plik


ÿþLiczby zespolone ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Jacek Jdrzejewski 2008/2009 Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Wiadomo, |e równanie x2 + 1 = 0 nie ma pierwiastków (rozwizaD) w zbiorze liczb rzeczywistych, gdy| kwadrat ka|dej liczby rzeczywistej jest liczb nieujemn.  Rozszerzamy wic ciaBo liczb rzeczywistych R w taki sposób, aby równanie x2 + 1 = 0 miaBo w nowym ciele rozwizanie. CiaBo liczb rzeczywistych uto|samiamy z  prost liczbow , na której ustalono punkt odpowiadajcy liczbie 0 i odcinek jednostkowy, którego koniec uto|samiamy z liczb 1. Niestety, na prostej nie mo|na ju| znalez miejsca dla nowych liczb. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych W tym celu do (geometrycznej) konstrukcji ciaBa liczb zespolonych zastosujemy pBaszczyzn, któr bdziemy nazywali pBaszczyzn zespolon. Niech C oznacza zbiór R2, czyli C = {(a, b) : a " R '" b " R} . W zbiorze tym okre[lamy dziaBania + i · w sposób nastpujcy: (a, b) + (c, d) = a + c, b + d , (a, b) · (c, d) = ac - bd, ad + bc . Zwrómy tu jednak uwag na fakt, |e symbole + oraz · zostaBy u|yte w dwóch znaczeniach; raz dla oznaczenia dziaBaD w zbiorze liczb rzeczywistych, a drugi raz dla oznaczenia nowych dziaBaD w zbiorze C. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Par (a, b) bdziemy nazywali liczb zespolon, a zgodnie z wBasno[ciami par uporzdkowanych, liczby (a, b) i (c, d) s równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d. Liczby zespolone bdziemy oznaczali krótko jako z, z1 lub podobnie. Wtedy mamy: z = (a, b). W naturalny sposób ka|dej liczbie zespolonej jest wic przypisany punkt na pBaszczyznie, oraz odwrotnie, ka|demu punktowi pBaszczyzny jest przypisana pewna liczba zespolona. Liczbie zespolonej z równej parze (a, b) odpowiada na pBaszczyznie punkt o wspóBrzdnych (a, b). Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Twierdzenie Zbiór C wraz z dziaBaniami okre[lonymi powy|ej speBnia nastpujce warunki: Przemienno[ Aczno[ dziaBaD Rozdzielno[ mno|enia wzgldem dodawania. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Para (0, 0) jest, jak Batwo zauwa|y, elementem zerowym, natomiast para (1, 0) jest jedynk w zbiorze C. Elementem przeciwnym do pary (a, b) jest para (-a, -b), gdy| (-a, -b) + (a, b) = (-a + a, -b + b) = (0, 0). Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Je[li para (a, b) jest ró|na od zera, czyli ró|na od pary (0, 0), to a = 0 lub b = 0, wic a2 + b2 > 0. Z równo[ci a -b (a, b) · , = a2 + b2 a2 + b2 a -b -b a = a · - b · , a · + b · = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 -ab + ab = , = (1, 0) a2 + b2 a2 + b2 a -b wynika, |e para , jest elementem a2 + b2 a2 + b2 odwrotnym do pary (a, b). Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Warunki powy|sze pozwalaj stwierdzi, |e (C, +, ·) tworzy ciaBo. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Poniewa| (0, b) = (b, 0) · (0, 1) oraz (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1), wic mo|emy uto|sami par, majc posta (a, 0) z liczb a oraz oznaczajc par (0, 1) symbolem i, otrzymujemy przedstawienie liczby zespolonej (a, b) w postaci a + bi. Taki zapis liczby zespolonej nazywamy postaci kanoniczn lub postaci algebraiczn. Oczywi[cie, i2 = -1. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Zauwa|my teraz, jak Batwo jest wykonywa dziaBania na liczbach zespolonych, je[li przedstawiamy je w postaci kanonicznej. Na przykBad: (a+bi)·(c +di) = ac +adi +bic +bdi2 = ac -bd +(ad +bc)i. a + bi (a + bi) · (c - di) (a + bi) : (c + di) = = = c + di (c + di) · (c - di) (ac + bd) + (-ad + bc) · i ac + bd -ad + bc = = + · i c2 + d2 c2 + d2 c2 + d2 Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja Cz[ci rzeczywist liczby zespolonej z, majcej posta z = (a, b) = a + bi, nazywamy liczb (rzeczywist) a. Cz[ rzeczywist liczby zespolonej z oznaczamy symbolem re z. Definicja Cz[ci urojon liczby zespolonej z, majcej posta z = (a, b) = a + bi nazywamy liczb (rzeczywist) b. Cz[ urojon liczby zespolonej z oznaczamy symbolem im z. Czsto liczby zespolone bdziemy zapisywali w postaci a + ib. Tak wic liczb z równ a + ib mo|emy przedstawi w postaci z = re z + i · im z. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Liczb zespolon, majc posta yi, gdzie (rzecz jasna) y jest liczb rzeczywist, nazywamy liczb czysto urojon. Je[li z = x + iy, to liczb z, majc posta z = x - iy, nazywamy liczb sprz|on do liczby z. Twierdzenie Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2 speBnione s warunki: z1 + z2 = z1 + z2, i z1 - z2 = z1 - z2, z1 · z2 = z1 · z2, z1 z1 = , gdy z2 = 0. z2 z2 Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych PrzykBad Oto kilka przykBadów dziaBaD na liczbach zespolonych. (1 + i) + (2 - 5i) = 3 - 4i, (2 + 3i) · (4 - 6i) = 8 - 12i + 12i + 18 = 26, 3 + 2i (3 + 2i)(1 - i) 3 + 2 - 3i + 2i 5 1 = = = - · i. 1 + i (1 + i)(1 - i) 2 2 2 Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych PrzykBad PrzykBady wyznaczania cz[ci rzeczywistej i urojonej. re (-3 + 4i) = -3, im (-3 + 4i) = 4, re (3 - 7i) = 3, im (3 - 7i) = -7, (21 + 13i) = 21 - 13i, (21 - 13i) = 21 + 13i. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Liczby zespolone mo|emy przedstawia na pBaszczyznie z ukBadem wspóBrzdnych. Wtedy liczbie zespolonej x + iy odpowiada punkt o wspóBrzdnych (x, y). Liczb zespolon bdziemy najcz[ciej uto|samia z odpowiadajcym jej punktem na pBaszczyznie zespolonej. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Im 1 x 0 1 Re y z Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych O[ odcitych nazywamy zwykle osi rzeczywist, o[ rzdnych  osi urojon. Definicja ModuBem liczby zespolonej z, z = a + ib, nazywamy liczb "gdzie |z|, okre[lon wzorem |z| = a2 + b2. Geometrycznie, moduB liczby zespolonej z oznacza jej odlegBo[ od pocztku ukBadu wspóBrzdnych. Jest te| dBugo[ci wektora, którego pocztkiem jest pocztek ukBadu wspóBrzdnych, a koDcem punkt z. Wektor ten czsto nosi nazw wektora wodzcego liczby z. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja Argumentem liczby zespolonej z ró|nej od zera nazywamy liczb rzeczywist Æ, speBniajc ukBad równaD: ñø re z òø cos Æ = , |z| im z óø sin Æ = . |z| Argument liczby zespolonej nie jest wyznaczony wic jednoznacznie. Ka|de dwie warto[ci argumentu liczby zespolonej ró|ni si o wielokrotno[ liczby 2À. Argumentem liczby zespolonej jest wic miara zorientowanego kta uogólnionego, utworzonego przez dodatni cz[ osi rzeczywistej i wektor wodzcy liczby z. Argument liczby zespolonej z oznaczamy symbolem arg z. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Niech r bdzie moduBem niezerowej liczby zespolonej z, gdzie z = a + ib, za[ Æ jednym z jej argumentów. Wtedy a = r cos Æ i b = r sin Æ Zatem liczb z mo|na przedstawi w postaci z = r · (cos Æ + i sin Æ). To przedstawienie liczby z nazywamy postaci trygonometryczn liczby z. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Im 1 a Æ 1 Re r 0 b z Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Twierdzenie Niech z = r · (cos Æ + i sin Æ) i z = r · cos Æ + i sin Æ . Wtedy z ·z = r ·r · cos Æ + Æ + i sin Æ + Æ i z r = · cos Æ - Æ + i sin Æ - Æ . z r Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Twierdzenie (Wzór de Moivre a). Dla ka|dej liczby rzeczywistej Æ i dla ka|dej liczby naturalnej n speBniony jest warunek (cos Æ + i sin Æ)n = cos(nÆ) + i sin(nÆ). Wniosek Je[li z jest liczb zespolon ró|n od zera, to dla ka|dej liczby naturalnej n, zn = |z|n i arg zn = n · arg z. Oczywi[cie, drugi z powy|szych wzorów nale|y rozumie w taki sposób, |e jeden z argumentów nale|y dobra do drugiego tak, aby byBa speBniona odpowiednia równo[. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Czasami stosuje si oznaczenie eiÆ = cos Æ + i ·sin Æ. Powy|szy wzór nosi nazw wzoru Eulera. Ka|d liczb zespolon z ró|n od zera mo|na wic przedstawi w postaci z = |z|·eiÆ, gdzie Æ jest argumentem liczby z. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych PrzykBad " Przedstawmy liczb 1 + i 3 w postaci trygonometrycznej. " " " Poniewa| re 1 + i 3 = 1 oraz im 1 + i 3 = 3, wic 2 " " 1 + i 3 = 12 + 3 = 2. Zatem " 1 3 cos Æ = i sin Æ = . 2 2 À Wnioskujemy std, |e Æ = . 3 Teraz mo|emy zapisa " À À 1 + i 3 = 2 · cos + i sin . 3 3 Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych PrzykBad Obliczmy (1 + i)140. Poniewa| " À À 1 + i = 2 · cos + i sin , 4 4 wic korzystajc ze wzoru de Moivre a otrzymujemy: 140 " À À (1 + i)140 = 2 · cos + i sin = 4 4 140 140 " À À = 2 · cos + i sin = 4 4 = 270 · (cos 35À + i sin 35À) = 270 · (cos À + i sin À) = -270. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Jedn z pierwszych wBasno[ci, która istotnie wyró|nia zbiór liczb zespolonych, jest mo|liwo[ pierwiastkowania. Zgodnie ze zwyczajem definiowania pierwiastków przyjmujemy nastpujc definicj. Definicja Niech n bdzie dowoln liczb naturaln. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy liczb zespolon w tak, |e wn = z. Oczywi[cie, jedynym pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby 0 jest 0. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Twierdzenie Niech liczba zespolona z, ró|na od zera, ma posta z = r(cos Æ + i sin Æ). Wtedy ka|da liczba wk, majca posta " Æ + 2kÀ Æ + 2kÀ n wk = r · cos + i sin , n n gdzie k jest liczb caBkowit, jest pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z oraz ka|dy pierwiastek n-tego stopnia z liczby z jest jedn z liczb wk. Zauwa|my, |e ró|nych pierwiastków n-tego stopnia z liczby z jest n. S to liczby wk, gdy k jest jedn z liczb 0, 1, . . . , n - 1. Wynika to z okresowo[ci funkcji sin i cos . Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych PrzykBad Znajdzmy pierwiastki 4-tego stopnia z liczby 1. Poniewa| 1 = 1 · (cos 0 + i sin 0), wic pierwiastkami czwartego stopnia z liczby 1 s liczby, majce posta " 2kÀ 2kÀ 4 wk = 1 · cos + i sin , 4 4 gdzie k jest liczb caBkowit, zatem ró|nymi pierwiastkami czwartego stopnia s: w0 = 1, w1 = i, w2 = -1, w3 = -i. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone Definicja liczby zespolonej Posta kanoniczna liczby zespolonej Liczby zespolone Posta trygonometryczna liczby zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych PrzykBad Znajdzmy pierwiastki 3-go stopnia z liczby 8 + 8i. Poniewa| " À À 8 + 8i = 128 · cos + i sin , 4 4 wic pierwiastki 3-go stopnia z tej liczby maj posta À À " + 2kÀ + 2kÀ 3 4 4 wk = 128 · cos + i sin , 3 3 czyli " À + 8kÀ À + 8kÀ 6 wk = 2 · 2 · cos + i sin , 12 12 gdzie k jest jedn z liczb 0, 1, 2. Jacek Jdrzejewski ALGEBRA WYKAAD 3 Liczby zespolone

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykład Liczby zespolone
Liczby zespolone wyklad 2
liczby zespolone, wykład
liczby zespolone 2 notatki z wykladu
liczby zespolone 1 notatki z wykladu
algebra kolokwium (liczby zespolone)
Algebra1p Ciała, Liczby zespolone
Liczby zespolone
Wyklad LiczbyZmienne 10 08
CPP Liczby zespolone i obwod trojkata
liczby zespolone moodle

więcej podobnych podstron