężeń i przy
rozciąganiu jednoosiowym będą jednakowe, jeżeli odpowiednie wartości
jednostkowej energii odkształcenia w tych stanach będą sobie równe.
Na podstawie tej hipotezy naprężenia zredukowane wynoszą:
1
2 2 2
�red = (�11 - �22) + (�33 - �22) + (�11 - �33)
2
lub
1
2
�red = ( - �yy 2 + �zz - �yy 2 + (�xx - �zz ) + 6(�2 + �2 + �2 )
�xx ) ( )
xy yz xz
2
Hipoteza największej energii
Hipoteza największej energii
odkształcenia postaciowego
odkształcenia postaciowego
Naprężenia zredukowane w płaskim stanie naprężeń:
2
�red = �11 + �2 - �11�22
22
lub
lub
�red = �2 + �2 - �xx�yy + 3�2
xx yy xy
W przypadku elementów prętowych:
�red = �2 + 3�2
xx xy
Hipoteza Hubera-Misesa
Hipoteza Hubera-Misesa
w spoinach - przykład
w spoinach - przykład
Dwie blachy są ze sobą połączone
spoiną czołową. Wyznaczyć
naprężenia zredukowane w spoinie.
Założono, że blacha pionowa jest
nieskończenie sztywna czyli blacha pozioma
jest sztywno zamocowana i tworzy wspornik
z siłami wewnętrznymi pokazanymi na
wykresach.
Hipoteza Hubera-Misesa
Hipoteza Hubera-Misesa
w spoinach - przykład
w spoinach - przykład
Wykresy naprężeń przy
mocowaniu w pręcie:
2
h h 0.05m �"(0.1m)
\
(0)= b = = 62.5�"10-6 m3
2 4 8
3
bh3 0.05m �"(0.1m)
J = = = 416.67 �"10-8 m4
12 12
M =1kNm
J 416.67 �"10-8m4
W = = = 83.33�"10-6 m3
T = 1kN
0.5�" h 0.5�"0.1m
Mymax M
�max = = =
J W
1kNm
T\
(0) 1kNm �"62.5�"10-6 m3
= = 12000.48kPa
�max = = = 300kPa
83.33�"10-6 m3
Jg 416.67 �"10-8m4 �"0.05m
Hipoteza Hubera-Misesa
Hipoteza Hubera-Misesa
w spoinach - przykład
w spoinach - przykład
Wykresy naprężeń w spawie:
M =1kNm
T = 1kN
J = 416.67 �"10-8 m4
J = 416.67 �"10-8 m4
W = 83.33�"10-6 m3
Spaw nie jest belką, poddaną działaniu zginania. Jest to krótki fragment na
który działa siła tnąca i w takim przypadku naprężenia styczne są równe:
T 1kNm
�max = �xy = = = 200kPa
bh 0.1m �"0.05m
Natomiast naprężenia normalne rozkładają się tak samo jak w belce:
Mymax M 1kNm
�max = = = = 12000.48kPa
J W 83.33�"10-6 m3
Hipoteza Hubera-Misesa
Hipoteza Hubera-Misesa
w spoinach - przykład
w spoinach - przykład
Maksymalne
wartości naprężeń
w spoinie:
�max = �xy = 200kPa
�max = �xx = 12000.48kPa
Zgodnie z hipotezą Hubera-Misesa:
�red = �2 + 3�2
xx xy
2 2
�red = (12000.48kPa) + 3�"(200kPa) =12005.48kPa < 0.6�"210000kPa = 126000kPa
Rdop = 0.6�"205000kPa = 123000kPa
Dla stali S235:
�red < Rdop
Koniec
Koniec