Generalne koncepcje budowy funkcji
kształtu na przykładzie elementów
dwuwymiarowych
dwuwymiarowych
Podstawowe zasady
1. Modelowane kontinuum dzielimy na skończoną liczbę mniejszych podobszarów
zwanych elementami skończonymi.
2. Zakładamy, że elementy skończone są ze sobą połączone w skończonej liczbie
punktów zwanych węzłami, znajdujących się na brzegu elementów (na obwodzie
w przypadku 2D). Przemieszczenia węzłów stanowią podstawowy układ
niewiadomych (sformułowanie przemieszczeniowe).
niewiadomych (sformułowanie przemieszczeniowe).
3. Dla elementów dobieramy funkcje (funkcje kształtu) określające w sposób
jednoznaczny stan przemieszczeń wewnątrz elementu. Przemieszczenia
wewnątrz elementu zależą wyłącznie od przemieszczeń węzłowych.
4. Funkcje kształtu (przemieszczeń) winny zapewniać odpowiednie warunki
ciągłości pomiędzy stykającymi się elementami.
Podstawowe zasady
Funkcje kształtu powinny być tak dobrane aby nie pozwalały na wytworzenie
się stanu napięcia w elemencie który porusza się tylko jak ciało sztywne.
Ogólnie:
Jeżeli tylko ruch sztywny: to:
Funkcje kształtu powinny być tak dobrane, aby przy zgodności przemieszczeń
węzłów, w przypadku stałych odkształceń (stałej pochodnej) stan ten można
było odtworzyć ściśle.
Inaczej: Z matematycznego punktu widzenia, można tak dobrać funkcje kształtu,
że w warunkach stałej pochodnej (dla rozwiązania ścisłego) przy
zgodności przemieszczeń węzłów funkcje te w wyniku dadzą zmienną
wartość pochodnej. Takie funkcje na ogół nie zapewniają wystarczającej
zbieżności
Podstawowe zasady
Funkcje kształtu powinny być tak dobrane aby odkształcenia (pierwsze pochodne)
na granicach między sąsiednimi elementami były skończone.
W przypadku analizy drugich pochodnych (np. ugięcia płyt) pochodne funkcji kształtu
na granicach między sąsiednimi elementami powinny być skończone.
Kryteria zbieżności
Kryteria zbieżności
" Funkcje kształtu powinny być tak dobrane, aby przy odpowiednim doborze
wartości węzłowych, można było uzyskać każdą stałą wartość przemieszczenia
(funkcji) bÄ…dz
odkształcenia (pochodnej funkcji), jeżeli wymiary elementu dążą do
zera.
" Funkcje kształtu powinny być tak dobrane, aby na powierzchniach styku elementów
funkcje aproksymujące jak również ich pochodne o rząd niższe od występujących
w funkcjonałach były ciągłe.
Elementy prostokątne  podejście standardowe
zmienność liniowa
zmienność sześcienna
Wada: może nie istnieć macierz
odwrotna C-1
Elementy prostokątne  podejście  wprost
Kompletność funkcji kształtu  rodzina Lagrange a
Kompletność funkcji kształtu  rodzina Lagrange a
Rodzina Lagrange a
Rodzina serendipowska
Liniowy: Kwadratowy:
Węzły narożne:
¾a,·a
Współrzędne węzłów Węzły środkowe:
Rodzina serendipowska  generowanie kolejnych funkcji