WERSJA NIEOFICJALNA
WSTPNIE POPRAWIONA
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAAKI PODWÓJNEJ
Rozważamy funkcję ciągłą w prostokącie P, P = [a,b][c,d]
.
f ł 0
Niech . Wtedy S jest sumą objętości prostopadłościanów
n
n
Sn = f (Ai ) Dsi
i=1
wysokość pole
prostop. prost.
| |
objętość prostopadłościanu
Jeżeli teraz , to lim Sn = f (x, y)ds = V , a stąd
n Ą
nĄ
P
f (x, y)ds = V ,
P
gdzie V oznacza objętość bryły ograniczonej płaszczyznami: z=0, x=a, x=b, y=c, y=d
oraz powierzchnią z=f(x,y).
INTERPRETACJA FIZYCZNA CAAKI PODWÓJNEJ
1. - gęstość powierzchniowa masy prostokąta P
r(x, y)
r(x, y)ds - masa prostkąta P
P
2. - gęstość powierzchniowa ładunku elektrycznego rozmieszczonego w P
r(x, y)
r(x, y)ds - całkowity ładunek elektryczny prostokąta P
P
WAASNOŚCI CAAKI PODWÓJNEJ
I. Liniowość całki.
1O ąf + g całkowalne w P
f,g całkowalne w P
oraz
ż
2O + bg)ds = a fds + b
a, b R
(af gds
P P P
II. Addywność całki względem obszaru całkowania.
1O f całkowalna w P
1
f całkowalna w prostokącie P f całkowalna w P
2
oraz
P dzielimy na dwa prostokąty P ,P
1 2
ż
2O fds = fds + fds
o rozłącznych wnętrzach
P = P1 P2, int P1 int P2 = o
/
P P1
P2
III. Ograniczoność całki.
f całkowalna w prostokącie P
m := infP f (x, y)
(x, y)
ż ms Ł f (x, y)ds Ł Ms ,
M := sup f (x, y)
P
(x, y)P
gdzie - pole prostokąta P
s
Twierdzenie (całkowe o wartości średniej)
f C(P)
, gdzie C(P) klasa funkcji ciągłych na prostokącie P
wartość średnia
644744
8
1
$A P : f (A) = f (x, y)ds
s
P
Dowód
Korzystając z właśności III otrzymamy oszacowanie wartości średniej
1
m Ł f (x, y)ds Ł M
s
P
funkcja ciągła więc spełniona jest własność Darboux
1
$A P : f (A) = f (x, y)ds
s
P
Ą%
Twierdzenie (o zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną)
Z : f C(P), gdzie P = [a,b][c, d]
d b
ć
T : f (x, y)ds = f (x, y)dxdy
P c Ł a ł
oraz
b d
ć
dx
f (x, y)ds = f (x, y)dy
P a Ł c ł
Uwaga
Każdą z całek występujących po prawej stronie powyższych wzorów nazywamy całką
iterowaną.
Oznaczenia
1. Sybol ds nazywamy elementem pola i oznaczamy
ds.
2. Całki iterowane zapisujemy też w postaci.
d b
ozn.d b
ć
f (x, y)dxdy = f (x, y)dx
dy
c Ł a ł c a
b d b d
ozn.
ć
f (x, y)dydx = f (x, y)dy
dx
a Ł c ł a c
Przykład
Obliczyć całkę podwójną
0 Ł x Ł 2
2
I = dxdy, gdzie P :
0 Ł y Ł 3
xy
P
f (x, y)= xy2 C(P)
możemy zastosować twierdzenie o zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną i wted
3
2
2 3 2 2
1 9
ć
I = xy2dy = xy3 dx = = x2 = 18
dx 3 9xdx 2
Ł ł
0
0 0 0 0 0
CAAKA PODWÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM
Definicja (obszaru normalnego)
__
Obszar domknięty określony nierównościami:
D
__
D :j(x)Ł y Ły (x), a Ł x Ł b,
gdzie nazywamy obszarem normalnym względem osi OX.
j,y C([a,b])
y
y=(x)
d
P
D
y=Ć(x)
c
a x b
x
Aby zdefinować całkę w obszarze normalnym rozważmy prostokąt P,
c := inf j(x)
x[a,b]
P=[a,b] [c,d], gdzie
d := sup y (x)
x[a,b]
i zdefiniujmy nową funkcję:
f (x, y), gdy (x, y) D
f *(x, y):=
gdy (x, y) P \ D
0,
__
Ponieważ f Cć D zatem f* jest ciągła, ewentualnie poza zbiorem punktów położonych na
Ł ł
krzywych y=(x) i y=Ć(x), tzn. poza zbiorem miary zero.
f* - jest całkowalna w prostkącie P
Definicja
f (x, y)dxdy := f *(x, y)dxdy
D P
Stosując wzór o zamianie całki podwójnej po prostokącie na całkę iterowaną.
otrzymujemy:
b d b y (x)
f *(x, y)dxdy = f *(x, y)dy = f (x, y)dy.
dx dx
P a c a j(x)
Stąd
b y (x)
f (x, y)dxdy = f (x, y)dy
dx
D a j(x)
Uwaga
Brzeg obszaru D jest zbiorem miary zero nie ma znaczenia czy go włączymy do obszaru
całkowania czy nie.
Definicja
D
Obszar dokmnięty określony nierównościami
D : a(y)Ł x Ł b(y),
c Ł y Ł d,
a, b C([c, d])
gdzie nazywamy obszarem normalnym względem osi OY.
y
d
x=(y)
D
x=ą(y)
c
x
D
Analogicznie określamy całkę funkcji ciągłej w obszarze normalnym względem OY i
wtedy
d b (y)
f (x, y)dxdy = f (x, y)dx.
dy
D c a (y)
Definicja
Obszar dokmnięty nazywamy obszarem regularnym, jeśli jest sumą
D
D = D D ... D
1 2 n
obszarów normalnych względem osi OX lub względem osi OY, które
nie mają wspólnych punktów wewnętrznych
Definicja
Niech - obszar regularny,
D
f C(D).
Wtedy
n
f (x, y)dxdy := f (x, y)dxdy
i=1
D Di
Uwaga
Prawdziwe są wszystkie własności całki podwójnej, gdy prostokąt P zastąpimy obszarem
regularnym D, tzn.
liniowość
addywność względem obszaru całkowania
ograniczoność całki
Przykład
Obliczyć całkę podwójną I =
1dxdy, gdzie D obszar ograniczony krzywymi
D
x = 2y2 i x = y2 +1,
x = 2y2
D :
x = y2 +1
Wyznaczamy punkty przecięcia parabol
y = ą1
x = 2
i zaznaczamy obszar D
D jest obszarem normalnym względem OY,
-1 Ł y Ł 1
D :
2
2y Ł x Ł y2 +1
Zatem możemy całkę podwójną zamienić na całkę iterowaną:
y2 +1
1
1 y2 +1 1 1
1 2 4
ć
I = x dy = (1- y2)dy = y - y3 = 2 - =
dy dx =
3 3 3
Ł ł
-1 -1 -1
2 y2
2 y2 -1
Uwaga
Obszar D nie jest normalny względem OX, ale można go podzielić na na trzy obszary
normalne względem OX i wtedy
x x
1 2 2 2 2 - x-1
4
dxdy = dxdy + dxdy + dxdy = dx dy + dx dy + dx dy = ... = 3
D D1 D2 D3 0 1 1
x x-1 x
- -
2 2
Twierdzenie (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
D, D
Z: Niech - obszary regularne w R2
t : D suriekcja D
t (u,v)= (j(u,v),j(u,v)) dla (u, r) D
Jeśli 1O odwzorowanie t przekształca wzajemnie jednoznacznie (różnowartościowo)
wnętrze obszaru " na wnętrze obszaru D,
T : int D a int D
j,y C1(W), gdzie W jest obszarem, W D
2O
f C(D)
3O
4O jakobian odwzorowania t jest niezerowy w obszarze ",
Jt
śj śj
ł
ę ś
śu śv
Jt = det ą 0
ę ś
ęśy śy ś
ę ś
śu śv
to
f (x, y)dxdy = f (j(u,v),y (u,v)) JT dudv.
D D
y
v
f (o wartościach w R)
t
D
"
dziedzina odwzorowania f
x
u
t określa podstawienie w całce
Uwaga
Odwzorowanie t brzegu obszaru " na brzeg obszaru D nie musi być wzajemnie
jednoznaczne.
Np. odwzorowanie wprowadzające zmienne biegunowe
x = r cosj,
)
y = r sinj gdzie r ł 0, j [0,2p
nie jest bijektywne, bo jeżeli r=0, to x=y=0; i cały odcinek {(0, Ć), gdzie }
j [0,2p ]
przechodzi w punkt (0,0).
Wyznaczmy jakobian odwzorowania wprowadzającego współrzędne biegunowe,
śx
śx ł
ę ś
cosj - r sinj
śj ł
J = detęśr ś = detę = r
ś
śy śy
ę ś
sinj r cosj
ęśr śj ś
Uwaga
Zmiana kolejności zmiennych daje zmianę kolejności kolumn macierzy Jacobiego, a wtedy
jakobian zmienia się na przeciwny,
śx
ł
śx
ęśj ś
J = detę śr ś = -r
śy śy
ę ś
ęśj śr ś
Jednak w twierdzeniu występuje moduł jakobianu zatem zmiana kolejności zmiennych nie ma
znaczenia.
Przykład
dxdy
x2 + y2 Ł x.
Obliczyć
I = , gdzie D :
2
2
(1- x2 - y2)
D
x + y2 Ł y
nierówności zadające obszar D
ć 1 2 ć 1 2
x - + y2 Ł
2 2
Ł ł Ł ł
2 2
1 1
x + ć ć
2
y - Ł
2 2
Ł ł Ł ł
1
określają koła o środkach w punktach ć 1 ,0,ć0, 1 oraz promieniach
2 2 2
Ł ł Ł ł
y
y=x
1/2
Ć
D
D1 r=r(Ć)
1/2
x
Wyznaczamy punkty wspólne okręgów
x2 + y2 = x y = x
ż
2
x + y2 = y 2x2 = x
x(2x -1)= 0
1
x = 0 x =
2
Obszar D jest symetryczny względem prostej y=x.
Ponadto f(x,y)=f(y,x) zatem funkcja jest symetryczna względem prostej y=x.
dxdy
I = 2
2
(1- x2 - y2)
D1
Powyższą całkę podwójną możemy zamienić na całkę iterowaną, a następnie podstawić
x = r cosj
p
0, ł
współrzędne biegunowe
y = r sinj dla j ę ś , r [0, r(j)], gdzie r(j) jest funkcją
2
określającą okrąg we współrzędnych biegunowych.
x2 + y2 = y
Zatem
x2 + y2 = y
r2 = r sinj
r = sinj
p
0, ł, r [0,sinj].
Stąd (j, r) D1, gdzie D1 = r) :j
(j, ż
ę ś
4
r
r=sinĆ
"1
Ą/4 Ą/2
Ć
D1
gdzie wnętrze przechodzi we wnętrze , funkcja f jest ciągła, więc można zastosować
D1
twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej. Stąd
p p p
sinj
sinj
4 4 4
p
rdrdj rdr 1 1 ć 1 p
4
I = 2 = 2 = 2 dj =
0
2 dj 2 cos2 j -1dj = (tgj -j) = 1- 4
2 1- r2 0
(1- r2) (1- r2) Ł ł
D1 0 0 0 0
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wyklad z analizy matematycznej dla studentow na kierunku automatyka i robotyka aghBUD WODNE Wykład 6 analiza mechaniczna filtracja MESanaliza finansowa wyklad Analiza wstepna i poziomaGW Wyklad 5 BUD cz2Sopot stat 11 wyklad 9 Analiza kowariancji i ogolny model liniowyGW Wyklad 08 cz2GW Wyklad06 TRANSP cz2Wyklad AnalizaMat 11 08CPP WYKLADY ANALIZA 2ProgCPP Wyklad AnalizaWykład 1 3 Analiza finansowaPZN wyklad 7 analiz ekon finansProgCPP Wyklad AnalizaWykład 4 Analiza ekonomicznawięcej podobnych podstron