Funkcja kwadratowa

1. Funkcję kwadratową y = (x + 3)(1 − x) przedstawić w postaci kanonicznej. Narysować wykres.

y 6

2. Rysunek przedstawia parabolę. Wyznaczyć współrzędne wierzchołka tej pa-

raboli.

1

q

1

3

q

q

-

x

3. Dla jakich wartości parametru k równanie (k − 1)x2 + kx + 1 = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie?

4. Dla jakich wartości k funkcja f (x) = x2 + kx + 1 będzie malejącą w przedziale (−∞, 1) ?

5. Suma kwadratów pierwiastków równania x2 + 2x + c = 0 jest równa 20. Znaleźć te pierwiastki.

6. Dla jakich wartości parametru m, nierówność mx2 + 2mx − 5 < 0 spełniona jest dla x ∈ R?

7. Znajdź ekstrema funkcji f (x) = |x2 − x − 2| + 1.

8. Niech f (m) oznacza liczbę pierwiastków równania |4x2 − 4x − 3| = m. Narysować wykres funkcji m 7→ f (m).

9. Zilustruj na osi liczbowej następujące zbiory

W

V

a) {a ∈ R :

(ax2 + ax + 1 ­ 0)}

b) {m ∈ R :

(mx2 + mx − 2) < 0}.

x∈R

x∈R

10. Wielomian x2 + px+ q ma pierwiastki x1, x2. Znaleźć trójmian kwadratowy x2 + bx+ c, którego pierwiastki są równe: x1 + 1, x2 + 1.

11. Dla jakiego a ∈ R oba pierwiastki równania x2 + ax + 1 = 0 są ujemne?

mx2 + x − m + 1

12. Dana jest funkcja y =

. Dla jakich wartości parametru m dziedziną tej funkcji jest zbiór

x2 − mx + 1

liczb rzeczywistych i ma ona dwa różne miejsca zerowe?

13. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania mx2−2mx+1 = 0 spełniają nierówność x2+x2 < 3?

1

2

14. Dla jakich wartości parametru m rozwiązania równania (m − 1)x2 + (m + 2)x + m = 0 spełniają warunek 1

1

+

= m + 2?

x1

x2

15. Dla jakich wartości parametru k pierwiastki wielomianu kx2 + 4x + 3 spełniają warunek |x1 − x2| = 2 ?

16. Dane jest równanie kwadratowe x2 + (2 − 3m)x + (2m2 − 5m − 3) = 0.

a) wyraź iloczyn pierwiastków tego równania jako funkcję zmiennej m i oznacz ją f (m), b) dla jakich wartosci m funkcja ta jest okreslona?

c) dla jakich wartości m funkcja f (m) osiąga minimum?

d) wyznacz pierwiastki równania tak, aby ich iloczyn był najmniejszy.

17. Dla jakich parametrów k suma kwadratów pierwiastków równania x2 + (k − 3)x + k = 0 jest najmniejsza?

18. Dana jest funkcja f (x) = (2m − 1)x2 − (5m − 2)x + 2m.

Dla jakich wartości m ∈ R funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe dodatnie? Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których iloczyn miejsc zerowych danej funkcji jest liczbą całkowitą.

19. Złożono w banku 2000 zł. Po dwóch latach złożona suma łącznie z odsetkami - doliczanymi po każdym roku - wyniosła 2205 zł. Jaka jest stopa procentowa?

20. Boisko ma kształt prostokąta o bokach a i b. Boisko otoczono bieżnią, której zewnętrzna krawędź ma także kształt prostokąta o bokach równolegch do boków boiska i jednakowo od nich odległych. Pole bieżni jest równe polu boiska. Oblicz szerokość bieżni.

KursPG.W G.