w1 powt rach p stwa


130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
Wykład 1.
Wprowadzenie - elementy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
1. Przestrzeń probabilistyczna
(W, F, Pr)
W - przestrzeń zdarzeń elementarnych, element w W, zdarzenie elementarne ma
wyrażać najmniejszy (najprostszy) elementarny wynik doświadczenia losowego;
F - sigma ciało, zbiory AF możliwe zdarzenia;
Pr - miara prawdopodobieństwa, miara możliwości, że w wyniku doświadczenia
losowego zajdzie zdarzenie A (otrzymany zostanie wynik w A).
Def. 1. Rodzina F podzbiorów W jest sigma ciałem w. i w., gdy
1. WF ,
2. AF A F ,
3. A1, A2, A3,...F Ai F
U
ił1
Def. 2. Miarą prawdopodobieństwa nazywamy funkcję Pr określoną na F nieujemną,
unormowaną i przeliczalnie addytywną
Pr : F [0, 1]
1. Pr(W) = 1,
2. Pr(A)ł 0 ,
/
3. Jeżeli ciąg A1, A2, A3,...F jest taki, że Ai Aj = 0,i ą j , to
Pr(U Ai)= Pr(Ai )

ił1 ił1
2. Zdarzenia niezależne i prawdopodobieństwa warunkowe
Def. 3. Dwa zdarzenia A, B nazywamy niezależnymi wtedy, gdy
Pr(A B) = Pr(A)Pr(B)
Def. 4. Zdarzenia A1, A2, A3,..., An są wzajemnie niezależne jeżeli dla dowolnego
ciągu 1 Ł i1 < i2... < ir Ł n, r = 2,3,...,n
r r
ć
Pr = (Ai )
IAiK Pr
k
Ł k =1 ł k =1
Def 5. Niech dane będzie zdarzenie B takie, że Pr(B) > 0 , wówczas
prawdopodobieństwo zdarzenia A przy warunku, że zaszło zdarzenie B definiujemy jako
Pr(A B)
P(A | B) =
Pr(B)
Zdarzenia A, B są niezależne wtedy, gdy Pr(A | B) = Pr(A | B)= Pr(A)
1
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
3. Zmienne losowe
Określenie: najmniejsze sigma ciało zawierające wszystkie półproste (- Ą, a], a R
będziemy oznaczać przez B . B jest sigma ciałem zbiorów borelowskich na prostej, to jest
najmniejszym sigma ciałem zawierającym wszystkie zbiory otwarte przestrzeni R.
Def. 7. Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (W, F, Pr) i przestrzeń
mierzalna (R, B). Zmienną losową X nazywamy funkcję rzeczywistą określoną na W , F
mierzalną:
1. X : W R
-1 -1
2. dla każdego x R , X ((- Ą, x])F , gdzie X ((- Ą, x]) = {w W : X(w)Ł x}.
-1
Zależność PX ((- Ą, x]) = Pr(X ((- Ą, x]))= Pr({w W : X(w)Ł x}) definiuje miarę
prawdopodobieństwa na sigma ciele zbiorów borelowskich B na R.
4. Dystrybuanta zmiennej losowej
Def. 8. Dla danej zmiennej losowej X dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy
funkcję rzeczywistą FX : R [0, 1] taką, że dla każdego x R
FX (x) = Pr({w W : X(w)Ł x}) = PX ((- Ą, x])
Własności dystrybuanty:
1. F jest funkcją monotoniczną niemalejącą,
2. lim F(x) = 0, lim F(x) = 1,
x-Ą xĄ
3. lim F(x)= F(x0) (F jest prawostronnie ciągła),
+
xx0
4. Istnieje granica ,
5. ,
6. ,
7. ,
8. .
5. Rozkłady zmiennej losowej skokowej
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X skokowej (dyskretnej), to znaczy
przyjmującej wartości ze skończonego zbioru x1,x2,...,xn lub przeliczalnego zbioru
x1, x2,..., xn,... określają prawdopodobieństwa realizacji poszczególnych wartości tej
zmiennej, czyli
w
Pr X = xj = pj , pj ł 0, pj = 1, w = n lub w = Ą .
( )

j=1
Wartość dystrybuanty F w punkcie x
F(x)= Pr(X Ł x)= pj .

x Łx
j
Wartością oczekiwaną (przeciętną) skokowej zmiennej losowej X nazywamy liczbę
w
E(X )= Pr(X = xj).
xj
j =1
2
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
Wariancją zmiennej losowej skokowej X nazywamy liczbę
w
2
Var(X )= [x - E(X )] Pr(X = x ) .
j j
j=1
6. Rozkłady zmiennej losowej bezwzględnie ciągłej
Rozkład zmiennej losowej X bezwzględnie ciągłej może być określony np. przy
pomocy funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa, to znaczy funkcji spełniającej
warunki
Ą
( )
( ) , .
f x ł 0 dla x R f x dx = 1

-Ą
Wartość dystrybuanty F w punkcie x
x
F(x)= Pr(X Ł x)= f (s)ds .

-Ą
Jeżeli funkcja gęstości f jest ciągła w punkcie , to .
Wartością oczekiwaną (przeciętną) ciągłej zmiennej losowej X nazywamy liczbę
Ą
( ) ( )
E X = xf x dx .

-Ą
Wariancją zmiennej losowej ciągłej X nazywamy liczbę
Ą
2
( )
Var X = - E X ] f x dx .
[x ( ) ( )
-Ą
7. Dwuwymiarowe zmienne losowe
Def. 9. Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (W, F, Pr) i przestrzeń
mierzalna (R2, B2). Odwzorowanie takie, że i dla
każdego BB2 , nazywamy dwuwymiarową zmienną losową
określoną na przestrzeni probabilistycznej (W, F, Pr).
Def. 10. Rozkładem prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej
określonej na przestrzeni (W, F, Pr) nazywamy miarę indukowaną na przez
odwzorowanie czyli dla każdego BB2
P(X ,Y )(B)= Pr({w W:(X ,Y)(w)B}).
Def. 11. Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej nazywamy funkcję
(X ,Y): R2 [0,1] taką, że dla każdego (x, y) R2
F(X ,Y )(x, y)= Pr({w W: X(w)Ł x ŁY(w)Ł y})= P(X ,Y )(X Ł x,Y Ł y).
Własności dystrybuanty:
1. (dalej F) jest funkcją monotoniczną niemalejącą ze względu na każdą zmienną,
2. , ,
3. ,
4. F jest prawostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych,
3
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
5. Dla dowolnych ,
6. Dla dowolnych , takich, że
Aatwo uogólnić na n wymiarów.
7. Niezależne zmienne losowe
Def. 12. Rozkładem brzegowym zmiennej losowej X w rozkładzie
prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej nazywamy
Jeżeli ma dystrybuantę o wartościach , to wartość dystrybuanty
rozkładu brzegowego zmiennej X wyraża się wzorem (wykorzystującym podwójną całkę
Steltiesa)
Dla rozkładów ciągłych i dyskretnych otrzymujemy:
Def. 13. Zmienne losowe X, Y są niezależne w rozkładzie prawdopodobieństwa
dwuwymiarowej zmiennej losowej w iw, gdy
.
Równoważny warunek
dla rozkładów ciągłych w punktach ciągłości , ,
dla rozkładów skokowych dla każdej pary
przyjmowanej z dodatnim prawdopodobieństwem.
8. Momenty zmiennej losowej
Momentem zwykłym rzędu k zmiennej losowej X nazywamy liczbę
w

k
Pr(X = xj)
xj


j =1
k
mk = E(X )=
Ą

xk f (x)dx


-Ą
4
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
Momentem centralnym rzędu k zmiennej losowej X nazywamy liczbę
w

k
[xj - E(X )] Pr(X = xj)



k j =1
ck = E([X - E(X )] )=
Ą
k

[x - E(X )] f (x)dx

-Ą
( )
Pierwiastek kwadratowy z wariancji Var X nazywamy odchyleniem standardowym
i interpretujemy jako przeciętne odchylenie możliwych realizacji zmiennej losowej X od jej
wartości oczekiwanej E(X). Wariancja i odchylenie standardowe są miarami rozproszenia
wartości zmiennej losowej X wokół jej wartości oczekiwanej.
Można wykazać, że
2
2
Var(X )= E(X )-[E(X )]
2
m2 = m2 - m1
3
m3 = m3 - 3m1m2 + 2m1
2 4
m4 = m4 - 4m1m3 + 6m1 m2 - 3m1
Do porównania zmiennych losowych pod względem rozproszenia ich wartości można
wykorzystuje się współczynnik zmienności losowej
Var(X ) m2
VX = = .
E(X ) m1
Do porównania zmiennych losowych pod symetrii wykorzystuje się współczynnik
skośności
m3
g = .
3
( m2 )
Do porównania zmiennych losowych pod  grubości ogonów wykorzystuje się
współczynnik ekscesu lub kurtozy
m4
.
g = - 3
2
2
(m2 )
5


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
KEM w1
historia rach odp
MN w1 Minimum funkcji
w1
SD przykłady do w1 13
RACHUNKOWOŚĆ KSIĘGI RACH
tai w1 nstac www
BUDOWA ATOMOW W1
W1
metody numeryczne i w1
W1 Rzedy wielk i rekur
Podstawy Nieprzemiennego Rach Prawd Lenczewski p1
Zad powt kl?la 09
Analiza finansowa w1
IiP z w1

więcej podobnych podstron