dr Józef Szymczak
Politechnika Opolska
LICZBY ZESPOLONE  notatki z wykładu cz. II
4. Postać wykładnicza liczb zespolonych.
Dla każdej rzeczywistej liczby Õ przyjmujemy nastÄ™pujÄ…cÄ… zależność:
(cosÕ + i sinÕ) a" eiÕ
( e jest tzw. liczbą Eulera; jest to liczba niewymierna równa w przybliżeniu 2,72).
W związku z tym możemy każdą liczbę zespoloną przedstawić w postaci wykładniczej
z = z eiÕ
3
3 3
Na przykład liczbę z = - 2i = 2(cos Ą + isin Ą ) zapiszemy w postaci wykładniczej jako 2ei 2 Ą , natomiast
2 2
3
3 3
liczbÄ™ zespolonÄ… z = 2ei 4 Ä„ zapiszemy w postaci trygonometrycznej jako z = 2(cos Ä„ + isin Ä„ ) , a w
4 4
2 2
postaci algebraicznej jako z = 2(- + i ) = -1+ i .
2 2
WÅ‚asnoÅ›ci symbolu eiÕ :
ei(Õ1 + Õ2 ) = eiÕ1 Å"eiÕ2 ,
(eiÕ )k = eikÕ ,
ei(Õ + 2kÄ„ ) = eiÕ ,
eiÕ `" 0 ,
eiÕ =1.
Zauważmy też, że jeżeli z = z eiÕ , to z = z e- iÕ .
Uzasadnić słuszność następującego wzoru: (1+ eiĄ ) = 0 .
Z postaci wykładniczej liczb zespolonych wygodnie jest korzystać w przypadku mnożenia, dzielenia czy
potęgowania tych liczb.
Przykład 7:
i5Ä„
5
4
i( Ą -7Ą ) -iĄ
8e
4 4 2 Ä„ Ä„
a) = 2e = 2e = 2(cos(- ) + i sin(- )) = 2(0 - i) = -2i ,
2 2
i7Ä„
4
4e
3 24
b) (-1+ i)8 = ( 2ei 4 Ä„ )8 = ( 2)8ei 4 Ä„ = 24 ei6Ä„ =16e0 =16 .
Ponieważ eiÕ = (cosÕ + i sinÕ) , to Å‚atwo otrzymamy, że e- iÕ = (cosÕ - isinÕ) . DodajÄ…c i odejmujÄ…c
stronami oba wyrażenia otrzymamy, że eiÕ + e- iÕ = 2cosÕ oraz eiÕ - e- iÕ = 2isinÕ , skÄ…d wynikajÄ… wzory
Eulera:
eiÕ + e- iÕ ; sinÕ = eiÕ - e- iÕ .
cosÕ =
2 2i
(Leonard Euler (1707-1783) to szwajcarski matematyk, fizyk i astronom).
5. Pierwiastkowanie liczb zespolonych.
Pierwiastkiem stopnia n " N danej liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w , spełniającą
n
warunek wn = z . Zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z oznaczamy symbolem z .
Symbol ten ma jednak inne znaczenie w przypadku liczb zespolonych i nie wolno go używać do obliczeń lecz tylko
do oznaczenia zbioru rozwiązań równania wn = z .
4
Różnicę tę zauważymy, jeśli na przykład zapiszemy symbol 1 . W przypadku liczb rzeczywistych mamy
4
oczywiście 1 =1. Natomiast w przypadku liczb zespolonych będzie to zbiór wszystkich takich liczb zespolonych,
4
które podniesione do czwartej potęgi dadzą liczbę 1, czyli 1 = {1, i,-1,-i}.
Definicja. Każda liczba zespolona z `" 0 ma dokładnie n pierwiastków stopnia n.
n
Zbiór tych pierwiastków ma postać z = {w0, w1, ..., wn-1}, gdzie
Õ+2kÄ„ Õ+2kÄ„
n
wk = z (cos + i sin ) dla k = 0, 1, 2, ...,n -1.
n n
Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej.
Zbiór pierwiastków stopnia n e" 3 z liczby zespolonej z pokrywa się ze zbiorem wierzchołków n -kąta
n
foremnego wpisanego w okrąg o promieniu z i środku w początku układu współrzędnych. Jeden z
Õ Õ
n
wierzchołków tego n -kąta jest w punkcie odpowiadającym liczbie zespolonej w0 = z (cos + i sin ) , a kąt
n n
2Ä„
między promieniami wodzącymi sąsiednich wierzchołków jest równy .
n
Przykład 8:
3 3 3
4 1
Obliczyć następujące pierwiastki z liczb zespolonych: a) i , b) -8i , c) - + i oraz określić ich
2 2
interpretacjÄ™ geometrycznÄ….
Ä„ Ä„ Ä„
Ad 1) Liczba, którÄ… tu pierwiastkujemy, to i = cos + i sin czyli mamy tu i =1, Õ = , n = 3 .
2 2 2
3
Zatem i = {w0, w1, w2}, gdzie
Ä„ Ä„
3
3 Ä„ Ä„ 1
2 2
w0 = 1(cos + i sin ) = (cos + i sin ) = + i ,
6 6 2 2
3 3
Ä„ Ä„
+2Ä„ +2Ä„
3
2 2 5Ä„ 5Ä„ 1
w1 = (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = - + i ,
2 2
3 3 6 6
Ä„ Ä„
+4Ä„ +4Ä„
2 2 3Ä„ 3Ä„
w2 = (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = -i .
3 3 2 2
3Ä„ 3Ä„ 3Ä„
Ad 2) Liczba, którÄ… pierwiastkujemy, to -8i = 8(cos + isin ) czyli - 8i = 8, Õ = , n = 3. Zatem
2 2 2
3
- 8i = {w0, w1, w2} , gdzie
3Ä„ 3Ä„
3 Ä„ Ä„
2 2
w0 = 8(cos + i sin ) = 2(cos + i sin ) = 2i ,
2 2
3 3
3Ä„ 3Ä„
+2Ä„ +2Ä„
3
3 7Ä„ 7Ä„ 1
2 2
w1 = 8(cos + i sin ) = 2(cos + i sin ) = 2(- - i) = - 3 - i ,
2 2
3 3 6 6
3Ä„ 3Ä„
+4Ä„ +4Ä„
3
3 11Ä„ 11Ä„ 1
2 2
w2 = 8(cos + i sin ) = 2(cos + i sin ) = 2( - i) = 3 - i .
2 2
3 3 6 6
3 3
1 2Ä„ 2Ä„ 1 2Ä„
Ad 3) Pierwiastkowana liczba to - + i = cos + isin czyli - + i =1, Õ = , n = 4 . Zatem
2 2 3 3 2 2 3
3
4 1
- + i = {w0, w1, w2 , w3}, gdzie
2 2
2Ä„ 2Ä„
3
3 3 Ä„ Ä„ 1
w0 = cos + i sin = cos + i sin = + i ,
6 6 2 2
4 4
2Ä„ 2Ä„
+2Ä„ +2Ä„
3
3 3 2Ä„ 2Ä„ 1
w1 = cos + i sin = cos + i sin = - + i ,
2 2
4 4 3 3
2Ä„ 2Ä„
+4Ä„ +4Ä„
3
3 3 7Ä„ 7Ä„ 1
w2 = cos + i sin = cos + i sin = - - i ,
2 2
4 4 6 6
2Ä„ 2Ä„
+6Ä„ +6Ä„
3
3 3 5Ä„ 5Ä„ 1
w3 = cos + i sin = cos + i sin = - i .
2 2
4 4 3 3
Zwróćmy uwagę na fakt, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a > 0 mamy - a = {-i a, i a}.
Czyli np. -1 = {-i, i}, - 9 = {-3i, 3i}, - 5 = {-i 5, i 5} .
6. Pierwiastki wielomianów.
LiczbÄ™ rzeczywistÄ… (zespolonÄ…) x0 nazywamy pierwiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W,
jeżeli W (x0 ) = 0 .
(Tw. Bezouta) Liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P
taki, że
W (x) = (x - x0)P(x) .
Liczba x0 jest pierwiastkiem k -krotnym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
W (x) = (x - x0)k P(x) .
(Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu)
Niech W (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech
liczba całkowita p `" 0 będzie pierwiastkiem wielomianu W. Wtedy p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0 .
Dla trójmianu kwadratowego W (z) = az2 + bz + c o współczynnikach rzeczywistych mamy trzy przypadki
wyznaczania miejsc zerowych ze względu na wartość wyróżnika " = b2 - 4ac :
-b- " -b+ "
1o. jeżeli " > 0 , to wielomian W ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste z1 = , z2 = ;
2a 2a
-b
2o. jeżeli " = 0 , to wielomian W ma jeden dwukrotny pierwiastek rzeczywisty z1 = z2 = ;
2a
-b-i -" -b+i -"
3o. jeżeli " < 0 , to wielomian W ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone z1 = , z2 = .
2a 2a
Zasadnicze twierdzenie algebry: Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden
pierwiastek zespolony.
Przykład 9.
Rozwiązać dane równania w zbiorze liczb zespolonych.
a) 2z2 + 2z +1 = 0 .
-2-2i 1 1 -2+2i 1 1
Mamy tu " = 4 - 8 = -4 , czyli - " = 4 = 2 , zatem z1 = = - - i, z2 = = - + i .
4 2 2 4 2 2
(Można tu też zastosować podejście związane z oznaczeniem " = - 4 = {-2i, 2i} ).
b) z4 - 2z3 + 5z2 - 8z + 4 = 0 .
Zauważmy, że z =1 jest jednym z rozwiązań. Zatem możemy podzielić wielomian znajdujący się z lewej
strony równości przez dwumian z -1 i wyjściowe równanie możemy zapisać w formie
(z3 - z2 + 4z - 4)(z -1) = 0 . Zwróćmy z kolei uwagę, że z =1 jest również miejscem zerowym wielomianu
stopnia trzeciego. Po wykonaniu kolejnego dzielenia przez dwumian z -1 otrzymamy zapis równania w
formie (z2 + 4)(z -1)2 = 0 . Ponieważ z2 = -4 w przypadku gdy z = -2i lub z = 2i , a więc zbiorem
rozwiązań wyjściowego równania są trzy liczby: {-2i, 2i, 1} (liczba 1 jest tu pierwiastkiem podwójnym).