dr Józef Szymczak
Politechnika Opolska
LICZBY ZESPOLONE  notatki z wykładu
1. Ciało liczb zespolonych.
Niech Z = R×R . W zbiorze Z traktowanym jako zbiór par liczb rzeczywistych okreÅ›lamy dodawanie i
mnożenie w następujący sposób:
(a1,b1) + (a2,b2) = (a1 + a2,b1 +b2)
,
(a1,b1)Å"(a2,b2) = (a1 Å"a2 -b1 Å"b2, a1 Å"b2 + a2 Å"b1)
.
Algebra (Z, +, Å")
jest ciałem, które nazywamy ciałem liczb zespolonych. Każdą parę (a, b) " Z nazywamy liczbą
zespolonÄ… i oznaczamy z = (a, b) .
Przykładowo, jeżeli z1 = (3, - 2), z2 = (2, 4), z3 = (3, 2), z4 = (0, 1) , to mamy
z1 + z2 = (3, - 2) + (2, 4) = (3 + 2, - 2 + 4) = (5, 2) ,
z1 Å" z2 = (3, - 2) Å" (2, 4) = (3Å" 2 - (-2) Å" 4, 3Å" 4 + (-2) Å" 2) = (6 + 8, 12 - 4) = (14, 8) ,
z1 Å" z3 = (3, - 2) Å"(3, 2) = (3Å"3 - (-2)Å" 2, 3Å" 2 + (-2)Å"3) = (9 + 4, 6 - 6) = (13, 0) ,
z4 Å" z4 = (0, 1) Å"(0, 1) = (0Å"0 -1Å"1, 0Å"1+1Å"0) = (0 -1, 0 + 0) = (-1, 0) .
Pierwszy element pary (a, b) , czyli liczbę a , nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, natomiast drugi
element pary (a, b) nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z. Oznaczamy:
Re z = a,
Im z = b.
(Skrót Re pochodzi od łacińskiego słowa realis, skrót Im pochodzi od łacińskiego słowa imaginarius).
Liczby zespolone postaci (a, 0) będziemy dalej oznaczać krótko przez a , natomiast liczbę zespoloną (0, 1)
nazywamy jednostką urojoną i będziemy oznaczać ją symbolem i . Zauważmy, że
i Å" i = i2 = -1 .
Ze względu na te oznaczenia każdą liczbę zespoloną z = (a, b) zapisaną w postaci pary, będziemy mogli zapisać
w postaci algebraicznej:
z = a + bi
(ponieważ z = a + bi = (a,0) + (b,0) Å" (0,1) = (a,0) + (b Å" 0 - 0 Å"1, b Å"1+ 0 Å" 0) = (a,0) + (0,b) = (a,b) ). Postać
algebraiczna jest najczęściej używana przy zapisywaniu liczb zespolonych. A
atwo jest przy jej pomocy zapisywać
działania algebraiczne na liczbach zespolonych, pamiętając przy tym, że i2 = -1.
Przykładowo jeżeli z1 = 6 - i, z2 = -2 + 4i , wtedy
z1 + z2 = 6 - i + (-2) + 4i = 4 + 3i ,
z1 Å" z2 = (6 - i) Å"(-2 + 4i) = 6Å"(-2) + 6Å" 4i + (-i)Å"(-2) + (-i)Å" 4i = -12 + 24i + 2i - 4i2 = -8 + 26i ,
z22 = (-2 + 4i)2 = 4 + 2Å"(-2) Å"4i +16i2 = 4 -16i -16 = -12 -16i .
Jaka liczba zespolona jest elementem neutralnym dodawania, a jaka liczba zespolona jest elementem
neutralnym mnożenia liczb zespolonych? Sprawdzić, że dodawanie i mnożenie liczb zespolonych to działania
przemienne i łączne oraz że zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania.
2. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych.
Liczby zespolone z = a + bi interpretujemy geometrycznie jako punkty P(a, b) płaszczyzny z określonym
prostokątnym układem współrzędnych. Taką płaszczyznę nazywamy płaszczyzną zespoloną lub płaszczyzną
Gaussa.
Liczbą sprzężoną do liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbę
z = a - bi .
Ma ona taką samą część rzeczywistą jak liczba z , natomiast przeciwną
część urojoną.
Moduł liczby zespolonej z oznaczamy symbolem z i określamy
go wzorem:
z = a2 + b2
(geometrycznie jest to odległość punktu (a, b) od punktu (0, 0) ).
Zauważmy, że
2
z Å" z = (a + bi) Å" (a - bi) = a2 - b2i2 = a2 + b2 = z ,
czyli iloczyn liczby zespolonej przez jej sprzężenie jest równy sumie
kwadratów części rzeczywistej i urojonej.
z1
z1
Mamy oczywiÅ›cie równość z = z . ZachodzÄ… też równoÅ›ci: z = z = - z , z1 Å" z2 = z1 Å" z2 , =
z2 z2
oraz oczywista nierówność z1 + z2 d" z1 + z2 .
Wykorzystując sprzężenie liczb zespolonych, możemy w prosty sposób wykonać dzielenie dwóch liczb
zespolonych:
z1 z1 Å" z2 z1 Å" z2
z2 = z2Å"z2 = z2 2
Przykładowo, jeżeli z1 = 3 - 2i, z2 = -1+ 3i , wtedy
z1 3 - 2i - 2i)(-1- 3i)
(3
- 3 - 9i + 2i + 6i2 = - 9 - 7i
= 0,9 - 0,7i .
z2 = -1+3i = (-1+3i)(-1-3i) =
1+9 10
Równość dwóch liczb zespolonych określamy warunkiem:
z1 = z2 Ô! Re(z1) = Re(z2 ) '" Im(z1) = Im(z2 ) ,
czyli że liczby zespolone są równe jeżeli mają takie same części rzeczywiste i takie same części urojone. Zwróćmy
uwagę, że nie da się wprowadzić relacji nierówności między liczbami zespolonymi innymi niż czysto rzeczywiste.
2
Przykład 1. Rozwiązać następujące równanie w zbiorze liczb zespolonych: z - z = 6 + 2i .
2
Zakładając, że z = x + yi , możemy napisać dane równanie w formie: x2 + y - x - yi = 6 + 2i .
Porównując części rzeczywiste i części urojone obu stron tego równanie otrzymamy układ dwóch równań:
2
Å„Å‚
x2 + y - x = 6
2
. Z drugiego równania mamy, że y = -2 , czyli że y = 4 i po podstawieniu do pierwszego
òÅ‚
ół- y = 2
równania przekształci się ono do postaci x2 - x - 2 = 0 , skąd otrzymujemy, że x1 = -1, x2 = 2 . Przy znanej już
wartości y otrzymujemy zatem, że równanie spełniają dwie liczby zespolone: z1 = -1 - 2i, z2 = 2 - 2i .
2
Przykład 2. Rozwiązać następujące równanie w zbiorze liczb zespolonych: z + 2z = 0 .
2
Zakładając, że z = x + yi , możemy napisać dane równanie w formie: x2 + 2xyi - y + 2x - 2yi = 0 .
Porównując części rzeczywiste i części urojone obu stron tego równanie otrzymamy układ dwóch równań:
Å„Å‚ - y + 2x = 0
x2 2
. Z drugiego równania mamy, że 2y(x -1) = 0 , które jest spełnione gdy x = 1 lub gdy y = 0.
òÅ‚
ół2xy - 2y = 0
2
Jeżeli x = 1, to z pierwszego równania po podstawieniu wynika, że y = 3, czyli y = - 3 lub y = 3 . Jeżeli
y = 0 , to z pierwszego równania po podstawieniu wynika, że x2 + 2x = 0 , czyli x = 0 lub x = -2 . Zatem mamy
cztery liczby zespolone spełniające wyjściowe równanie:
z1 =1 - 3i, z2 =1 + 3i, z3 = 0, z4 = -2 .
3. Postać trygonometryczna liczb zespolonych.
Argumentem niezerowej liczby zespolonej z nazywamy jakikolwiek
kÄ…t Õ miÄ™dzy osiÄ… rzeczywistÄ… a półprostÄ… Oz.
Argumentem głównym liczby zespolonej z (oznaczenie arg z )
nazywamy ten z kÄ…tów Õ , który speÅ‚nia nierówność: 0 d" Õ < 2Ä„
(czasem wygodnie jest przyjmować -Ä„ < Õ d" Ä„ ).
Każdy argument Õ liczby zespolonej z `" 0 ma postać
Õ = arg z + 2kÄ„ , gdzie k "C .
Argument Õ liczby zespolonej z = a + bi speÅ‚nia ukÅ‚ad równaÅ„:
a
Å„Å‚cosÕ = ,
z
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚sinÕ = b .
z
ół
Ze względu na powyższy układ równań, każdą niezerową liczbę zespoloną z = a + bi możemy przedstawić w
postaci trygonometrycznej:
z = z Å" (cosÕ + i sinÕ)
Przykład 3.
a) Jeżeli liczba zespolona ma postać trygonometryczną
Ä„ Ä„
z = 3(cos + i sin ) ,
2 2
Ä„ Ä„
to jest to liczba z = 3i (ponieważ cos = 0, sin = 1).
2 2
Ä„
Dla tej liczby mamy, że z = 3, arg z = .
2
b) - 4 = 4(cosĄ + i sin Ą ) , ponieważ - 4 = 4 , cosĄ = -1, sin Ą = 0 .
Przykład 4. Poniżej przedstawione są graficzne interpretacje warunków, jakie spełniają określone zbiory liczb
zespolonych (zbiory punktów na płaszczyz
nie zespolonej):
Ä„ 3Ä„
a) 1d" z d" 2 c) z -1 - 2i d"1 d) z d"1 oraz
b) d" arg z d"
4 4
Ä„ d" arg z d" 2Ä„
Wyznaczyć w podobny sposób inne graficzne interpretacje różnych warunków, które spełniają zbiory liczb
zespolonych.
Przykład 5. Przedstawić w postaci trygonometrycznej podaną liczbę zespoloną.
a) z = -2 + 2i .
2 2
-2 2
Mamy tutaj: z = (-2)2 + 22 = 8 = 2 2 . Zatem cosÕ = = - , sinÕ = = . Na
2 2
2 2 2 2
podstawie przebiegu funkcji sin x i cos x wynika, że kÄ…t Õ jest kÄ…tem z drugiej ćwiartki kÄ…ta peÅ‚nego i
3 3 3
wynosi on Ą . Możemy więc zapisać - 2 + 2i = 2 2(cos Ą + i sin Ą ) .
4 4 4
3
1
b) z = - i .
2
2
1 3 - 3
1
Mamy tutaj: z = + = 1. Zatem cosÕ = , sinÕ = . Z przebiegu funkcji sin x i cos x wynika, że
2 2
4 4
5
kÄ…t Õ jest kÄ…tem z czwartej ćwiartki kÄ…ta peÅ‚nego i wynosi on Ä„ . Możemy wiÄ™c zapisać
3
3
1 5 5
- i = cos Ä„ + isin Ä„ .
2 3 3
2
c) z = - 2i .
2
-2
Mamy tutaj: z = (-2) + 0 = 4 = 2 . Zatem cosÕ = 0 , sin Õ = = -1. Z przebiegu funkcji sin x i
2
3 3 3
cos x wynika, że Õ = Ä„ , czyli możemy napisać, że - 2i = 2(cos Ä„ + isin Ä„ ) .
2 2 2
Mając liczby zespolone zapisane w postaci trygonometrycznej, możemy w łatwy sposób wykonywać na nich
operacje mnożenia i dzielenia.
Jeżeli zatem z1 = z1 (cosÕ1 + i sinÕ1) oraz z2 = z2 (cosÕ2 + i sinÕ2 ) , to wtedy
z1 Å" z2 = z1 z2 (cos(Õ1 +Õ2) + isin(Õ1 +Õ2))
z1
z1
z2 = z2 (cos(Õ1 - Õ2 ) + i sin(Õ1 - Õ2 )) , gdzie z2 `" 0
Przy mnożeniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy.
Natomiast przy dzieleniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ich moduły dzielimy, a argumenty
odejmujemy.
Wzór dotyczący mnożenia liczb zespolonych jest słuszny również dla dowolnej liczby czynników. Z tego
względu w łatwy sposób otrzymujemy wzór na potęgowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej,
zwany wzorem Moivre a:
n
n
z = z Å" (cos nÕ + i sin nÕ) , gdzie n " N
3
1
Przykład 6. Wykonać następujące potęgowania: a) (1 + i)5 , b) (1 - i 3 )6 , c) ( - i)11.
2
2
Ä„ Ä„
Ad a) Ponieważ 1 + i = 2(cos + i sin ) , więc
4 4
Ä„ Ä„ 5Ä„ 5Ä„ 2 2
(1 + i)5 = ( 2)5 (cos + i sin )5 = 4 2(cos + i sin ) = 4 2(- - i) = -4 - 4i .
2 2
4 4 4 4
5Ä„ 5Ä„
Ad b) Ponieważ 1 - i 3 = 2(cos + isin ) , więc
3 3
5Ä„ 5Ä„
(1 - i 3 )6 = 26 (cos + isin )6 = 64(cos10Ä„ + isin10Ä„ ) = 64(cos 0 + i sin 0) = 64.
3 3
3 11Ä„ 11Ä„
1
Ad c) Ponieważ - i = cos + i sin , więc
2
2
6 6
3 11Ä„ 11Ä„ 121Ä„ 121Ä„ Ä„ Ä„
1
( - i)11 = (cos + i sin )11 = cos + i sin = cos(20Ä„ + ) + i sin(20Ä„ + ) =
2
2
6 6 6 6 6 6
Ä„ Ä„ 3
1
= cos + i sin = + i .
2
2
6 6