1. Które z oddziaływań fundamentalnych powodują występowanie siły tarcia: grawitacyjne,
elektromagnetyczne, jądrowe silne, jądrowe słabe.
2. Które zjawiska fundamentalne występują podczas przyciągania się 2 cząstek kryształu 
oddziaływania elektromagnetyczne.
3. Dlaczego III Prawo dynamiki Newtona (akcji i reakcji) nie jest zawsze spełnione w
mechanice relatywistycznej  Zasada ta zakłada, że siły rozchodzą się w przestrzeni z
nieskończoną prędkością, co jest wystarczającym przybliżeniem w mechanice
klasycznej. Jednak wszystkie siły rozchodzą się ze skończoną prędkością nie
przewyższającą prędkości światła.
4. Zależność między wartością kąta padania ą i załamania � światła na granicy ośrodków, gdy
fala przechodzi z ośrodka o współczynniku załamania n1 do - n2.  n1siną � (v2siną=
ą= n2sin�
ą �
ą �
v1sin�)
5. y
ródła pola elektrycznego (r-nie Maxwella)  zmienne w czasie pole magnetyczne (prawo
Faradaya) i ładunek elektryczny (prawo Gaussa):
"B
" � E = - ; " �" D = q
"t
6. Prawa dynamiki Newtona spełnione w przypadku relatywistycznym:
I - gdy na ciało nie działają żadne inne ciała, pozostaje ono w spoczynku lub porusza się
ruchem jednostajnym prostoliniowym względem układów inercjalnych.
F = 0 �! v = 0 (" v = const
II  siła relatywistyczna jest pochodną pędu relatywistycznego względem czasu własnego
d p m0
obserwatora F = ; p = v , m0  masa spoczynkowa
dt
1- v2 c2
7. Zgodnie z mechaniką relatywistyczną czas trwania zjawiska w układzie własnym (w
którym obiekt jest nieruchomy) jest: dłuższy lub taki sam; krótszy lub taki sam; taki sam,
jak zmierzony w układzie poruszającym się względem układu własnego.
8. Prawa Maxwella  Faradaya, zmodyfikowane prawo Ampere a, Gaussa dla elektryczności,
Gaussa dla magnetyzmu:
"B dŚB
" � E = - ; �" dl = -
+"E
"t dt
L
"D dŚD
" � H = j + ; �" dl = I +
+"H
"t dt
L
" �" D = q; �" d s = q
+"D
S
" �" B = 0; �" d s = 0
+"B
S
E - natężenie pola elektrycznego, H - natężenie pola magnetycznego, D - indukcja
elektryczna, B - indukcja magnetyczna, j - gęstość prądu, q - gęstość ładunku, "�" - operator
dywergencji, "x  operator rotacji
9. Dwa zdarzenia zaszły w tym samym miejscu w różnych chwilach czasu. Czy istnieje układ
odniesienia, w którym oba zdarzenia zaszły w tej samej chwili czasu  nie
10. Przechodząc z ośrodka 1 do 2 fala uległa na granicy takiemu załamaniu, że kąt załamania
jest mniejszy od kąta padania. Jej prędkość fazowa uległa w drugim ośrodku 
zmniejszeniu.
siną v1
= , siną > sin � �! v1 > v2
sin � v2
1
11. Wartość energii poruszającego się fotonu  E=p�" (p-pęd); E=h�"� (�-częstość
�"c �"�
�" �"�
�" �"�
promieniowania, h-stała Plancka)
12. Rotacja gradientu dowolnej funkcji. Rotacja wektora jest wektorem.
" �(" �"�) = 0
13. y
ródła pola magnetycznego (r-nie Maxwella)  zmienne pole elektryczne, przepływający
prąd (prawo Ampere a)
"D
"� H = j +
"t
14. Jaka prędkość może być większa od prędkości światła - Zgodnie ze szczególną teorią
względności nic posiadającego energię nie może się poruszać szybciej niż światło w
próżni. W ośrodku materialnym cząstka może poruszać się szybciej niż światło w tym
ośrodku tzw. efekt Czerenkowa dla ośrodka o współczynniku załamania n>1.
15. Dywergencja jest: wektorem, skalarem, tensorem. Dywergencja rotacji wektora:
" �"(" � v) = 0
16. Dwie fale są spójne (koherentne), gdy: mają taką samą amplitudę, są współliniowe,
interferują ze sobą, mają tę samą polaryzację.
17. Interferencja - nakładanie się fal. Zachodzi, gdy fale są spójne. Różnica faz fal, musi
być stała w czasie. Takie fale to fale spójne.
18. Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia zachodzi, gdy kąt padania jest: większy od
kąta granicznego, równy kątowi granicznemu, mniejszy od kąta granicznego oraz gdy
światło pada z ośrodka o: mniejszym współczynniku załamania, większym
współczynniku załamania.
19. Siła działająca na ładunek q poruszający się z prędkością v w polu elektrycznym o
natężeniu E, jest: || do kierunku v, Ą" do kierunku v, niezależna od kierunku v:
F = q �" E
20. Równanie falowe dla wektora natężenia pola elektrycznego fali elektromagnetycznej
poruszającej się w próżni:
"2E "2E "2E 1 "2E 1
+ + - = 0; c =
"x2 "y2 "z2 c2 "t2
�0�0
21. Pęd fotonu o energii E: p=E/c (c  prędkość światła)
22. Różnica między zjawiskiem Dopplera dla fal dz
więkowych i świetlnych: dla światła nie
jest istotne czy porusza się obserwator czy z
ródło fali; podczas oddalania się z
ródła dla
światła rośnie częstotliwość a dla dz
więku maleje; dla światła efekt jest zaniedbywanie
mały; dla światła efekt występuje również, gdy z
ródło się nie oddala a tylko przesuwa
poprzecznie do obserwatora; nie ma różnic.
23. W dielektrykach (D=�0�E) różna od 1 względna przenikalność elektryczna jest wynikiem:
� �
� �
� �
występowania pola magnetycznego w atomach i cząsteczkach; pojawiania się dipoli
elektrycznych pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego; relatywistycznej
transformacji ładunków elektrycznych.
24. Relatywistyczna wartość energii kinetycznej:
m0c2
Ek = - m0c2 = mc2 - m0c2
v2
1-
c2
25. Zasada zachowania pędu wynika z własności symetrii przestrzeni: jednorodności ze
względu na przesunięcie (translację); jednorodności ze względu na upływ czasu;
jednorodności ze względu na obrót (izotropowość przestrzeni), jednorodności rozkładu
masy w przestrzeni.
2
Symetria względem przesunięć w przestrzeni ma związek z zasadą zachowania pędu, symetria
względem obrotów w przestrzeni - z zasadą zachowania momentu pędu, a symetria względem
przesunięć w czasie z zasadą zachowania energii.
jednorodność przestrzeni - wszystkie prawa fizyki są takie same we wszystkich położeniach w
przestrzeni, czasu - żadne prawa fizyki nie zmieniają się w czasie.
26. Faza fali kulistej (sferycznej)
i(� t ą (kx x+ ky y+ kz z))
faza fali płaskiej: i(� t ą k x)
faza fali cylindrycznej: i(� t ą k �)
27. Siła przyciągania się dwóch atomów F w funkcji odległości r
28. Na ciało o masie spoczynkowej m działa stała siła F. Jak zmienia się przyspieszenie tego
ciała w funkcji czasu w przypadku relatywistycznym.
brak
3
4
29. Jak szybko musi poruszać się cząstka, której czas życia �=1s, aby dotrzeć na odległość
x=4�"108m?
"t0
"t = ł �" "t0 =
v2
1-
c2
x � x2
2
"t0 = � oraz v = �! "t = �! "t = � +
"t c2
x2
1-
"t2c2
x x 12
v = = = �"108[m s]
"t
x2 5
2
� +
c2
30. Obiekt porusza się względem układu (x ,t ) z prędkością v w kierunku osi y . Ile wynosi
prędkość tego obiektu w układzie (x,t)? Układy (x,t) i (x ,t ) oddalają się od siebie z
prędkością v0 wzdłuż osi x.
v0, vx =0, vy =v , vx=?, vy=?
v
dt - dx
dx - vdt
c2 ;
dx'= ; dy'= dy; dz'= dz; dt'=
v2 v2
1- 1-
c2 c2
v2 v2 v
dx = dx' 1- + vdt �! dt = dt' 1- + dx �! dx = ł (dx'+vdt')
c2 c2 c2
v2 v v2 v
�łdt'+ dx'�ł
dt = dt' 1- + dx �! dx = dx' 1- + vdt �! dt = ł
�ł �ł
c2 c2 c2 c2 łł
�ł
składowe prędkości w układzie (x,t):
'
dx ł (dx'+v0dt') dx'+v0dt' dx' dt' + v0 vx + v0
vx = = = = = = v0
v0
dt �łdt'+ dx'�ł dt'+ v0 dx' 1+ v0 dx' dt' 1+ v0 vx
'
ł
�ł �ł
c2 c2 c2
c2 łł
�ł
2
v' v'
dy dy' dy' dt' v0
y y
vy = = = = = = v' 1-
v0 v0 dx v0 '
dt �łdt'+ dx'�ł ł �ł1+ '�ł ł �ł1+ vx �ł ł c2
ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
c2 łł �ł c2 dt' c2 łł
�ł łł �ł
2
�ł �ł
�łv0;v' 1- v0 �ł
v =
�ł
c2 �ł
�ł łł
31. Tyczka ma długość L=10m. Tyczkarz porusza się z prędkością v=0,6c. Czy zostanie
 zamknięty w stodole długości h=6m? Jaka jest najmniejsza prędkość tyczkarza, aby to
się zdarzyło
Nieruchomym dla tyczki układem jest układ związany z tyczkarzem (tu jest najdłuższa),
ruchomym - ze stodołą: L0=L=10m, v=0,6c, h=6m
v2
L0 = łL'�! L'= L0 �" 1-
c2
2
(0,6c)
�! L'= 10 1- = 8 > h = 6 nie zostanie  zamknięty
c2
5
2 2
2
�ł �ł �ł �ł
L' h 6
�ł �ł
�! vmin = c 1- �ł �ł
= c 1- �ł �ł
= c 1- �ł �ł
= 0,8c
�ł �ł �ł �ł
L0 L0
�ł10 łł
�ł łł �ł łł
32. Jaką częstotliwość ma fala elektromagnetyczna, jeśli w ośrodku o współczynniku
załamania n=2 ma długość =1m
z prawa załamania światła: v=c/n
v v c 3�"108
 = �! f = = = = 1,5�"108[Hz]
f  n 2 �"1
f  częstotliwość, v  prędkość rozchodzenia
33. Obserwator zauważył, że 2 zdarzenia zaszły w tym samym miejscu w odstępie czasu
"t=1s. W jakiej odległości od siebie zaszły te zdarzenia w układzie poruszającym się z
prędkością v=0,8c
v
t - x
x - vt
c2 ;
x'= ; y'= y; z'= z; t'=
v2 v2
1- 1-
c2 c2
'
xA = xB; tA - tB = "t; x' - xB = ?
A
' '
xA = ł (xA - vtA); xB = ł (xB - vtB)
'
�! x' - xB = ł[xA - xB - v(tA - tB)]= -łv"t
A
v"t 0,8c �"1 4
' '
xA - xB = - = - = - [m]
2
3
v2
(0,8c)
1-
1-
c2
c2
34. Obserwator zauważył, że 2 zdarzenia odległe o "x=1m zaszły jednocześnie. Ile sekund
wcześniej zaszło jedno ze zdarzeń w układzie poruszającym się z prędkością v=0,8c
' '
xA - xB = "x; tA = tB; tA - tB = ?
v v
�łt �ł; t �łt �ł
' '
tA = ł - xA B = ł - xB
�ł �ł �ł �ł
A B
c2 c2
�ł łł �ł łł
v v
�łt
' '
�! tA - tB = ł - tB - (xA - xB)łł = -ł "x
A
�ł śł
c2 c2
�ł �ł
v 0,8c
"x �"1
' '
c2 = - c2 = - 4 -0,4(4)�"10-8[s]
tA - tB = - [s]=
2
3c
v2
(0,8c)
1-
1-
c2
c2
35. Jaką prędkość ma z
ródło światła, jeżeli częstotliwość wysyłanej przez nie fali jest
odbierana jako 2x większa.
Jeżeli częstotliwość fali odbieranej jest większa od emitowanej �! zbliżanie się z
ródła
(zjawisko Dopplera)
1+ � 1+ � 1+ �
f = f0 = 2 �" f0 �! = 2 �! = 4
1- � 1- � 1- �
v 3
� + 4� = 4 -1 �! = �! v = 0,6c
c 5
6
36. Na ciało działa siła F=3N w kierunku nachylonym o kąt 30� w stosunku do osi x. Ile
wynosi ta siła mierzona w układzie poruszającym się z prędkością v=0,5c
Fx = F cosą = 3�" 3 2 H" 2,598
Fy = F siną = 3�"1 2 = 1,5
Fz = 0
1 1 2 3 v 1
ł = = = ; � = =
2
1- v2 c2
1- (0,5c) c2 3 c 2
czterowektor siły-mocy:
F = [Fx, Fy, Fz,0]=[3 3 2; 3 2; 0, 0]
ł 0 0 ił� Fx ł �" Fx
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł śł �łF śł �ł
0 1 0 0 Fy śł
y
�ł śł �ł śł �ł śł
F'= �" =
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 1 0 0 0
�ł- ił� 0 0 ł śł �ł śł �ł- ił� �" Fx śł
0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł łł
Fx Fx �" v
F'= �ł , Fy,0,-i śł
�ł 1- v2 c2 c �" 1- v2 c2 �ł
śł
�ł
2 3 3 3
Fx' = �" = 2
3 3
Fy' = 1,5
Fz' = 0
2 3 0,5c 3 3
Ft' = - �" �" = -1
3 c 3
F'= [2; 3 2; 0, i(-1)]
37. Zdarzenie A ma współrzędne x=1m, t=15s, natomiast zdarzenie B ma współrzędne
x=107m, t=10s. Czy istnieje układ, w którym te zdarzenia zachodzą (a) w tej samej chwili
czasu (b) w tym samym miejscu.
xA=1, tA=15, xB=107, tB=10; "x= xA- xB=-9999999, "t= tA- tB=5
' ' ' '
a) "x'= xA - xB `" 0; "t'= tA - tB = 0
v v v
�łt �łt �łt
' '
tA = ł - xA �ł; tB = ł - xB �ł �! "t'= ł - tB - (xA - xB)łł = 0
�ł �ł �ł �ł
A A
�ł śł
c2 łł �ł B c2 łł c2
�ł �ł �ł
tA - tB 5 2
�! v = c2 = -c2 H" -5 �"10-7 �"(3�"108) = -45 �"109[m s]> c
xA - xB 9999999
v = 45�"109[m s]> c = 3�"108[m s]
Nie istnieje.
' ' '
b) "x'= x' - xB = 0; "t'= tA - tB `" 0
A
' '
xA = ł (xA - vtA); xB = ł (xB - vtB)�! "x' = ł[xA - xB - v(tA - tB)]= 0
xA - xB - 9999999
�! v = = H" -2 �"106[m s]
tA - tB 5
Istnieje, porusza się z prędkością 2000000 m/s (zwrot przeciwny do zwrotu osi x)
38. Natężenie pola magnetycznego wokół prostoliniowego przewodnika z prawa Ampera
(wartość i kierunek)
7
prawo Ampere a: �" dl = �0i
+"B
L
Ze względu na symetrię problemu:
- Linie sił pola magnetycznego tworzą w płaszczyz
nie prostopadłej do przewodnika okręgi
koncentryczne o środkach leżących na przewodniku.
- Wartość indukcji magnetycznej B jest stała na danym okręgu.
Kierunki wektorów B i dl pokrywają się ze styczną do okręgu. Kąt między wektorami B i dl
jest równy 0, więc iloczyn tych wektorów równy jest iloczynowi ich modułów
B �" dl = B �" dl �" cos0 = Bdl .
�0i
+"B �" dl = +"B �" dl = B+"dl = B �" 2Ąr = �0i �! B = 2Ąr
L L L
B i
H = =
�0 2Ąr
Kierunek wektora natężenia pola magnetycznego jest zgodny z kierunkiem wektora indukcji
magnetycznej.
39. Obliczyć wartość natężenia pola elektrycznego i wartość potencjału elektrycznego w
odległości r od prostej jednorodnie naładowanej ładunkiem elektrycznym o gęstości
liniowej .
q
Prawo Gaussa: �" d s = Q �! �" d s =
+"D +"E �0
S S
Całkowity strumień pola wektorowego, przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą
jest proporcjonalny do z
ródła tego pola zamkniętego wewnątrz tej wybranej powierzchni.
Ze względu na symetrię problemu jako powierzchnię gaussowską wybieramy powierzchnię
walca o promieniu r i wysokości h. Pole E wytworzone przez prostą musi być ze względu na
symetrię zagadnienia polem wektorowym osiowym. Na powierzchni bocznej walca wartość E
jest więc stała oraz kąt między wektorami E i ds jest równy 0, więc iloczyn tych wektorów
równy jest iloczynowi ich modułów.
Wartość strumienia E przez podstawy walca jest równa 0 (EĄ"ds).
+"E �" d s = +"E �" ds = E+"ds = E2Ąrh
S S S
A
adunek zamknięty wewnątrz walca:
q =  �" h
h 
E2Ąrh = �! E =
�0 �02Ąr
Potencjał:
  1 
E = -"V �! V = - = - dr = - - ln r + V0
+"Edr +"� 2Ąr dr = - 2�0Ą +"
r 2�0Ą
0
8
9
WZORY
v2 v
ł = 1 1- e" 1; � = d" 1;
c2 c
(x,t)  układ w spoczynku, (x ,t )  w ruchu (v wzdłuż x)
L0, "t0, m0  w spoczynku (układ własny)
Transformacja współrzędnych
v
�łt
x'= ł (x - vt); y'= y; z'= z; t'= ł - x�ł;
�ł �ł
c2 łł
�ł
v
�łdt
dx'= ł (dx - vdt); dy'= dy; dz'= dz; dt'= ł - dx�ł;
�ł �ł
c2 łł
�ł
Dylatacja czasu różnica w pomiarze czasu w 2 układach:
"t = ł �" "t0 - najkrótszy w nieruchomym
Kontrakcja przestrzeni = skrócenie długości
L0 = ł �" L - najdłuższy, w którym jest nieruchomym
Zależność masy od prędkości:
m = łm0
Macierz transformacji Lorenza dla czterowektora (ruch układu wzdłuż x):
ł 0 0 ił�
�ł łł
�ł śł
0 1 0 0
�ł śł
�ł śł
0 0 1 0
�ł- ił� 0 0 ł śł
�ł �ł
Relatywistyczne zjawisko Dopplera
y
ródło i obserwator poruszają się względem siebie po tej samej prostej ze względną
prędkością v mamy do czynienia z podłużnym relatywistycznym efektem Dopllera.
f0  częstotliwość emitowana
f  częstotliwość rejestrowana
1- �
f = f0 < f0 (oddalają się od siebie)
1+ �
1+ �
f = f0 > f0 (zbliżają się od siebie)
1- �
Wzory wynikają z zastosowania wzorów transformacji Lorentza na pęd i energię, do opisu
zachowania fotonu.
10